求离心率（强化训练）（解析版）

专题3.6求离心率题型一利用几何性质求解题型二利用坐标法求解题型三利用第一定义求解题型四利用第二定义求解题型五利用第三定义求解题型六与斜率乘积相关题型七焦点三角形双余弦定理模型 题型八焦点弦与定比分点题型一利用几何性质求解1．已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．【答案】/【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率.【详解】  如图，设的垂直平分线与交于点，由题，，，，则，，，，，化简得，，由，解得，，即.故答案为：.2．已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满 足，且，则双曲线的离心率为.【答案】【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.【详解】如图，因为，所以，所以，则，，，解得.故答案为：    3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则.【答案】【分析】由题意可得，从而可求得，根据勾股定理可求得，利用椭圆离心率的定义即可求得结果.【详解】如下图所示：   因为，，所以，可得，即，可得；又在中，，由椭圆定义可得，即，所以，可得.故答案为：4．椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，且满足.则椭圆离心率的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据给定条件，可得，进而得出，再求出离心率范围即得.【详解】由点满足，得，即是直角三角形，原点是斜边的中点，因此，又点在椭圆上，则，即，整理得，即，而，因此，所以椭圆离心率的取值范围为.故选：D5．点P在椭圆上，且在第一象限，过右焦点作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为．【答案】/【分析】延长，交于点Q，根据PA是的外角平分线，得到，，再利用椭圆的定义求解. 【详解】延长，交于点Q，∵PA是的外角平分线，，，又O是的中点，，且.又，，，则，∴离心率为.故答案为：6．如图，是椭圆上的三个点，经过原点经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为.  【答案】【分析】设椭圆的左焦点为，连接，设，利用对称性得到，，，再根据，分别在和中，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：   设椭圆的左焦点为，连接，设，由对称性知：，，，因为，所以，在中，，即，解得，在中，，将代入上式，得，故答案为：题型二利用坐标法求解7．已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，联立方程组求得，根据，得到，求得，再由在双曲线上，化简得到，结合，化简得到，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线：的渐近线方程为.设，联立方程组，解得. 因为，所以，即，可得.又因为点在双曲线上，所以，将代入，可得，由，所以，所以，即，化简得，则，所以双曲线的离心率为.故选：B.    8．已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（    ）A．B．C．2D．【答案】D【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，，，于是，因此，当且仅当时取等号，则，即，离心率，所以双曲线离心率的最小值为.故选：D 9．过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出的坐标，写出向量，根据∠ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，令，得，可设由对称性，不妨设，可得，，由题意知三点不共线，所以∠ADB为钝角，即为，将代入化简得，由，可得，又，解得，则，综上，离心率的取值范围为．故选：D. 10．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过作x轴的垂线交C于点P﹒于点M（其中O为坐标原点），且有，则C的离心率为.【答案】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得，，，设，，由得，，解得，即，，又，∴，，代入得，因为故解得，故答案为：．  11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足．联结，满足．若该双曲线的 离心率为，求的值．【答案】【分析】设点，由，在双曲线上，得到的坐标，然后根据在渐近线上列方程，解方程得到，然后求离心率即可.【详解】  不妨设，由得，化简得（1），在双曲线上，∴，即，代入（1）解得，，，又在渐近线上，，即．两边平方得（2），将和代入（2）得，化简得，解得或（舍去），即，化简得.故答案为：.12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（    ）A．B．C．2D．3 【答案】D【分析】求得点坐标，根据直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，所以，由解得，则，而，所以，，两边除以得，解得或（舍去）.故选：D  13．直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据在椭圆上和直线上列方程，整理后求得椭圆的离心率.【详解】设在第一象限的交点为A，右焦点为，根据题意：轴，A在椭圆上，由解得，则，A在直线上，则，所以，，，所以，解得.故选：A 题型三利用第一定义求解14．已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据中点关系可得轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.【详解】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴，，，所以，由椭圆定义可得，故选：A  15．，是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为.【答案】【分析】根据，得到，且是的角平分线，再结合和角平分线定理得到，然后在中，利用勾股定理求解. 【详解】解：因为，所以，则是的角平分线，所以，又因为，所以，设，由椭圆定义得，即，解得，则，则，所以，则，故答案为：16．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为.【答案】/【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.【详解】因为，所以，即，所以，所以.设，则，所以，由得，所以，所以， 在中，由，得，所以.  故答案为:.17．已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，结合椭圆的定义，在中利用勾股定理求得，中利用勾股定理求得，可求椭圆C的离心率.【详解】连接，设，则，，，  在中，即，，，，，，在中，，即， ，，又，.故选：C.18．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据，，利用余弦定理可得，再由双曲线定义可得，由离心率定义可得.【详解】如下图所示：根据题意可设，易知；由余弦定理可知，可得；即，由双曲线定义可知可知，即；所以离心率.故选：A19．已知是双曲线的左，右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点.若，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．2D．