河南省2023届普通高中毕业班高考适应性考试文科数学试题（Word版附解析）

2023年河南省普通高中毕业班高考适应性测试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A，根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得，∵，∴，故选：D．2.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，，由条件列方程求，再由复数的模的公式求.【详解】设，，因为，所以，，所以，，所以，故选：C. 3.某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（）A.获得A等级的人数减少了B.获得B等级的人数增加了1.5倍C.获得D等级的人数减少了一半D.获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设2020年参加选择考的总人数为a，根据统计图计算出这两年的每个等级的人数，进行比较，可得答案.【详解】由题可知：设2020年参加选择考的总人数为a，则2022年参加选择考的总人数为2a人；2020年评定为五个等级的人数为：；2022年评定为五个等级的人数为∶；由此可知获得A等级的人数增加了，A错误；由于，即获得B等级的人数增加了1.5倍，B正确；获得D等级的人数增加了，C错误；获得E等级的人数增加了1倍，D错误；故选∶B．4.若向量，满足，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】对模进行平方可得到，然后可算出，接着利用夹角公式即可求解【详解】因为，所以即，所以，所以，所以，因为，所以故选：A5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】首先将函数利用辅助角公式化成一个三角函数，再根据平移规则求出结果.【详解】因为，所以只需将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：A.6.已知函数且，则（）A.-16B.16C.26D.27【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，，当时，，所以，故选：C7.过圆上的动点作圆的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，确定动点和两个切点为顶点的三角形形状，求出切线长即可作答.【详解】令点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则，而，于是，又，因此为正三角形，，所以连接两切点线段的长为.故选：D8.已知曲线在点处的切线方程为，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出，再将切点代入切线方程，即可求出；【详解】解：，，∴，∴．将代入得，∴．故选：C．9.某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育.为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼.锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数.若介于之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量.已知某同学正常时心率为80，体质健康系数，经过俯卧撑后心率（单位：次/分）满足，为俯卧撑个数.已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为（）（为自然对数的底数，）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】设俯卧撑组数为组，根据题目所给函数解析式求出运动强度，解不等式求解即可.【详解】由题意，设俯卧撑组数为组，则，所以，所以，所以，，因为，且，所以.故选：B10.已知点是抛物线C：的焦点，过的直线交抛物线C于不同的两点M，N，设，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定的抛物线，设出点M，N的坐标，利用求出点M，N的纵坐标和即可求解作答.【详解】依题意，点，设点，则，由得：，解得，，因此点Q的纵坐标为，所以Q到x轴的距离为.故选：B11.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（）A.平面B.C.直线MN与平面ABCD所成的角为60°D.异面直线MN与所成的角为45°【答案】C【解析】【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出线面角、线线角判断CD作答.【详解】在正方体中，取棱中点，连接， 因为M，N分别为AC，的中点，则，因此四边形为平行四边形，则平面，平面，所以平面，A正确；因为平面，则，所以，B正确；显然平面，则是与平面所成的角，又，有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确.故选：C12.实数x，y，z分别满足，，，则x，y，z的大小关系为（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据已知即，，，构选函数确定其在上单调递减，可得，又设，其在上单调递增，所以得．【详解】解：由已知得，，，设，，当时，， 所以在上单调递减，因此，即所以，；又设，，当时，，所以在上单调递增，因此，所以，则；综上得.故选：B．【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若样本数据的标准差为10，则数据的方差为_________.【答案】900【解析】【分析】设的平均数为，标准差为，则有，则数据的标准差，进而可得答案.【详解】解：设的平均数为，标准差为，则，设的平均数为，标准差为，则有， 所以，所以.故答案为：14.设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据是假命题，得到是真命题，利用恒成立求解.【详解】解：因为是假命题，所以是真命题，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以实数的取值范围是，故答案：15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且的面积为，则内切圆的半径为_________. 【答案】##【解析】【分析】根据余弦定理、三角形面积公式、三角形内切圆半径公式进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以，由余弦定理可知，设内切圆的半径为，则有，故答案为：16.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球球心，用线段长表示出球半径，再借助均值不等式求解作答.【详解】在三棱锥中，因为平面ABC，平面，则，而，平面，因此平面，又平面，于是，取中点，连接，从而，即点是三棱锥的外接球球心，如图， 球半径，当且仅当时取等号，因此三棱锥的外接球表面积，所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为.【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球的半径即可.