湖北省云学新高考联盟2023-2024学年高一数学上学期10月联考试卷（Word版附解析）

2023年湖北省云学新高考联盟学校高一年级10月联考数学试卷✽第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合00댳䁪，集合ሼሼ0Ͷ0ݔ댳䁪，则()A.B.ǡ䁪C.00ǡ䁪D.0ǡ0ǡ䁪2.使得不等式“0댳成立的一个充分不必要条件是()A.댳0댳B.0晦댳C.0댳D.晦0晦댳3.设，为非空集合，定义כ00，且0䁪，已知00䁪，00䁪，则כ()A.00䁪B.00晦或0䁪C.00或0䁪D.00晦䁪͵4.已知集合댳Ͷǡ͵ǡ䁪，集合0䁪，集合中所有元素之和记为，集合的子集0댳个数记为，则ݔ()A.B.C.댳͵D.5.已知命题若0댳，则0ݔ댳ǡ，则命题的否定为()A.若0댳，则0ݔ댳ǡB.若0댳，则0ݔ댳ǡC.若0댳，则0ݔ댳ǡD.若0댳，则0ݔ댳ǡ6.下列函数中，最小值为的是()0댳댳A.ሼݔͶݔ0ሼ.B댳ݔݔͶ00ݔͶͶC.ሼ0ݔ，0댳D.ሼ0ݔݔ00댳ሼ7.已知集合0ሼ䁪，0ሼሼݕ则，若，䁪ݔ0ݕ()0댳A.B.댳C.댳或D.댳或8.在实数集中定义一种运算“”，具有以下三条性质：对任意，⸱对任意，，⸱对任意，，，ݔݔ，以下正确的选项是()A.B.͵ C.对任意的，，，有D.对任意，，，有ݔݔ二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列关于符号“，”使用正确的有()A.若集合，则B.若，则C.䁪䁪댳䁪D.10.若，，，，下列不等式一定成立的有()댳댳댳ݔ댳A.ݔݔB.晦C.D.晦댳ݔ댳11.已知正实数，满足ݔݔ，下列说法正确的是()댳댳ǡA.的最大值为B.ݔ的最小值为ݔ댳ǡ댳댳댳C.ݔ.D为值小最的ǡݔ的最小值为ݔ댳12.若平面点集，满足：任意点0ሼ，存在正实数，都有0ሼ，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是()A.若0ሼሼ䁪是“阶集”，则댳0B.若0ሼሼ0䁪是“阶集”，则为任意正实数C.若0ሼ0Ͷሼ䁪是“阶集”，则晦댳D.若0ሼሼ0䁪是“阶集”，则晦댳第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合00ݔ数实则，若，䁪댳0ݔ0，䁪0ǡݔ的取值集合为．14.命题“댳0时，方程00ݔ有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范围是．댳댳15.已知，，Ͷݔ则，댳ݔ的最小值为．ݔݔ16.已知集合00ݔ000，䁪0ݔͶ䁪，若，且中恰有个整数元素，则实数的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题댳题分Ͷ0已知集合0䁪，集合00댳䁪．0ݔ댳 댳求，⸱设00Ͷ䁪，求A.18.本小题댳题分ݔ댳已知，，且ݔ，求的最小值⸱已知，，ݔ求，͵ݔ的最大值．19.本小题댳题分已知命题“0”是“0ǡ”的充分不必要条件。댳若命题为真命题，求实数的取值范围⸱已知命题0，00ݔ晦，若命题和命题恰有一个为真命题，求实数的取值范围．20.本小题댳题分年，月ǡ日，华为͵ܲ在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机。其实在댳ǡ年ǡ月댳ǡ日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁。为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产0千部手机，需另投入成本0万元，且0댳0ݔ댳0晦0晦ǡ댳由市场调研知此款手机售价题ǡ万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完。ǡ댳0ݔǡͶǡ0ǡ0댳求出年的利润0万元关于年产量0千部的表达式⸱年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少21.