【答案】A 【分析】设，利用双曲线的定义及题中几何关系将用表示，再利用几何关系建立关于齐次方程，从而求出离心率.【详解】如图，过作与,  设，则，，∴，，，由题意知，∴在中，，，∴，在中,,即解得.双曲线的离心率为.故选：A.题型四利用第二定义求解20．已知直线与双曲线（，）的渐近线交于，两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值为．【答案】【分析】设，，利用点差法可求的值.【详解】设，，的中点为，故， 所以即，所以.因为过原点和线段中点的直线的斜率为，故.由可得，所以，所以.故答案为.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.21．已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.【详解】设，则，，.在中得：，即.因此，，，在中得：，故，所以.故选：D 22．设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为.【答案】/【分析】如图，设，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.【详解】如图，设，则，.又由椭圆定义可得.则在中，由余弦定理可得:.则，则在由余弦定理可得：.又. 故答案为：  23．已知椭圆的右焦点为，过右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与构建出关于、、的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设，，，过点做倾斜角为的直线斜率，直线方程为，联立方程，可得，根据韦达定理：，，因为，即，所以，所以，即，所以，联立，可得，. 故选：C.24．已知椭圆C：（）的左焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而根据向量共线的坐标运算可得，进而结合求解离心率.【详解】设，，，过点所作直线的倾斜角为，所以该直线斜率为，所以直线方程可写为，联立方程，可得，，根据韦达定理：，，因为，即，所以，所以，即，所以，联立，可得，.故选：C25．设分别为椭圆的左右焦点，M为椭圆上一点，直线分别交椭圆于点A，B，若，则椭圆离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】D 【分析】设出，根据向量的定比分点，将两点的坐标表示成含的式子，再代入椭圆方程联立即可解得，即可求得离心率.【详解】如下图所示：  易知，不妨设，，易知，由可得，即同理由可得；将两点代入椭圆方程可得；即，又，整理得解得，所以离心率；故选：D26．已知椭圆，过左焦点且不与轴垂直的直线交于、两点，若直线上存在点，使得是等边三角形，则的离心率的取值范围是（    ）A．B．C．D． 【答案】D【分析】设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出的长以及等边的高，根据几何关系可得出，即可求得该椭圆离心率的取值范围.【详解】知点，设直线的方程为，其中，设点、，  联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，设线段的中点为，则，，因为为等边三角形，则，且直线的斜率为，所以，，且，即，即，整理可得，所以，，故选：D. 题型五利用第三定义求解27．双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．2D．【答案】B【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.【详解】设代入双曲线方程作差有:，有，所以，故选：B．【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.28．已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，得，两式做差得到，代入条件即可计算离心率．【详解】设，两式做差得 整理得，而，，，代入有，即可得．故选：A.【点睛】直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题，其解法可以利用“点差法”．29．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】点差法解决中点弦问题.【详解】由题意，设椭圆方程为，有，，设，，的中点为，，．，．由，．两式相减得，即，，可得：，，化为：，解得，，．故选：A．30．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线l：1与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于T（﹣5c，0），则C的离心率为（    ） A．B．C．D．【答案】D【分析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为S(x0，y0)，运用点满足双曲线方程，作差，结合中点坐标公式和平方差公式，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件，以及双曲线的离心率公式，计算可得所求值．【详解】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为S(x0，y0)，联立方程组，两式相减可得b2(x12﹣x22)=a2(y12﹣y22)，可得b2(x1﹣x2)(x1+x2)=a2(y1﹣y2)(y1+y2)，可得2b2(x1﹣x2)x0=2a2(y1﹣y2)y0，所以kMN，即（1），由kMNkST=-1，可得1（2），由（1）（2）可得x0，y0=5b，即S(，5b)，又S在直线l上，所以5＝1，解得e．故选：D．【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质，考查了点差法和方程思想、运算求解能力，属于中档题．31．（多选）已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ）A．B．椭圆C的离心率为C．直线l的方程为D．的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D. 【详解】如图所示：  根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；椭圆C的离心率为，故选项B不正确；不妨设，则，，两式相减得，变形得，又注意到点为线段的中点，所以，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选项C正确；因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.故选：AC．32．已知椭圆上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点，，则椭圆的离心率为.【答案】/【分析】过作轴于，根据相似关系确定，代入方程计算得到答案.【详解】如图所示：过作轴于， ，则，，故，则，整理得到，故.故答案为：.题型六与斜率乘积相关33．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（    ）A．B．C．2D．3【答案】C【分析】由已知可得,,的坐标，求得,所在直线的斜率，再由直线与直线的斜率之比为3列式求双曲线的离心率．【详解】由题意可得，，，点的横坐标为，代入，又，所以，，，则，可得．即双曲线的离心率为2．故选：C．   34．设双曲线的右焦点为，点A满足，点P、Q在双曲线上，且．若直线PQ，PF的斜率之积为，则双曲线的离心率为．【答案】/【详解】如图，取P，Q的中点为M，连接OM，PF，则由题意可得，，，所以，相似，所以，因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以，设，，则,且，两式相减可得,即，即，即，所以双曲线的离心率为．故答案为：.35．