浙江省S9联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023学年第一学期杭州S9联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸.一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为或，且，故.故选：D.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可得出结果.【详解】因为，即，所以的共轭复数为，其虚部为. 故选：C.3.已知向量，，若，则实数m的值是（）A.B.C.1D.4【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量，，且所以，所以，解得：，所以.故选：B.4.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令，因为函数在上为单调递减函数，要求函数的单调递减区间，只需求函数的单调递增区间，又因为函数的单调递增区间为，所以函数的单调递减区间为.故选：B. 5.已知直线：，：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案.【详解】直线：，：，若，则有，解得，经检验，当时，直线不重合，符合，则时，满足，而时，不能得到，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角.【详解】如图，取，，中点，分别为，，，则，所以或其补角即为所求的角.因为平面垂直于平面，，所以平面，所以.设正方形边长为，，所以，则.所以.所以是等边三角形，.所以直线与所成的角为．故应选B． 【点睛】本题考查异面直线所成的角.7.已知正方体的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】点作平面于点，过作于点，连接，则为所求，联立即可求解.【详解】如图，过点作平面于点，过作于点，连接，则线段的长即为点P到直线AB的距离，因为正方体的棱长为1，且，所以，，，所以. 故选：B8.设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（）A.B.2C.3D.5【答案】A【解析】【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可.【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点，又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点，所以，则，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以的最大值是.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，两点到直线l：的距离相等，则实数a的值可能为（）A.B.3C.D.1【答案】AC【解析】【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解.【详解】因为，两点到直线l：的距离相等，所以AB所在的直线平行于直线l或AB中点在直线l上， 当AB所在的直线平行于直线l时，因为，所以直线l的斜率，所以；当AB的中点在直线l上时，，解得，故选：AC.10.(多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.得分在[40，60)之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0.5C.估计得分的众数为55D.这100名参赛者得分的中位数为65【答案】ABC【解析】【分析】根据图中数据首先求出，然后逐一判断即可.【详解】根据频率和为1，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60)的频率是0.40，估计得分在[40，60)的有100×0.40＝40(人)，A正确；得分在[60，80)的频率为0.5，可得从这100名参赛者中随机选取一人，得分在[60，80)的概率为0.5，B正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为＝55，即估计得分的众数为55，C正确；由0.05＋0.35＝0.4<0.5，知中位数位于[60，70)内，所以中位数的估计值为60＋故选：ABC11.已知，且，则下列式子中正确的有（）A.B. C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式即可判断B、C两个选项，对数的运算性质得到，可判断A，通过把转换成，进而就可以判断D选项.【详解】选项A：，A错误；选项B：，当且仅当，即时，等号成立.又因为，所以B正确；选项C：，当且仅当时，等号成立.又因为，所以C正确；选项D：因为，则，又因为，则，所以当时，，D错误.故选：BC12.在正方体中，，，，分别为，，的中点，，分别为，上的动点，作平面截正方体的截面为，则下列说法正确的是（）A.不可以是六边形B.存在点，使得C.当经过点，时，点到平面的距离的最大值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项，可以把截面补全可知截面的形状为六边形故A选项错误；对于B选项，等价于在平面上的射影与垂直，从而计算出点的位置；对于C选项，运用等体积法将问题转化为求点到距离的最小值；对于D选项，求空间折线段的最小值要展成直线段.【详解】如图，对于A取中点，中点，中点，在线段上取点，使得，在线段上取点，使得，在线段，上取点M，使得.易知，且HK，IL，JM交于一点，该点为正方体的中心，所以，，，，，六点共面，又因为，所以平面故A错误.对于B，当时，在中结合勾股定理可知.因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确. 对于C，当经过点，时，为平面AFP.因为是定值，所以要使得点到平面的距离最大，那么的面积最小.由于为定值，即到的距离最小.由于平面，且，只需求到最小距离即可，当运动到时距离最小，则到的最小距离为，即到的最小距离为，此时，则点到平面的距离的最大值为，故C正确.对于D，延长至使得，则，当且仅当，，三点共线且垂直于时，取最小值，最小值为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为，，则t值是_________．【答案】5【解析】 【分析】根据面面垂直时，两个平面的法向量垂直，则，利用向量的坐标表示出两个向量的数量积，得到等式求解即可.【详解】因为平面与平面垂直，所以平面的法向量与平面的法向量垂直，所以，即，解得.故答案为：.14.