湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023年云学名校联盟高二年级11月期中联考数学试卷时长：120分钟满分：150分一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.“”是“与直线平行”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行得到方程，经检验后得到，从而得到答案.【详解】由题意得，解得，当时，两直线为与，此时两直线重合，舍去；当时，两直线为和，此时两直线不重合，满足要求，故“”是“与直线平行”的充要条件.故选：C2.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.【详解】上半部分电路畅通的概率为：，下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，畅通的概率为：. 故选:A．3.已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若，则这样的直线l的条数为（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】【分析】当弦AB在双曲线右支上时，可得出的最小距离是通径，计算出通径的值与比较可判断满足条件的直线数.当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为4，与比较可判断满足条件的直线数.【详解】由双曲线，可得：，当弦AB在双曲线右支上时，通径最短，长度为，因为，此时符合条件的直线有两条；当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为，，故在同一支上时有两条直线，在两支上时有一条直线，故选：C．4.设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，且，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断.【详解】对于选项A，若，则与可能会相交或平行，故选项A错误；对于选项B，若，且，根据线面垂直可知，.故选项B正确；对于选项C，若，则可能会平行、相交或异面，故选项C错误；对于选项D，若，则与可能会相交或平行，故选项D错误.故选：B5.点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（）A.1B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义与三角形两边之差小于第三边的性质即可得解.【详解】依题意，设为椭圆的左焦点，因为椭圆，则，，所以，故选：D．6.若实数、满足条件，则的范围是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，分析可知，直线与圆有公共点，根据直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.【详解】令，可得，则直线与圆有公共点，所以，，解得，即的取值范围是.故选：B.7.已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦的中点为，则，由弦的值求出，即可得到点在以为圆心，1为半径的圆上，从而求出的最小值，即可得解.【详解】圆，即，圆心，半径,设弦的中点为，则,，且，所以，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以， 所以的最小值为.故选：A．8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在，中分别利用勾股定理可求得答案.【详解】如图．设，，则，，在中由勾股定理：，解得：，在中，由勾股定理：解得：，所以，所以渐近线方程为：.故选：A． 二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分．）9.下列说法中正确的有（）A.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为B.直线的一个方向向量为C.若点和点关于直线对称，则D.过点的直线l分别交x，y的正半轴于A，B，则面积的最小值为8【答案】BC【解析】【分析】由截距式方程可判断A；由直线的方向向量可判断B；由点关于直线对称可判断C；直线l方程可设为：，过，所以，表示出面积，由基本不等式可判断D.【详解】A选项中的直线不能表示截距为0的直线，故A选项错误．B选项中的直线的一个方向向量为，与平行．故B选项确．C选项中AB被已知直线垂直平分，满足，即，故C选项正确．D选项中直线l方程可设：，过，所以：，故：，∴，当且仅当时等号成立，，故D选项错误．故选：BC.10.甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件B.事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C.事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件D.事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件【答案】AC【解析】【分析】根据互斥事件及相互独立事件的概念，即可判断出选项A、B和C的正误，对于选项D，利用相互独立的概率公式即可判断出结果的正误.【详解】对于选项A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，所以选项A正确；对于选项B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，所以选项B错误；对于选项C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，所以选项C正确．对于选项D，至少一人投6点的事件为M，则，甲投1点且乙没投得2点事件为N，则为，，，故选项D错误．故选：AC.11.如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（）A.直线与直线所成角的余弦值为B.点到距离为C.直线与平面平行D.三棱锥的体积为【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算A；利用点到直线距离公式计算B；利用线面平行的判定定理判定C；借助C中的线面平行，利用等体积法判定D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点，以，，所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：因为、、分别为、、的中点，则、、、，对于A，，，，设直线与直线所成角为，所以，故A正确；对于B，，，所以，，所以，所以点到AF距离为，故B错误；对于C，连接、，， 在正方体中，因为、分别为、的中点，则，又易得，所以，故、、、四点共面，又因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正确；对于D，因为平面，∴，故D正确.故选：ACD12.已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（）A.的面积是B.的内切圆的半径为C.点M的纵坐标为2D.若点P是C上的一动点，则的最大值为6【答案】ABD【解析】【分析】对A，根据椭圆定义，余弦定理，三角形面积公式可求得答案；对B，在A选项基础上，，可求得；对C，在A选项基础上，由可求得；对D，由向量可得，，两式平方化简得，当最大时，得解.【详解】如图所示，令 A选项，设，，由椭圆定义得，又由余弦定理可得，解得，，故A选项正确；B选项，由，可得：，故B选项正确；C选项，由，可得：，即，故C选项错误；D选项，因为，所以，即，①同理，，可得，②两式相减可得，，故D选项正确．故选：ABD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．【答案】或【解析】【分析】分两种情况，焦点在轴上，焦点在轴上，两种情况，分别代入即可求解.【详解】当双曲线为时，，． 当双曲线为时，，．故答案为：或.14.已知空间向量，，，若，，共面，则实数______．【答案】1【解析】【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果.【详解】因为，，，且，，共面，所以，又，得到，，，解得，故答案为：.15.