西藏自治区拉萨市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析）

2023—2024学年第一学期拉萨市高中期末联考高二数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡指定位置上.3.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，，则直线的斜率为（）A.B.C.D.2.平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（）AB.C.D.3.两条平行直线与之间距离为（）A.B.C.7D.4.直线与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定5.如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（）A.B.C.D. 6.以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（）A.B.C.D.7.若方程表示焦点在y轴上双曲线，则实数m的取值范围为（）A.B.C.D.8.如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则在基底下的坐标为（）AB.C.D.二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.若＝(3x，−5，4)与＝(x，2x，−2)的夹角为钝角，则x的取值可能为（）A.1B.2C.3D.411.已知圆，则下列说法正确的是（）A.点在圆M内B.圆M关于对称C.半径为1D.直线与圆M相切 12.已知椭圆：，则下列各选项正确的是（）A.若的离心率为，则B.若，的焦点坐标为C.若，则的长轴长为6D.不论取何值，直线都与没有公共点三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.双曲线的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为_________.14.如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是__________.15.第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为，小圆台的两底面半径和高分别为，则该几何体的体积为_________． 16.已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为_________.四、解答题（本题共6小题，17题10分，18—22题每题12分，共70分.）17.已知点；（1）求过点且与平行直线方程；（2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．18.已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长.19.正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．（1）求证：平面；（2）求四面体的体积．20.已知.（1）当时，与相交于两点，求直线的方程； （2）若与相切，求的值.21.如图，长方体中，，M，N分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.22.已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.（1）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；（2）当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围. 2023—2024学年第一学期拉萨市高中期末联考高二数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡指定位置上.3.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接由两点的斜率计算公式计算即可.【详解】由题意，，所以直线的斜率为.故选：A.2.平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据两个平面垂直，两个平面的法向量也垂直，求解即可.【详解】因为，所以，解得.故选：D3.两条平行直线与之间的距离为（）A.B.C.7D.【答案】D 【解析】【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可.【详解】因为直线与平行，整理：，代入平行直线距离公式，则.故选：D4.直线与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】A【解析】【分析】求出圆心坐标与半径，再计算出圆心到直线的距离，即可判断.【详解】圆圆心，半径，又圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选：A5.如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，，，设异面直线与所成的角为,，则,所以.故选：C6.以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义求解．【详解】根据题意，可设抛物线的方程为，由抛物线的定义知，即，所以抛物线方程为．故选：C． 7.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可.【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，可变形为.所以有，即，解得.故选：A.8.如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则在基底下的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意和空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意得， ，，所以，即，所以.故选：B二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用线线、线面、面面关系可判断ABC，举反例可判断D.【详解】对于A，若，则，或与异面，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则，故C正确；对于D，如下图，在长方体中，，则，，或与相交，故D错误.故选：BC. 10.若＝(3x，−5，4)与＝(x，2x，−2)的夹角为钝角，则x的取值可能为（）A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，分析可得两个向量不共线，由向量数量积的计算公式可得且不反向，解可得的取值范围，分析选项可得答案.