在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，则与平面所成的角的正弦值为__________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】解：取的中点，连接，过点作，依题意可得，底面，所以底面，如图建立空间直角坐标系，则，，所以，又平面的法向量可以为，设与平面所成的角为，所以，与平面所成的角的正弦值为. 故答案为：15.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合内取值的点中任取一个点，此点正好在直线上的概率为___________．【答案】【解析】【分析】依题意，试验发生包含的事件共有种结果，其中满足条件的有种结果，列举出结果即可求得概率.【详解】试验发生包含的事件是横坐标与纵坐标都在集合内任取一个点，所有的可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种结果，满足点正好在直线上的有：，，，共有种结果，所以所求概率是，故答案为：.16.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则_________．【答案】【解析】【分析】由题设可得以及，利用赋值法可得到方程组 ，从而得到时，的解析式，再利用上述两个关系式推出函数是以为周期的函数，即可求得的值.【详解】因为为奇函数，则，令，则，故，则有，令，则，又因为为偶函数，，令，则，又因为，即，联立，解得：，所以当时，，又因为，即，则，所以函数是以为周期的函数，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，，．（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．【答案】（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 （2）【解析】【分析】（1）由斜率公式直接求解；（2）由倾斜角与斜率的关系即可求解.【小问1详解】由斜率公式可得直线AB的斜率，直线AC的斜率，故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3．【小问2详解】当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，直线AD的斜率由增大到，所以直线AD斜率的变化范围是.18.如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． （1）用向量，，表示；（2）求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由空间向量的线性运算直接求解；（2）结合（1）的结论，由空间向量的数量积公式求模长.【小问1详解】因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．所以．【小问2详解】因为四面体OABC是正四面体，则，， ，所以．19.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线垂直；②过点；③与直线平行．问题：已知直线过点，且．（1）求直线的一般式方程；（2）已知，O为坐标原点，在直线上求点N坐标，使得最大．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选择①，则由垂直关系可得直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线的方程；若选择②，则由斜率公式可求出直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线的方程；若选择③，则由平行关系可得直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线的方程；（2）设点O关于直线的对称点为，利用对称关系可求得，则由图可知，当且仅当Q，N，M三点共线时取得等号，从而可求得结果.【小问1详解】选择①与直线垂直，则直线的斜率，解得，又其过点，则直线的方程为：，整理得：；选择②过点，又直线过点 则直线的斜率，则直线的方程为：，整理得：；选择③与直线平行，则直线的斜率，又其过点，则直线的方程为：，整理得：；综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：．【小问2详解】根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，设点O关于直线的对称点为，则，且，解得；显然，当且仅当Q，N，M三点共线时取得等号；又直线QM的斜率，故其方程为：，即，由，得，则点N的坐标为时，使得最大. 20.如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段的中点，（1）求证：（2）求D点到平面的距离；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意，由平面得，从而平面，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点到平面的距离的向量公式求解.【小问1详解】△ABC中，，，，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，平面，所以． 【小问2详解】由（1）知，平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，，又，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，设D到平面的距离为，得．21.如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】设，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面平面，所以平面.【小问2详解】依题意，平面平面，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，，，，设平面的法向量为，则，故可设.设平面与平面的夹角为，则 22.已知分别为三个内角的对边，且，（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由推得，再由设，将转化为，再引入，得，最后利用复合函数的单调性即可求解.【小问1详解】因为，则，所以，则，所以为直角三角形，所以【小问2详解】，所以，而，所以设，所以，令，又因为，所以，所以，令， 因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.