贵州省黔东南州2024届高三上学期12月统测数学试题（Word版附解析）

贵州省黔东南州2024届12月份高三统测数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，，则的实部与虚部分别为（）A.，B.，C.，D.，2.设集合，，则（）A.B.C.D.3.若某等差数列的前3项和为27，且第3项为5，则该等差数列的公差为（）A.B.C.3D.44.若，，则（）A.3B.C.5D.5.若平面，截球所得截面圆的面积分别为，，且球心到平面的距离为3，则球心到平面的距离为（）A.B.2C.D.46.已知是奇函数，且在上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（）A.B.C.D. 7.已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（）A.20B.60C.40D.808.是抛物线上异于坐标原点的一点，点在轴上，，为该抛物线的焦点，则（）A.12B.11C.10D.9二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数，则（）A.的最小正周期为10B.的图象关于点对称C.在上有最小值D.的图象关于直线对称10.在正四棱台中，，，，则（）A.该正四棱台的体积为B.直线与底面所成的角为C.线段的长为D.以为球心，且表面积为的球与底面相切11.已知是圆上一点，是圆上一点，则（）A.的最小值为2B.圆与圆有4条公切线C.当取得最小值时，点的坐标为D.当时，点到直线的距离小于212.已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且 ，则（）A.的取值范围是B.的取值范围是C.的最小值为4D.的最小值是13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中，的系数为_________.14.向量在向量上的投影向量为，则_________.15.烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为℃，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：），加热到第时，水温的瞬时变化率是_________℃/.16.过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，，则的离心率为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表：男大学生女大学生合计关注原创音乐剧250300550不关注原创音乐剧250200450合计5005001000（1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.（2）试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由.附：，其中.0.10.050.010.0050.001 2.7063.8416.6357.87910.82818.（12分）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角；（2）若，求的最小值.19.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，D，E分别为，的中点.（1）证明：平面平面.（2）求平面与平面的夹角的余弦值.20.（12分）已知为等比数列的前项和，，且，.（1）若为等差数列，求数列的通项公式；（2）若为等比数列，，求.21.（12分）已知点，，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求的方程.（2）若不垂直于轴的直线过点，与交于C，D两点（点C在x轴的上方），，分别为在轴上的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（12分）已知函数.（1）当时，证明：.（2）试问是否为的极值点？说明你的理由. 贵州省黔东南州2024届12月份高三统测数学参考答案1.A因为，，所以，其实部与虚部分别为，.2.C因为，所以.3.B设该等差数列为，则，则，所以公差.4.C因为，，所以，，所以，所以.5.A平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，.设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以.6.D因为是奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.又满足，所以为奇函数，而不满足，故既是奇函数，又在上单调递增.7.B因为（单位：）服从正态分布，且，所以，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数，所以.8.D依题意可得.设，.因为，所以，因为，所以，所以. 9.AD，A正确.因为，所以的图象不关于点对称，B错误.因为，所以的图象关于直线对称，D正确.若，则，所以在上有最大值，没有最小值，C错误.10.BCD连接，，过作，垂足为.因为，，所以，，所以，，所以该正四棱台的体积，A错误.直线与底面所成的角为，由，所以，B正确.，C正确.设以为球心，且表面积为的球的半径为，则，解得，所以以为球心，且表面积为的球与底面相切，D正确.11.AB因为，所以的最小值为，所以圆与圆外离，圆与圆有4条公切线，A，B均正确.因为直线的方程为，代入，得，当取得最小值时，为线段与圆的交点，所以点的坐标为，C错误.过点作圆的切线，切点为（图略），则，当为线段的延长线与圆的交点，且点与重合时，，此时点到直线的距离等于2，D错误. 12.ABD作出的大致图象，如图所示.，其中，所以，则，，.当时，是偶函数，则，所以，，A，B均正确.，当且仅当，即时，等号成立，但，C错误.因为，所以.设函数，则，当时，，当时，，所以，D正确.13.的展开式中，的系数为.14.因为向量在向量上的投影向量为，所以.15.因为水的初始温度为℃，所以，解得，所以，则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是. 16.2设为坐标原点，的焦距为.过点作垂直于轴，垂足为（图略）.易得，，则由，得，所以，得，所以，故.17.解：（1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，这人是女大学生的概率为.（2）零假设为：是否关注原创音乐剧与性别无关联.根据列表中的数据，经计算得到，当时，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联.18.解：（1）由及正弦定理，可得.因为，所以.又，所以，则，又，所以.（2）由余弦定理得，当，时，取得最小值，所以的最小值为. 19.（1）证明：因为，，，所以，所以.因为平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：取的中点，连接.以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴与平行，则，，，，，.设平面的法向量为，，，则令，得.设平面的法向量为，，则令，得.因为，所以平面与平面的夹角的余弦值为.20.解：（1）设的公比为，则，.①由，得， 即，解得或2.将代入①，得，不符合条件；将代入①，得，此时为等差数列，所以.（2）由（1）可知，若为等比数列，则.由，得，则，故.21.解：（1）因为，所以是以，为焦点，且长轴长为4的椭圆.设的方程为，则，可得.又，所以，所以的方程为.（2）设直线，，.联立消去得，易知，且，.由，，得.（方法一） 因为所以，所以，所以为定值，且定值为.（方法二）因为，所以，所以为定值，且定值为.22.（1）证明：，要证，只需证，即证.设函数，则，则在上单调递增，则，所以当时，得证，从而当时，得证.（2）解：的导数. 令函数，，当时，.的导数，当时，，则在上单调递增.因为，，所以，.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，当时，，