浙江省浙北G2联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

浙北G2期中联考2023学年第一学期高二数学试题命题：湖州中学审题：嘉兴一中考生须知：1.全卷分试卷和答卷.试卷4页，答卷4页，共8页.满分150分，考试时间120分钟.2.本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效.3.请用钢笔或水笔将班级､姓名､试场号､座位号分别填写在答卷的相应位置上.4.本试题卷分选择题和非选择题两部分.试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】解:设直线的倾斜角为，将直线的方程变为，所以直线的斜率，即，又因为，所以．故选：D．2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点Q的坐标是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】 由点关于平面对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.【详解】点关于平面对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数则对称点故选：D【点睛】本题主要考查了求关于坐标平面对称点的坐标，属于基础题.3.下列方程是圆的切线方程的是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：已知圆的圆心为，半径为1，圆心只有到直线的距离为1，即此直线与圆相切．故选C．考点：直线与圆的位置关系．4.已知的内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理角化边，再利用余弦定理可得答案.【详解】因为，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得．因为，所以．故选：B. 5.平行六面体中，，，，，则线段的长度是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，根据向量数量积定义和运算律可求得，由此可得结果.【详解】，，，即线段的长度为.故选：D.6.已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案. 【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，则，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，即点位于短轴端点时，大于或等于，则，解得．故选：A.7.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦 值.【详解】设，则构成空间的一个基底，，，.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.8.已知为双曲线的右焦点，过点的直线分别交两条渐近线于两点.若，且，则该双曲线的离心率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据勾股关系确定进而可得，结合 与渐近线的倾斜角的倍角关系求解.【详解】不妨设的倾斜角为锐角，因为，所以，所以渐近线的倾斜角取值范围为，所以,所以，所以，又因为，所以，在直角三角形中，,设直线的斜率为，所以，所以，解得或（舍），所以，所以该双曲线的离心率为，故选：A.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】CD【解析】【分析】首先找到直线所过定点，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长的取值范围，进而求出的长度可能的取值.【详解】已知直线恒过点，圆的圆心坐标为，半径.当直线经过圆心时，所得弦长最大，；当直线与所在直线垂直时，所得弦长最小，，因此可得：，故的长度可能等于4或5.故选：CD10.若是空间的一个基底，则下列向量组可以作为空间的基底的是（）A.、、B.、、C.、、D.、、【答案】BC【解析】【分析】利用空间向量基底的概念判断可得出结论.【详解】因为是空间的一个基底，对于A选项，，则、、共面，A不满足；对于B选项，假设、、共面，则存在、，使得，所以，、、共面，矛盾，假设不成立，所以，、、可以构成空间中的一组基底，B满足；对于C选项，假设、、共面，则存、，使得， 因为是空间的一个基底，则，该方程组无解，所以，假设不成立，故、、可以构成空间中的一组基底，C满足；对于D选项，因为，则、、共面，D不满足.故选：BC.11.已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（）A.的最小值为B.周长的最小值为16C.的最大值为9D.直线与的斜率之积为【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆的标准方程及椭圆的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由椭圆的方程，可得，则，对于A中，因为经过椭圆的交点，由椭圆的性质，可得通径最短，其中通径长为，所以的最小值为，所以A正确；对于B中，根据椭圆的对称性，可得，由椭圆的定义可得，又由过原点的直线交得椭圆的弦长中，短轴长最短，其中短轴长为，所以周长的最小值为，所以B正确；设椭圆的长轴的两个端点分别为，由椭圆根据椭圆的性质，可得，此时直线的斜率为， 因为直线斜率不为，所以，所以C不正确；设，则，则在的斜率都存时，可得，则，所以D正确.故选：ABD.12.如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（）A.存点P，使得B.的最小值为有C.面积的最小值为D.三棱锥与三棱锥的体积之和为定值【答案】ACD【解析】【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，其中点坐标，可设（），即可得出. 对于A选项，要使，即，得到关于的方程，解方程即可；对于B选项，将和沿展开，连接，的最小值即的长度，利用锐角三角函数和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可得到；对于C选项，设（），利用向量的夹角公式求得，由同角三角函数的平方关系得到，代入三角形面积公式：，结合二次函数的性质讨论最值即可；对于D选项，利用等体积法得，即可求解.