本小题댳题分已知，为实数，命题ͶͶ댳댳ǡ댳ǡ댳求证：命题成立且ݔͶ的充要条件是，；댳͵若成立，求ݔ的最小值，并求此时，的值．22.本小题댳题分已知为一个数集，集合ݔ䁪．댳设댳ǡǡ䁪，求集合的元素个数⸱设㔹，证明：若0，则0⸱设，0，ሼ，且0ݔݔݔሼݔ0求，͵ݔ若，ݔሼ，ݔݔ的最小值． 答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题．化简，，由交集运算即可求解．【解答】解：00댳䁪댳Ͷǡ͵ǡǡ䁪，ሼሼ0Ͷ0ݔ0ሼሼ䁪댳ݔ䁪ሼሼ䁪，则ǡ䁪．2.【答案】【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件的判断，属于基础题．可得0댳댳0댳，结合充分条件，必要条件的判定即可求解．【解答】解：由题意可得0댳댳0댳，所以0댳的一个充分不必要条件可以是选项，故选D3.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的运算，集合的新定义问题，属于基础题．由题意先求，进而求出כ题【解答】解：因为00䁪，00䁪，所以00䁪0晦0䁪，又因为定义כ00且0䁪，所以כ00或0䁪，故选C．4.【答案】 【解析】【分析】本题考查集合的表示方法和子集个数问题，属于基础题．化简，求出，，即可得其和．【解答】͵解：由题意，得0䁪͵댳䁪，0댳则͵ݔݔݔ댳댳，Ͷ댳͵，则ݔ댳ݔ댳͵5.【答案】【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．由全称量词命题的否定是存在量词命题，得解．【解答】解：命题：”若0댳，则0ݔ댳ǡ“的否定是：”若0댳，则0ݔ댳ǡ“．故选B．6.【答案】【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值问题，考查二次函数最值，属于中档题．中举反例即可，利用基本不等式等号成立条件不满足，最小值不是，先平方，在利用二次函数求解即可．【解答】0댳解：对于，ሼݔݔ댳，Ͷ0댳当0Ͷ时，ሼ晦，不符合要求，故A错误；Ͷ댳对于：ሼ0ݔͶݔ，0ݔͶ댳当且仅当0ݔͶ时取等号，0ݔͶ댳由0ݔͶ得0ݔͶ댳显然不成立，0ݔͶ댳所以等号取不到，即ሼ0ݔͶݔ的最小值不是，故B错误；0ݔͶ 对于：因为0댳，所以0댳，ͶͶͶሼ0ݔ0댳ݔ댳0댳댳，0댳0댳0댳当且仅当0时取等号，最小值不是，故C错误；对于：ሼ0ݔݔ0，易知0，ሼ，ሼ0ݔݔ0ݔ0ݔ0ͶݔͶ0，当Ͷ0即0或时，ሼ有最小值Ͷ，即ሼ有最小值，故D对．7.【答案】【解析】【分析】本题考查了集合的运算，考查两条直线的位置关系，解题的关键是掌握交集与空集的定义，属于基础题．研究直线的关系可知直线ሼݕ0ݔ与ሼ00댳平行，或直线ሼݕ0ݔ过点댳即可求得答案．【解答】ሼ解：集合0ሼ䁪0ሼሼ00댳䁪，0ሼሼݕ0ݔ䁪，0댳根据题意可得当ሼ00댳与直线ሼݕ得解，时行平ݔ0ݕ；当直线ሼݕ得解，时댳点过ݔ0ݕ댳，综上所述，ݕ或댳．8.【答案】【解析】【分析】本题考查新定义，理解新定义的概念是解题的关键．根据新定义对每个选项进行运算化简可得．【解答】解：对任意ݔݔ，令，ݔݔ，ݔݔ，对于，ݔݔ，故A错误；对于，ݔݔ，故B错误；对于，ݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔ，ݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔ， 对任意的，有，故C正确；对于，ݔݔݔݔݔݔݔݔݔ，ݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔ，当时，有ݔݔ，故D错误．9.【答案】【解析】【分析】本题考查元素与集合之间关系，集合间包含关系的判断及应用，属于基础题．根据题意，集合中的元素都在集合中，判断；举例判断⸱根据元素与集合关系，判断；由中的元素都在中判断．【解答】解：选项A：，则，A正确．