西藏自治区拉萨市2024届高三上学期第一次模拟数学试题（理）（Word版附解析）

拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学理科注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则（）A.B.C.D.2.已知复数为纯虚数，则实数值为（）A.B.0C.1D.23.双曲线的焦点坐标为（）A，B.，C.，D.，4.将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（）AB.C.D.5.函数的部分图象大致为（）A.B. C.D.6.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（）A.B.C.4D.57.二项式的展开式中的第3项为（）A.160B.C.D.8.若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A.B.C.D.9.若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.10.的值为（）A.B.0C.1D.211.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（） A.B.C.D.12.已知函数的定义域为R，，，且，，当时，，则不等式的解集为（）A.或B.C.或D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，空间向量．若，则______．14.已知正数，满足，则的最小值为______.15.如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________．16.已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数______；当函数有三个零点时，函数的极大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列的前项和为．（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求．18.如图，正方体的棱长为2．（1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值．19.当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望．20.设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.（1）求的标准方程；（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线方程.21.已知函数．（1）若，求的最小值；（2）若方程有解，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.【选修4-5：不等式选讲】23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：，，使得. 拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学理科注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案.【详解】因为，，所以，因为，所以.故选：A2.已知复数为纯虚数，则实数的值为（）A.B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】化简后，得到方程与不等式，求出.【详解】因为为纯虚数，所以，解得.故选：D． 3.双曲线的焦点坐标为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】先求得，进而求得焦点坐标.【详解】因为，，所以，得，所以焦点坐标为和.故选：C4.将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换求得的解析式，然后根据为偶函数求得.【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，因为为偶函数，且，所以，得.故选：A5.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据趋于正无穷时函数值大于0可得到答案.【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B.故选：A.6.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（）A.B.C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义求得点的坐标，进而求得.【详解】设，由得，又，得，所以，故选：B7.二项式的展开式中的第3项为（）A.160B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二项式展开式公式即可求解.【详解】因为，所以，故C项正确.故选：C．8.若变量，满足约束条件，则的最小值为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出可行域，然后利用斜率的知识求得的最小值.【详解】根据约束条件画出如图所示的可行区域，再利用几何意义知表示点与点连线的斜率，直线的斜率最小，由，得，所以.故选：C9.若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积.【详解】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，所以圆锥的母线长，底面圆半径，所以该圆锥的侧面积为. 故选：B10.的值为（）A.B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据正切的两角和公式变形可得.【详解】因为，变形得，所以.故选：D．11.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得圆的直径，结合正弦定理，即可求得的长.【详解】因为，所以为圆的直径，根据题意，可得，又因为在以为直径的圆上，即以为直径的圆为的外接圆， 由正弦定理，可得.故选：A.12.已知函数的定义域为R，，，且，，当时，，则不等式的解集为（）A.或B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】根据单调性的定义和对称性知关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，把不等式转化为，利用变量与对称轴的位置关系列不等式求解即可.【详解】因为函数的定义域为R，，所以函数图象关于对称，又，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，记，因为关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，所以关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，由得，等价于，所以，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，空间向量．若，则______． 【答案】1【解析】【分析】根据，从而可求出，即可求解.【详解】因为，所以，即，得．故答案为：.14.已知正数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】正数，满足，利用“1”的代换，将已知转化为，再利用基本不等式求解即可.【详解】正数，满足，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.15.如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________．【答案】【解析】【分析】先求出半径之比，从而可求体积之比.【详解】根据球的表面积公式，可求得两个球的半径之比为，利用球的体积公式可得出两个球的体积比为故答案为：.16.已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数______；当函数有三个零点时，函数的极大值为______． 【答案】①.②.##【解析】【分析】因式分解得，然后根据零点互为相反数可得解析式；当函数有三个零点时，求出解析式后利用导数求极值即可.【详解】，当时，函数有两个零点，其中一个为，另一个必为1，于；当有3个零点时，因为函数的图象与轴的交点关于轴对称，所以0是函数的零点，从而1也是函数的零点，于是，由，得，当或时，；当时，.所以，当时，函数有极大值，极大值为．故答案为：；.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列的前项和为．（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组并求解，结合等差数列的通项公式可得答案；（2）利用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】设的公差为，由已知得解得．故．【小问2详解】，所以．18.如图，正方体的棱长为2．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）直接由线面平行的判定定理证明即可. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量、平面的法向量，由线面角的正弦值公式运算即可.【小问1详解】平面平面，平面．【小问2详解】如图，以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，设平面的法向量为，由得，令，得，．所以直线与平面所成角的正弦值为．19.当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望．【答案】（1） （2）分布列见解析，期望值为【解析】【分析】（1）根据组合知识得到BAT中有1个和有0个的情况，从而求出相应的概率；（2）求出的可能取值和对应的概率，求出分布列，得到期望值.【小问1详解】选取的3个科技企业中，BAT中有1个的情况为种，BAT中有0个的情况为种，故BAT中至多有1个的概率为．【小问2详解】由题意，的所有取值为，，，所以的分布列为0123．20.设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.（1）求标准方程；（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由题意，可直接求出点，，从而确定基本量的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，直曲联立，解方程即可进行取舍；当斜率存在时，直曲联立，结合韦达定理和中点坐标公式列方程即可求.【小问1详解】由题意，直线与轴的交点为，与轴的交点为，所以，，，因此标准方程为.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，：，联立，解得或，故，，不满足，即不是的中点，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线：，，.联立可得，即.所以.由于为的中点，所以，即，解得.综上，直线的方程为，即. 21.已知函数．（1）若，求的最小值；（2）若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）时，设，利用导数判断出的单调性可得答案；（2）即有解，构造函数设，利用导数判断出的单调性，可得方程有解转化为在上有解，再构造函数，利用导数求出值域可得答案．【小问1详解】当时，，，设，则，在上单调递增，且，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以；【小问2详解】 即，即，设，则，，设，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即，在上单调递增，所以方程有解即在上有解，有解，即有解，设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，当时，，所以，即实数a的取值范围是．【点睛】关键点点睛：构造函数利用导数判断出单调性及求出最值是本题解题的关键点，构造函数是求解导数问题的常用策略，而构造函数的方法技巧较为众多，需要结合具体问题合理选用.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线直角坐标方程以及曲线的普通方程；（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过消参的方法求得直线的直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化公式求得曲线的普通方程.（2）根据直线和圆相切时的几何性质来求得的最小值.【小问1详解】依题意，由，消去，得直线的直角坐标方程为；因为，故，即曲线的普通方程为.【小问2详解】由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆.所以，要使得最小，只需最小，又，所以的最小值为. 【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：，，使得.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过分类讨论去绝对值，从而求得不等式的解集.（2）先利用绝对值三角不等式求得的最小值，然后利用基本不等式证得结论成立.【小问1详解】因为，所以.当时，原式化为，解得，则；当时，原式化为，解得；当时，原式化为，解得，则，综述，原不等式的解集为.【小问2详解】 证明：依题意，，当且仅当时取等号，又，当且仅当时取等号，故，，使得.