【详解】根据题意，若与共线，则有，无解，即两个向量不会共线，若与的夹角为钝角，必有，解可得：，分析选项：、2、3符合，故选：ABC.11.已知圆，则下列说法正确的是（）A.点在圆M内B.圆M关于对称C.半径为1D.直线与圆M相切【答案】CD【解析】【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证.【详解】解：圆的标准方程为：，圆心为，半径为1，A.因为，所以点在圆M外，故错误；B.因为，即圆心不在直线上，故错误；C.由圆标准方程知，半径为1，故正确； D.因为圆心为到直线的距离为，与圆M的半径相等，故直线与圆M相切，故正确；故选：CD12.已知椭圆：，则下列各选项正确的是（）A.若的离心率为，则B.若，的焦点坐标为C.若，则的长轴长为6D.不论取何值，直线都与没有公共点【答案】BCD【解析】【分析】对于A，分焦点在轴上和焦点在轴上讨论即可判断；对于B，根据得出的焦点在轴上，再由平方关系即可判断；对于C，根据，可以得出，根据长轴长的定义即可判断；对于D，首先求出的范围，然后在方程中，令，得出矛盾，由此即可判断.【详解】对于A，当椭圆：的焦点在轴上时，此时；但当椭圆：的焦点在轴上时，此时，解得，综上，若的离心率为，则或，故A错误；对于B，若，则的焦点在轴上，，即的焦点坐标为，故B正确；对于C，若，则的焦点在轴上，，所以的长轴长为，故C正确； 对于D，由题意方程表示椭圆，所以，在中令，得，即，结合可知，，这与矛盾，这表明了不论取何值，直线都与没有公共点，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.双曲线的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为_________.【答案】（或）【解析】【分析】写出双曲线的一条渐近线方程和一个焦点坐标，根据双曲线的焦点到渐近线的距离为5，求得b即可.【详解】解：双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为，因为双曲线的焦点到渐近线的距离为5，所以，解得所以该双曲线的渐近线方程为y=故答案为：（或）14.如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是__________. 【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值.【详解】以坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则， 令，则，故，设直线与平面所成角大小为，则，故答案为：15.第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为，小圆台的两底面半径和高分别为，则该几何体的体积为_________．【答案】【解析】【分析】根据圆台的体积公式求解即可.【详解】根据圆台的体积公式，可得（），故答案为：16.已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为_________.【答案】2【解析】 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，再求圆心到直线距离d即可得解.【详解】根据题意，圆：化为标准方程为，其圆心为，半径，，又由圆与圆内切，且圆的半径小于6，则有，解得，圆心到的距离，点是圆上一个动点，则点到直线：距离的最大值为.故答案为：2四、解答题（本题共6小题，17题10分，18—22题每题12分，共70分.）17.已知点；（1）求过点且与平行的直线方程；（2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用直线平行的斜率关系和直线的点斜式方程求解即可；（2）分类讨论截距是否为0进行求解即可.【小问1详解】直线的斜率：，故过点且与平行的直线方程斜率.且故直线方程：，即.小问2详解】过点且在轴和轴上截距相等的直线方程,当截距为0时,直线过原点，直线方程为：，即；当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：， 代入得，故直线方程为即.综上得：直线方程为或18.已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可;（2）利用弦长公式求解即可.【小问1详解】，，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】斜率为的直线过椭圆的右焦点所以直线方程为：，联立椭圆的方程得：，化简得：设，则， 故.19.正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．（1）求证：平面；（2）求四面体的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证；（2）首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以.【小问1详解】在正四棱锥中为底面中心，连接，，则与交于点，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面.【小问2详解】 因为，，所以，又为上靠近的三等分点，所以，则.20.已知.（1）当时，与相交于两点，求直线的方程；（2）若与相切，求的值.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）两圆相交，两个方程作差即为交点弦所在直线方程.（2）两圆相切，分内切与外切分别讨论求参数a的值.【小问1详解】当时，，则用与作差得：，化简得：，即直线的方程为【小问2详解】，,，半径，半径，当两圆外切时，，解得，当两圆内切时，，解得.21.如图，长方体中，，M，N分别是，的中点. （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明，得证平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.【小问1详解】连接，如图所示，正方形中，M，N分别是，的中点，有且，所以四边形为平行四边形，则有且，又长方体中且，则且，所以四边形为平行四边形，得，平面，平面，所以平面【小问2详解】以点为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，即，是平面的一个法向量，，所以平面与平面夹角的余弦值为.22.已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.（1）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；（2）当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数m的取值范围；（2）先得出双曲线E的方程，再联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得出，再由的范围得出的取值范围. 【小问1详解】，，，解得【小问2详解】由（1）可知，，双曲线E的方程为设，过点A的直线方程为由可得，由，解得故