对于，如댳䁪，댳Ͷ䁪，댳ǡ䁪，댳䁪，，故B错误；对于，在本题环境下䁪是䁪댳䁪的一个元素，所以䁪䁪댳䁪，若以集合关系，䁪댳䁪子集为，䁪䁪，댳䁪，䁪댳䁪，䁪不是䁪댳䁪的一个子集，故C错误；对于，中的元素都在中，所以，故D正确．10.【答案】【解析】【分析】本题考查了由不等式的基本性质判断不等关系，考查利用作差法大小，属于中档题．댳댳댳댳对于，可得为，，即可判定；对于，利用作差法判定；对于，可得，，即可判定；对于，利用作差法判定．【解答】댳댳解：对于，因为，所以，댳댳所以ݔݔ，故A正确；댳对于，，댳댳因为，所以晦，댳，댳所以晦，댳댳댳所以晦，故B正确；댳 对于，因为，所以，可得，댳댳则，可得，所以，故C正确；ݔ댳对于，，ݔ댳ݔ댳因为，所以晦，但分母符号不确定，故D错误；故选ABC．11.【答案】【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，基本不等式“一正二定三相等”的使用条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：选项A，因为ݔݔ，且，为正实数，所以ݔ即，ݔͶ，所以晦，即的最大值为Ͷ，当且仅当时取等号，故A错误；选项B，因为ݔݔݔ则，数实正为，且，ݔݔ댳ǡ，ǡ即ݔ댳ݔ댳ǡ，即ݔ댳，ݔ댳댳댳댳ݔ댳댳댳댳댳ǡ所以ݔݔݔݔݔ，ݔ댳ǡǡǡǡǡǡ댳当且仅当，即时等号成立，故B正确；ǡ选项C，因为ݔ댳ݔ以所，ݔݔ댳ǡ，所以ݔǡݔ댳ݔǡݔ댳댳ǡݔ댳ݔ댳댳，当且仅当ݔ댳ǡݔ댳，即，时取等号，因为，为正数，故等号不能成立，即C错误；选项D，由ݔ知，ݔݔ댳，댳댳댳댳댳所以ݔݔݔ댳ݔ，Ͷ 当且仅当，即Ͷ时，等号成立，即D正确．故选：．12.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的概念、元素与集合的关系以及命题真假的判定，属于较难题．根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可．【解答】解：对于，若0ሼሼ䁪是“阶集”，则ሼ，所以댳，因为，所以댳，故A正00确；对于，若0ሼሼ0䁪是“阶集”，则ሼ0，则为任意正实数，故B正确；对于，若0ሼ0Ͷሼ䁪是“阶集”，则0Ͷሼ，由得出0Ͷሼ，当晦댳时，00Ͷሼ，0Ͷሼ，当댳时，取0댳，ሼ题ǡ，满足0Ͷሼ，但是0댳Ͷሼ，为使0Ͷሼ成立时，0Ͷሼ，正实数的取值范围是晦댳，故C是正确；댳댳Ͷ若0ሼሼ0䁪是“阶集”，则ሼ0，当，ሼͶ，0时，0，ǡǡǡ故ሼ0不成立，故D错误．故选ABC．댳13.【答案】【解析】【分析】本题考查了含参数的集合关系的问题，属于基础题．利用含参数的集合关系的问题，计算得结论．【解答】댳解：因为集合00ݔǡ0䁪，0ݔ0댳䁪，所以：当ݔ此因，足满，，时ݔ为所求；댳댳댳댳댳当ݔ或ݔ得解，或得由，，时ݔ．ݔݔݔ댳综上所述，实数ݔ的取值集合为．14.【答案】晦댳【解析】【分析】 本题考查了存在量词与存在量词命题和二次函数零点与一元二次方程解的关系，属于基础题．利用存在量词命题，结合二次函数零点与一元二次方程解的关系，计算得结论．【解答】解：因为命题“댳0时，方程00ݔ有两个不等实数根”是真命题，所以函数ሼ00ݔ的图象在댳0上与0轴有两个不同的交点，댳晦晦Ͷ因此͵Ͷ，解得晦댳，所以实数的取值范围是晦댳．댳댳͵15.【答案】ݔ【解析】【分析】本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．由基本不等式求最值，计算得结论．【解答】댳Ͷ댳解：因为，，Ͷݔ댳，所以，且晦晦，Ͷ댳댳ݔݔ因此ݔݔǡݔ댳ݔݔݔǡǡݔݔǡݔݔǡ͵ǡ，ݔǡݔǡ当且仅当ݔ，即时，等号成立，ݔ댳댳所以ݔ为值小最的ݔ．ݔݔǡǡ16.【答案】晦댳【解析】【分析】本题考查了含参数的交集运算问题，解不含参的一元二次不等式和函数方程根的分布，属于中档题利用解不含参的一元二次不等式得，再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得，ǡ댳最后计算得结论．【解答】解：设000ݔͶ，则函数0的图象开口向上，而由知：对称轴0．