已知直线l：与x轴交于点M，圆O：，P为直线l上一动点，过P点引圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线的距离最大值为______．【答案】【解析】【分析】根据两圆方程相减可得弦的直线方程为，即可根据判定弦AB的直线恒过定点，由两点距离公式即可求解.【详解】设，则过P点作圆的两条切线，则在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，又在圆O：，两圆相减可得弦直线方程为，又因为：P在直线l上，故：，故：切点弦的直线恒过定点，点到直线的最大距离为．故答案为： 16.已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】根据新定义求得仿射变换后圆的方程及点坐标，求得的面积最大值，结合定义即可求出的面积的最大值.【详解】，，，有仿射变换，椭圆方程变换为：，变换为，如图所示： 所以：而：，所以：，即的最大面积为1．故答案为：1.四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知直线l：，．（1）证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标；（2）直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程．【答案】（1）证明见解析，；（2）或.【解析】【分析】（1）变形给定方程，求出定点坐标即得.（2）按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.【小问1详解】方程变形为：，由解得，显然对任意实数，当时，方程恒成立，所以直线l恒过定点．【小问2详解】由（1）知直线l过点，当截距为0时，即直线l过原点，直线l方程为：；当截距不为0时，设直线l方程为：，则有，解得，此时直线l的方程为：，所以直线l的方程为：或．18.已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．（1）求点Q的轨迹方程； （2）过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得，再将点P代入圆O的方程即可得出答案；解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，由题意可得点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，即可得出答案.（2）讨论直线斜率存在或不存在，设出直线方程，设圆心Q到直线l的距离为d，由代入求解即可得出答案.【小问1详解】解法1：设，，由中点坐标公式可得：解得：由于点P在圆O：上，所以：，代入可得：化简可得点Q的轨迹方程为：．解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，∵Q为的中点，∴，∴点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为：． 【小问2详解】当k不存在时，直线l的方程为．此时圆心Q到直线l的距离为所以：满足条件．当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d，则，所以：而Q到直线l的距离为，解得：此时直线l方程为：．综上：满足条件的直线l的方程为：或，19.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉 松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．①现计划从第一组和第二组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自不同组的概率．②若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．【答案】（1）平均数为，第25百分位数为63（2）①；②【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组解出，然后分别计算出平均数和百分位数即可；（2）①先利用分层抽样的方法计算样本，然后利用古典概型概率求解，然后根据题意计算方差即可.【小问1详解】由题意可知：，解得，可知每组的频率依次为：，所以平均数等于，因为，设第25百分位数为， 则，解得，第25百分位数为63．【小问2详解】①根据分层抽样，和的频率比为，故在和中分别选取1人和5人，分别编号为A和1，2，3，4，5，则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：，，，，A5，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共15个，即，记事件B“两人来自不同组”，则B包含的样本点有，，，，共5个，即，所以②设第二组、第四组的平均数与方差分别为，，，，且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组平均数成绩在第二组、第四组的方差，故估计成绩在第二组、第四组的方差是．20.已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程．（2）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点；①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围；②若，求此时直线l的方程．【答案】（1） （2）①；②或【解析】【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，由经过的点代入方程即可求解；（2）运用分类讨论思想，联立直线与双曲线方程，根据条件及韦达定理即可求解.【小问1详解】因为双曲线的渐近线为，可设双曲线的方程为：又点在双曲线上，所以：双曲线的方程为：.【小问2详解】①当k不存在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意．当k存在时，直线l的方程可设为：，设，联立双曲线方程：,由题意：，∴，所以直线l的斜率的取值范围为．②由，可得：当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件；直线l的方程设为：，联立方程可得：， ，由，可得：代入上式可得：，，解得：，故：．此时直线l的方程为：或．21.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为，PC的中点．（1）证明：；（2）若PC与AB所成角正切值为，求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】第一问用线面垂直的性质即可推出线线垂直，第二问合理利用条件，建立空间直角坐标系，用向量方法求解即可.【小问1详解】因为，面面ABCD面面ABCD，所以面PAD面PAD，所以．【小问2详解】因为，，所以又面面ABCD，面面ABCD所以面ABCD，面ABCD，故另，，故四边形DEBC为平行四边形，以E原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，，，，设异面直线AB与PC所成的角为α，由题：，则，∴因为面ABCD，故：面ABE的法向量为设面FBE的法向最为，，，，取，则， 设面BEF与面ABCD所成的锐二面角为θ，则，所以：，即二面角的大小为．22.已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D．①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．②求面积的最大值．【答案】（1）；（2）①恒过定点；②.【解析】【分析】（1）根据已知焦点三角形周长，由椭圆定义及其离心率求椭圆参数即可得方程；（2）①设直线AD且，，，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合A，B，共线有，整理化简求参数m，即可确定定点；②由直线AD所过定点，结合并将韦达公式代入化简，应用基本不等式求面积最大值，注意取值条件.【小问1详解】由题的周长，可得，又，则，，故椭圆的方程为．【小问2详解】 ①由题，设直线AD为且，，，，联立方程可得：，化简可得：，所以，，因为A，B，共线，则有，化简可得，即，化简可得恒成立．∴，即直线AD的方程为恒过定点．②设直线AD恒过定点记为，由上，可得，所以，·，令，则，当且仅当，即时，取等号．∴面积的最大值为．