河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题（Word版附解析）

2023届高三年级第三次模拟考试文科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，又，所以.故选：B2.已知的实部与虚部互为相反数，则实数（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得，结合题意列出方程，即可得答案.【详解】由于, 的实部与虚部互为相反数，故，故选：A3.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到答案.【详解】，，，，，，故选：B.4.已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】先建立平面直角坐标，分别求出向量，的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以 故选：C.5.小明在跨境电商平台上从国外购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为20，方差为50，如果按人民币计（汇率按1美元元人民币），则平均数和方差分别为（）A.20，50B.140，350C.140，700D.140，2450【答案】D【解析】【分析】根据一组数据同乘以一个数后的平均数以及方差的性质计算，即可得答案.【详解】由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的7倍，故按人民币计，则平均数和方差分别为，故选：D6.以双曲线右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（）A.4B.C.6D.8【答案】C【解析】【分析】由渐近线方程得出，，以及，联立即可求得答案.【详解】由题意，，不妨设双曲线的渐近线方程为，则又，且，联立解得，，即.故选：C7.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图和俯视图是边长为2的正方形，侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原四棱锥，再利用切割法与锥体的体积公式即可得解.【详解】根据题意，还原该四棱锥到虚线正方体中，如图，易知该正方体的棱长为，故，，又面，所以.故选：A.8.已知，则下列命题错误的是（）A.若，则B.若，则的最小值为4C.若，则的最大值为2D.若，则的最大值为【答案】D【解析】【分析】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若，则 ，展开后使用基本不等式即可判断B.【详解】∵，∴，∴，故A正确；若，则，当且仅当时等号成立，故B正确；若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：D.9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式及和角公式，求出，再将化简变形成齐次式即可求出结果.【详解】因为，所以，又，解得，所以，故选：B.10.已知四棱锥内接于以为直径的球，，且底面为矩形，则四棱锥的体积的最大值为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由四棱锥内接于以为直径的球，证明平面，再表示四棱锥的体积并求其最大值.【详解】如图，四棱锥的外接球球心为，因为为球的直径，则，又底面为矩形，则，又，且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以，又，且两直线在平面内，所以平面，又，则，即，当时取等号，又，四棱锥的体积.则四棱锥的体积的最大值为.故选：D.11.已知椭圆的右焦点为，离心率为，过坐标原点作直线交椭圆于两点，若，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由椭圆离心率为可得之间的关系，设，代入椭圆方程可得，由可推出，即可得，即可求得答案.【详解】由椭圆离心率为，知，由题意可设，则，由可得，即，结合可得，故，则，所以直线的方程为，故选：B12.已知函数的最小正周期为，，且在区间内有极小值无极大值，则（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】由求出，再根据内只有极小值没有极大值确定条件的几何意义求出.【详解】因为， 由题意可得：，，即，由题意可得,解得，即存在的充要条件是，即，，又，且，则点与点关于直线对称，.故选：A.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.【答案】##1.5【解析】 【分析】由的图象关于坐标原点对称得是一个奇函数，根据定义域关于原点对称及奇函数的性质求得结果.【详解】依题意函数是一个奇函数，又，所以，所以定义域为，因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.又，所以，所以，即，所以，所以.故答案为：.14.若变量x，y满足约束条件，则的最大值是______.【答案】5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求得的最大值.【详解】由，得，作出不等式组对应的可行域（阴影部分），平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线的截距最大，此时z取得最大值， 由，解得，将A的坐标代入，得，即目标函数的最大值为5.故答案为：5【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合图形并利用目标函数的几何意义，是解决此类问题的常用方法.15.半圆弧上有包括直径端点在内5个点，从中随机选取3个点，则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为__________.【答案】##【解析】【分析】利用古典概型，找到满足题意的情况和总事件数即可得到答案.【详解】若3个点中包含直径的两个端点，根据直径所对圆周角为直角，则此时为直角三角形，不合题意，若3个点中，只有1个为直径的端点，此时有种情况，若3点没有点为直径的端点，则此时只有1种情况，综上共有7种情况满足题意，而总数共有种，则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为.故答案为：.16.