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.现在常常可以看到人们在走路、吃饭或乘车时低着头玩手机，长期下来，就很容易使颈椎损伤，患上颈椎病.某学习小组调查研究“长期使用智能手机对颈椎病的影响”，随机选取了100名手机用户得到部分统计数据如下表，约定日使用手机时间超过4小时为“频繁使用手机”.已知“频繁使用手机”的人数比“非频繁使用手机”的人数少24人.非频繁使用手机频繁使用手机合计颈椎病人数8非颈椎病人数16合计100（1）求表中p，q的值，并补全表中所缺数据；（2）根据2×2列联表，判断是否有99.9%的把握认为“频繁使用手机”对颈椎病有影响.附：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】（1），，补全表中所缺数据见解析.（2）有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响。【解析】【分析】（1）频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少24人，且样本容量为100，可计算出频繁使用手机的人数和非频繁使用手机的人数，则可求表中p，q的值，可补全表中所缺数据；（2）根据2×2列联表计算，与临界值比较后下结论.【小问1详解】因为频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少24人，而频繁使用手机的人数与非频繁使用手机的人数之和为100，所以频繁使用手机的人数为38，非频繁使用手机的人数为62，所以，，补全表中所缺数据如下：非频繁使用手机频繁使用手机合计颈椎病人数82230非颈椎病人数541670合计6238100【小问2详解】根据题意计算观测值为，所以有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响.18.如图，是棱长为2的正方体，E是的中点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用正方形性质和线面垂直的判定得，，再利用线面垂直的判定即可；（2）设与交于点,连接，首先证明平面，再利用顶点转化法即可求出三棱锥体积.【小问1详解】因为四边形是正方形,所以.在正方体中,平面,又平面,所以.又平面平面,所以平面.又平面,所以.【小问2详解】设与交于点,连接，正方体中,且，又,分别是的中点，，四边形是平行四边形，，又平面平面,平面. 又正方体的棱长为2，19.设等差数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式及；（2）若___________，求数列的前项和.在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据等差数列前项和公式和通项公式即可得到关于的方程组，解出即可；（2）选①则，利用乘公比错位相减法即可求出；选①则，则用裂项相消法即可求出；选③则，分奇偶讨论即可求出.【小问1详解】设等差数列的公差为，首项为，则，,解得，所以.【小问2详解】选①：由（1）知,,所以,.两式相减得: 所以.选②：由（1）,所以.选③：由（1）,则，当为偶数时，，当为奇数时，，所以20.设函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数的零点个数，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）有一个零点，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求出的单调性作答.（2）把代入求出，利用导数结合零点存在性定理探讨函数的零点个数作答.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，若，由得或，由得，因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，若，由得或，由得，因此函数在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】当时，函数有且只有一个零点.，显然函数在上单调递增，而，则存在唯一使得，即，当时，，即，当时，，即，当时，，因此函数，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，，而当时，，于是在上无零点，因为，因此在上有唯一零点，所以函数在上有唯一零点.【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.21.设椭圆：的右焦点恰好是抛物线的焦点，椭圆 的离心率和双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合）.证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接求出抛物线焦点坐标得到值，再结合双曲线离心率即可求出椭圆的离心率，则可求出椭圆方程；（2）设过点的直线为，，联立椭圆方程得到韦达定理式，写出直线,的方程，联立直线方程解出交点横坐标，将以及韦达定理式代入化简计算为定值.【小问1详解】因为抛物线的焦点为,所以椭圆的半焦距.又因为双曲线的离心率是,所以椭圆的离心率，从而,所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）可得.若过点的直线方程为时，此时与椭圆交点为点，不合题意，故可设过点的直线为,设，联立，整理得. 则，，，则直线AC的斜率，直线BD的斜率则直线的方程为，直线的方程为,联立两条直线方程,解得，将代人上式，得，将代人,得，所以直线,的交点的横坐标为定值.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于采取设线法，设过点的直线方程，注意为了简便计算和避免分类讨论，我们引入参数，然后联立椭圆方程得到韦达定理式，再分别写出直线,的方程，联立解出其横坐标，这一步计算量较大，再根据点在这个直线上，进行换元化简，最后再代入韦达定理式化简即可.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（其中为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）射线：与曲线，分别交于点A，B（均异于极点），当时，求的最小值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）先消去参数得到的普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式将转化成直角坐标方程即可；（2）根据的定义计算，化简计算可得，再利用即得结果.【小问1详解】曲线的参数方程为（其中为参数），消参可得普通方程为，由可得，因为，所以曲线的直角坐标方程整理得【小问2详解】曲线根据可得对应的极坐标方程为整理得，联立，得，联立，得，因为，所以因为，所以，所以当时，有最小值，该值为[选修4-5：不等式选讲] 23.已知正实数a，b，c满足.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）运用柯西不等式进行求解即可；（2）运用基本不等式进行证明即可.【小问1详解】因为，，所以有，当且仅当时取等号，即取等号；【小问2详解】因为，所以，当且仅当时取等号，同理，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，于是有，当且仅当时取等号.