【详解】由题意得，，即，又在直三棱柱中，底面，平面，平面，，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为，，所以，，，，，，，则，，设（），则，解得，，，所以，对于A选项，，，要使，即，解得，当，即在中点时，，故A选项正确；对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示，连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值， 由题意得，，，，，，所以，，，，则，在中，由余弦定理得，，则，所以的最小值为，故B选项错误；对于C选项，，，设（），则，即，所以，则，因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确；对于D选项，，故D选项正确，故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的动点的相关线段的位置关系、线段长度、面积和体积的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理及转化思想的应用.解答本题关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决空间的中的相关问题，同时对于转化思想的 应用，利用两点之间线段最短求距离的最值，本题中B选项，将和沿展开，利用两点之间的线段最短，，求解即可.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的渐近线方程是__________．【答案】【解析】【详解】根据双曲线的渐近线公式得到故答案为.14.若直线与直线平行，则与间的距离是__________.【答案】##【解析】【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得与间的距离.【详解】因为直线与直线平行，则，解得，所以，直线的方程可化为，直线的方程可化为，因此，与间的距离是.故答案为：.15.如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是__________. 【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则， 令，则，故，设直线与平面所成角大小为，则，故答案为：16.若对任意，直线与圆：均无公共点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得出圆心到直线的距离，化简为，解不等式即可得出答案.【详解】圆：的圆心，，由题意，圆心到直线的距离，所以，或，即或对任意恒成立，即对任意恒成立，所以，所以，解得：． 故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17已知直线过点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）与直线垂直的直线的方程可设为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；（2）设直线的方程为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：与直线垂直的直线的方程可设为，将点的坐标代入直线的方程得，解得，所以直线的方程为.【小问2详解】解：设直线的方程为，由题意可的，解的，所以直线的方程为，即.18.在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上. （1）求圆的标准方程；（2）若点为圆上任意一点，且点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设圆心坐标，由，可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程；（2）设，，结合中点坐标公式，利用点坐标表示出点坐标，代入圆方程即可得到所求轨迹方程.【小问1详解】因为在上，所以设圆心，又因为圆过点，所以，得：，则半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】设中点，因为线段的中点，点的坐标为，则，因为点为圆上任意一点，所以代入，化简得：.所以线段的中点的轨迹方程为：.19.已知函数.（1）求函数的最小正周期及其所有的对称轴；（2）求函数在区间上的最小值.【答案】（1），（）（2）. 【解析】【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式变形，进一步计算即可；（2）结合函数解析式，求出变量范围，找到最小值点，进行计算即可.【小问1详解】由题意得所以.又得，，故所有的对称轴为（）.【小问2详解】由，得，所以当即时，.20.已知双曲线的右焦点，离心率为.（1）求双曲线的方程；（2）过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】20.；21.证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出，即可写出双曲线方程.（2）先根据题意可判断直线AB的斜率存在且不为0,结合过点设出直线方程；再与双曲线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出，结合韦达定理化简即可证明结果.【小问1详解】 由题意得，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线方程为，，.联立，消去得，所以.，又，.21.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且，，，，，是正三角形.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】分析】（1）取中点，连接，，，利用线线垂直证明线面垂直；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求面面夹角.【小问1详解】取的中点，连接，，，是正三角形，，在直角梯形中，，，，是正三角形，，又，平面，而平面，；【小问2详解】以为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，，设由题意可得，，故，解得，所以，则，，设平面的法向量，则，令，则，，，平面的法向量，则，令，则，，平面与平面所成角的余弦值为.22.已知椭圆的长轴长为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点（1）求椭圆的标准方程； （2）证明：是直角三角形；（3）求面积的最大值.【答案】22.；23.证明见解析；24.【解析】【分析】（1）根据长轴长求出a，结合求出b，即可求得椭圆的标准方程；（2）分别求出，并得到，进而得到即可得证；（3）分别求出，写出面积后利用均值不等式求解.【小问1详解】，设椭圆的标准方程为，，则，则，所以椭圆的标准方程为：【小问2详解】设，所以，，，所以，所以是直角三角形【小问3详解】直线，代入， 得：，所以又，所以，则因为在上，所以又，故令，所以，当且仅当时取等.所以面积的最大值为.