0댳0Ͷ因为若0댳、0是方程0的两根，则0ݔ0，所以0댳、0均大于，댳 而集合00ݔ0䁪00Ͷ或0，因此要中恰有个整数元素，则ͶǡͶǡǡ即，解得晦，댳ǡ댳ǡǡ所以实数的取值范围为晦．댳Ͷ00Ͷ17.【答案】解：댳由，可得，0ݔ댳0ݔ댳0Ͷ0ݔ댳故，解得댳晦0，0ݔ댳故0댳晦0．댳由0댳，可得0댳或0댳晦，解得0댳或0晦，댳故00晦或0댳．댳故0댳晦0晦或댳晦0，．因为0댳晦0，00Ͷ䁪，所以00댳或晦0Ͷ．【解析】本题考查集合的混合运算，考查不等式的求解，属于基础题．댳解不等式化简集合，，再由集合的交集运算及并集运算求解；根据补集运算求解即可．ݔ18.【答案】解：댳댳댳댳댳댳͵댳댳͵ݔ댳ݔݔ댳ݔݔݔǡ，Ͷ等号当且仅当Ͷ时取得，ݔ所以的最小值为ǡ；因为ݔ͵，所以ݔ͵，ݔ所以ݔ͵，当且仅当时等号成立．又，，所以ݔ댳， 故ݔ的最大值为댳．【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．ݔ댳댳ݔ，运用常数代换以及基本不等式即可求得最小值；ݔ由题意得到ݔ得求而从，͵ݔ到得，式等不本基用运再，͵ݔ的最大值．19.【答案】解：댳设集合䁕，集合ǡ䁕，命题为真命题，集合是集合的真子集，当时，，解得댳晦晦，此时符合题意，当时，则满足，解得댳或ǡ，ǡ综上可得ǡ，即实数的取值范围是ǡ䁕．若命题为真命题，则Ͷ，解得晦댳，命题，中恰有一个为真命题，命题，一真一假，ǡ当真假时，，故댳ǡ；댳晦或ǡ当假真时，，故晦．晦댳当命题，中恰有一个为真命题时，实数的取值范围是댳ǡ䁕．【解析】本题考查根据充分不必要条件求参数，根据命题的真假求参数，属于中档题．댳根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围；命题是二次不等式存在性问题，只需即可求得的取值范围，再分类讨论真假与假真两种情况，从而求得的取值范围．20.【答案】解：댳当晦0晦ǡ时，0ǡ0댳0ݔ댳0댳0ݔ͵0，댳댳当0ǡ时，0ǡ0ǡ댳0ݔǡͶǡ0ݔݔǡ댳ǡ，00댳0ݔ͵0晦0晦ǡ0댳；0ݔݔǡ댳ǡ0ǡ0若晦0晦ǡ，0댳0ݔǡ， 当0时，0ݔ0ǡ万元；댳若0ǡ，00ݔݔǡ댳ǡ0댳ǡ댳ǡ0ǡǡ，0댳当且仅当0时，即0댳时，0ݔ0ǡǡ万元，0因为ǡǡǡ，年年产量为댳千部时，企业所获利润最大，最大利润是ǡǡ万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，分段函数最值的计算，考查了二次函数的最值与基本不等式的应用，属于中档题．댳通过讨论0的范围，得出0的解析式；分别求出0在晦0晦ǡ和0ǡ上的最大值即可得出结论．댳ǡ댳ǡ21.【答案】解：댳证明：充分性：若，，则首先ݔͶ且댳．又因为ͶͶݔ댳，댳ǡ댳ǡͶͶ所以，是댳的充分条件⸱必要性：若ͶͶ댳，且ݔͶ，首先ͶͶݔݔ即，댳ݔݔ댳댳，因为，为实数，ݔݔ댳，所以댳，댳댳ǡ댳ǡ解方程组即得，，ݔͶ댳ǡ댳ǡ综上可得命题成立且ݔͶ的充要条件是，⸱由댳知，命题成立댳，则ݔ댳͵ݔ댳͵ݔ댳ǡ，等号成立当且仅当Ͷ，ǡ，댳͵所以ݔ的最小值为ǡ，此时ǡ，题【解析】本题考查充要条件的证明，基本不等式求最值的应用，属于中档题．댳分充分性和必要性进行证明即可；由댳知，命题成立댳，即ݔ댳，再利用基本不等式求解即可．22.【答案】解：댳解：为一个数集，集合ݔ䁪．댳ǡǡ䁪，当댳时，ݔ댳ݔͶ， 当댳，时，ݔ댳ݔǡ，当，댳时，ݔǡݔ댳，当댳，ǡ时，ݔ댳ݔǡǡǡ͵，当ǡ，댳时，כݔǡݔ，当，ǡ时，ݔǡݔǡǡͶ，当ǡ，时，ݔǡݔǡǡ，当时，ݔǡݔǡ͵，当ǡ时，ݔǡݔǡǡ댳，当ǡ时，ݔ댳ݔͶͶ，当댳，ǡ时，ݔ댳ݔͶͶͶ，当ǡ，댳时，כͶݔ댳ݔ，当，ǡ时，ݔǡݔͶǡ，当ǡ，时，ݔ댳ݔǡ댳，当ǡ，ǡ时，ݔǡݔͶ͵，当ǡ，ǡ时，ݔ댳ݔǡǡ댳ǡ͵，Ͷ댳͵ǡǡ͵Ͷ댳댳ǡ͵댳ǡ͵ͶͶͶ䁪，댳Ͷ个．证明：㔹，0，0ݔ，0ݔݔ͵ͶͶݔݔͶ．0．解：0ሼݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔ͵，ݔ͵设ݔݔ，ሼ，0ݔ͵0ݔ͵ݔݔݔ0ݔݔݔሼݔ，0设ݔݔ댳댳得理整，ݔ͵ݔͶ，判别式法，ͶͶͶͶ，得，即0ݔݔݔሼݔmin．0ݔݔݔሼݔ的最小值为．