贵州省黔东南州从江县第一民族中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

高三年级月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，由此求得.【详解】由，解得，所以.由得，所以，所以.故选：D2.已知复数，则的虚部为（）A.B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】计算得到，再确定虚部得到答案.【详解】，故，故的虚部为.故选：B.3已知数列满足，，则（）A.2B.C.-1D.2023【答案】A【解析】 【分析】由递推公式可得，数列的奇数项构成一个周期为3的周期数列，从而求出答案.【详解】由题意得，，，，……，故数列的奇数项构成一个周期为3的周期数列，故.故选：A4.已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简得到得到，共线且方向相同，存在非零实数x，y，使得得到，共线，得到答案.【详解】，故，整理得到，即，故，共线且方向相同，存在非零实数x，y，使得，故，共线，即“”是“存在非零实数x，y，使得”的充分不必要条件.故选：A.5.已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（）（参考数据：取）A.万元B.万元C.万元D.万元【答案】D【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为a，公比为的等比数列，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设第年的销售额为万元，依题意可得数列是首项为a，公比为的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．故选：D6.已知直线与曲线相切，则（）A.1B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数、切点、斜率、切线方程列方程来求得的值.【详解】设切点为，，故斜率为，则切线方程为，整理得，所以，解得.故选：B7.设，，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式求得正确答案.【详解】依题意， ，而，所以.故选：D8.已知函数，若，则取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性和单调性解不等式.【详解】令，易知为奇函数且在上单调递增.化简，即，所以，解得，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最大值为3B.的最小正周期为C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】化简得到，验证周期对称点和单调性得到BCD正确，函数最大值为，A错误，得到答案.【详解】 ，对选项A：函数的最大值为，错误；对选项B：函数的最小正周期为，正确；对选项C：，则，故的图象关于点对称，正确；对选项D：，则，函数单调递增，正确；故选：BCD.10.已知等差数列的前项和为，则（）A.数列可能是等差数列B.数列一定是等差数列C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列的定义判断AB，根据等差数列求和公式和通项公式计算CD.【详解】设首项为，公差为，则，，所以当时，即为常数列时，为等差数列，故A正确；，所以是等差数列，故B正确；，，所以，故C正确；，，所以和不一定相等，故D错.故选：ABC.11.已知，则（） A.B.C.D.当时，的最小值为4【答案】ACD【解析】【分析】由对数化简式和对数基本运算逐一验证ABC选项即可；由换底公式和基本不等式可验证D项【详解】由题可知，则，A正确；由，得，所以，B错误；，C正确；当时，，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，D正确．故选：ACD12.在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，表示把中每个1都变为0，0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如，则.定义，，若，则（）A.中有个1B.中有个0C.中0的总个数比1的总个数多D.中1的总个数为 【答案】AC【解析】【分析】根据给定有序数列的定义得到，，,，，探究得到的规律，然后利用数列的知识求通项求和即可.【详解】因为，所以，，，，，显然，，，中共有2,4,8项，其中1和0的项数相同，，，中共有3,6,12项，其中为1，为0，设中总共有项，其中有项1，项0，则，，，所以中有个1，A正确；中有个0，B错；，则，，，，中的总数比1的总数多，C正确；，，，，中1的总数为，D错.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知，，是与的等比中项，则的最小值为__________.【答案】4【解析】【分析】根据等比中项的性质得，再结合基本不等式求在最小值.【详解】因为，，是与的等比中项， ，则当且仅当，且，即时等号成立，所以的最小值为4.故答案为：414.在等腰直角中，，，边上一点，且，则__________.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得.【详解】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，由于，所以，由于，所以，，所以.故答案为：15.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术.如图，原纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以通过对折、沿，裁剪、展开实现.已知点在圆上，且，，则四边形的面积为______________.【答案】 【解析】【分析】根据角平分线得到，结合勾股定理得到，利用余弦定理得到，再计算面积得到答案.【详解】如图所示：设圆心为，连接，，，，故平分，，又，解得，，，中：，即，解得或（舍）.故，故四边形的面积为.故答案为：.16.已知函数的最小值为1，则的取值范围为_______________.【答案】【解析】【分析】变换得到，换元构造新函数，确定单调区间，计算最值得到有解，变换得到，构造新函数，求导得到单调区间，画出图像，根据图像得到答案.【详解】，， 设，，，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，故有解，即，，，即，，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递增；，画出函数图像，如图所示：根据图像知，解得或，即.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将取值范围问题转化为函数的最值问题，再利用函数图像求解是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知幂函数在上单调递增（1）求的值；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义及幂函数的单调性即可求出符合条件的参数的值；（2）首先对函数求导，根据函数单调性将问题转化为导函数的恒成立问题，最后根据函数恒成立求得参数的取值范围.【小问1详解】已知函数为幂函数，得，解得：或；当时，在单调递减，不符合题意；当时，在单调递增；综上可得：.【小问2详解】由（1）可知，，，由于在上单调递减，所以在上恒成立；故得，解得：.因此得得取值范围为18.正项数列满足，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定数列是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案. （2），根据裂项求和法计算得到答案.【小问1详解】正项数列满足，且，故，，同理得到，，则数列是首项为，公差为的等差数列，即，.【小问2详解】，数列的前项和.19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，.（1）求角A的大小；（2）若为上一点，且，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直得到，计算化简得到，根据余弦定理得到答案.（2）根据余弦定理得到，再利用均值不等式得到，计算面积得到最值.【小问1详解】，故，即，故，整理得到，即，，故.【小问2详解】 ，，故为等边三角形，即，中：，即，即，当且仅当时等号成立..20.已知数列满足，.（1）证明为等差数列，并求的通项公式；（2）若不等式对于任意都成立，求正数的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义，即可证明，结合等差数列的通项公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，将不等式变形，可得，令，由其单调性可得，即可得到结果.【小问1详解】 因为，两边同时取倒数可得，，即，所以，且，所以是以为首项，为公差的等差数列，且，所以.【小问2详解】由（1）可知，则，令，所以，由可知，随增大而增大，只需即可，且，所以的最大值为.21.已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据递推关系作差即可求解，（2）根据错位相减法即可求和.【小问1详解】当时，． 当时，，即，当时，上式也成立，所以．当时，也符合，所以．【小问2详解】由（1）知．，，则，所以．22.已知函数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导根据单调性得到，根据函数的单调性计算最值得到答案.（2）确定函数定义域，构造，分别求导得到函数得到单调区间，计算最大最小值得到证明.【小问1详解】，，在上单调递增，故在上恒成立， 即，设，函数在上单调递增，故，即，故.【小问2详解】，，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故.设，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；，故，即，即恒成立，得证.【点睛】关键点睛：本题考查了根据函数的单调区间求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为求两个函数的最值是解题的关键.