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线 段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为.【答案】/【分析】取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：  由题意可知，点为椭圆的左焦点，因为点、，易知点为线段的中点，又因为为的中点，所以，，取线段的中点，连接，则，所以，，所以，，故，设点、，则点，所以，，两个等式作差可得，可得，所以，，所以，椭圆的离心率为.故答案为：.36．已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P 是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为．【答案】/【分析】设，求出的斜率，利用点差法求出直线的斜率，在根据题意求出之间的关系即可得解.【详解】，设，因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为，所以，则，由直线l与C相交于A，B两点，得，两式相减得，即，所以，即，所以，则，所以，所以离心率.故答案为：.   37．双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，设，则，且，而，，，所以.故选：A38．已知椭圆的右顶点为A，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意结合椭圆方程整理得，进而可求离心率.【详解】由题意可知：，设，则，可得， 则，又因为点在椭圆上，则，整理得，可得，即，所以C的离心率.故选：A.  39．椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再结合可求出离心率.【详解】由题意得，设，因为点，是上的任意两点，且关于轴对称，所以，，所以，所以， 因为，所以，所以，所以离心率，故选：C  题型七焦点三角形双余弦定理模型40．已知双曲线左右焦点分别为，，过的直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为.【答案】/【分析】根据题意，设，利用由双曲线的定义，求得，，，分别在和中，由余弦定理，列出方程，求得关系式，即可求解.【详解】因为且，可设，则，由双曲线的定义，可得，所以，所以，，，分别在和中，可得，整理得：，所以双曲线的离心率为.故答案为：.   41．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点．过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】先由已知双曲线方程得出一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出，进而求出，，再利用余弦定理得出与的关系，进而求出离心率.【详解】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，.  由作该渐近线的垂线，则由点到直线的距离公式可得，所以，所以，由于与互补，所以，即，可得，则离心率，故答案为：.42．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A 【分析】因为，所以∽，设，则，设，则，．由角平分线的性质可得，由双曲线的定义可得，，再结合余弦定理可得，从而可求解.【详解】因为，则，所以∽，设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以，由双曲线定义知，即，，①又由得，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，即，化简得，把①代入上式得，解得．故选：A．43．已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（    ） A．2B．C．D．【答案】D【解析】设则,由双曲线的定义知,，在和中分别利用余弦定理,然后两式相减即可求解.【详解】设则,则,由双曲线的定义知,,在中,由余弦定理可得,，即，在中,由余弦定理可得,即两式相减可得,,所以离心率.故选:D【点睛】本题考查双曲线及其性质、直线与双曲线的位置关系,及三角形中的余弦定理;考查运算求解能力和转化与化归能力;双曲线定义的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.44．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，利用双曲线定义表示出的长，再利用勾股定理可得，在和中，分别利用余弦定理可得，联立两式即可得离心率. 【详解】如下图所示，连接，易知以为圆心，为半径的圆经过点，即为圆的直径，所以；  不妨设，则，由双曲线定义可得所以，即，整理得在中可得，；在中可得，；又易知，可得联立可得，，则双曲线的离心率为故选：B45．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C交于A，B两点（点A在第二象限），且.则双曲线C的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据直线斜率可得倾斜角，作焦点三角形，利用余弦定理，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】因为，所以.因为，所以.所以.根据余弦定理，得，.所以.故双曲线的离心率为.故选：A.题型八焦点弦与定比分点46．已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先根据题意设，得到.根据，得到，根据勾股定理得到，再求离心率即可.【详解】如图所示：  设，因为，所以.又因为，所以，即.因为，所以.因为，所以. 在中，，解得，即，所以，即.所以，.故选：B47．已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上，为坐标原点，且，，则椭圆的离心率是．【答案】【分析】根据题意，由条件可得为直角三角形，再结合椭圆的定义列出方程，由离心率的计算公式即可得到结果.【详解】  设椭圆的左焦点为，设，因为，所以为直角三角形且，因为，所以，因为，，所以，，所以，解得，所以，，所以，所以，即椭圆的离心率是.故答案为：.48．已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（    ） A．B．C．D．【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合共线向量的坐标表示公式、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知，设该椭圆右焦点坐标为，因为直线的斜率，所以设直线的方程为，与椭圆方程联立，得，设，则有，因为，所以，所以有，消去，得，故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是利用，得到，进而利用一元二次方程根与系数关系进行求解.49．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是．【答案】【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.【详解】设直线与椭圆交于两点，其中，将两点代入椭圆可得，两式作差可得， 即，又中点坐标是，所以，所以，令，则，所以，所以，故答案为：50．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据椭圆的定义可得焦点三角形的边长，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解.【详解】不妨设椭圆方程为，椭圆另一焦点为，由于是短轴的一个端点，所以，又，所以，由椭圆定义可得,由于，所以，故，即，解得，故选：A