已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到，从而得到，再分类讨论其单调性即可得到答案.【详解】， 因为是的极小值点，所以，解得.所以.当时，，，，为减函数；，，为增函数，所以是的极小值点，符合条件.当时，令，解得或.当时，，，为增函数；，，为减函数；，，为增函数，所以是的极小值点，符合条件.当，即时，，则在R上为减函数，无极值点，舍去.当时，即，，，为减函数；，，为增函数；，，为减函数，所以是的极大值点，舍去.当时，即，，，为减函数； ，，为增函数；，，为减函数，所以是的极小值点，符合条件.综上，a的取值范围为.故答案为：.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）求直方图中的值；（2）根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值；（3）已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）【答案】（1）（2）（3）（元） 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，即可求得答案;（2）确定m的范围，结合频率分布直方图列式计算，可得答案；（3）计算出区间内的居民年用水量分别超出的吨数，结合频率分布直方图列式计算，即得答案.【小问1详解】由频率分布直方图得，解得.【小问2详解】在200户居民年用水量频率分布直方图中，前5组频率之和为，前4组频率之和为，所以，由，解得.【小问3详解】由题可知区间内居民年用水量分别取为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，则元，所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元.18.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】(1)根据已知转化为，得出数列是等差数列，求出，继而得出答案.(2)由(1)得出，然后利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】由，得，且，所以，所以.所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，故.【小问2详解】由题知，，所以19.如图所示，在直角三角形中，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.（1）证明：；（2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直；（2）运用等体积法求解.【小问1详解】在直角三角形中，因为，所以，即在四棱锥中，，平面PDB，平面PDB，所以平面，从而平面，如图，在上取一点，使得，连接，因为，所以，所以，又，所以四边形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF，平面MEF，在中，，所以，平面MEF,平面MEF，平面MEF，又因为，平面PBD，平面PBD，所以平面平面，所以平面，故；【小问2详解】连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面，所以三棱锥的体积，所以，中，计算可得，由余弦定理得，所以 ，，设点到平面的距离为，则，故；综上，点M到平面PBE的距离为.20.已知函数.（1）证明：曲线在点处的切线经过坐标原点；（2）若，证明：有两个零点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线方程，即可得解；（2）求导，可得的单调性及最值，，，由零点存在定理知在上有一个零点．，令，利用其单调性可得，即，又，由零点存在定理知在上有一个零点，即可得证．【小问1详解】由已知得，所以，又因为，由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线方程为，即，恒过坐标原点.【小问2详解】，令，得. 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.因为，所以，又，由零点存在定理知在上有一个零点，即在内只有一个零点.因为，所以，令，当时，在上单调递增，，所以，即，又，由零点存在定理知在上有一个零点，即在内只有一个零点，综上，有两个零点.21.已知抛物线的焦点为，点是该抛物线上互不重合的三点，且轴，，设点的横坐标分别为.（1）当时，求（点为坐标原点）的值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）先利用条件求出点的横坐标，再利用几何关系得到，从而求出结果；（2）设出直线的方程，联立抛物线方程得到，再利用，得到的关系，从而得出，进而可求出结果. 【小问1详解】由题可知，又因为，解得，过作垂直于轴于，因为，所以，所以.【小问2详解】设，因为轴，所以点的横坐标为，又点在抛物线上，所以，得到，根据对称性，不妨设点在轴的上方，则，设直线的方程为，点的纵坐标分别为.由方程组，消得到，所以，即，又由韦达定理知，，所以，因为，所以，又，，所以，即，所以，整理得，所以或. 若，则直线过点，不合题意，舍去，所以，所以，又因为恒成立，所以当时，的最小值为9.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线（为参数，）经过点，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直线的参数方程与普通方程的相互转化，椭圆的的参数方程与普通方程及极坐标方程的相互转化（2）先写出直线的参数方程，再联立方程应用韦达定理求两根积即可.【小问1详解】由题可知直线经过点，又因为经过点，故，整理得的普通方程为.曲线的普通方程为， 化为极坐标方程为.【小问2详解】因为，所以，则的参数方程可写为（为参数），代入中，整理得，设点对应的参数为，点对应的参数为，则，由参数的几何意义，得.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数在区间上的值域，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法即可求出结果；（2）利用条件得到，再利用在区间上的值域建立不等关系，从而求出结果.【小问1详解】 当时，由得或或解得或，所以不等式的解集为.【小问2详解】当时，，因为在区间上的值域，所以，当时，，即，所以，由，得到或，即或，由，得到，即，所以或.因为，显然，所以，所以或，解得，故的取值范围是