湖南省 2024届高三上学期模拟数学试题（Word版附解析）

衡阳市八中2024届高三上学期数学模拟试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合，再求交集即可.【详解】根据题意，可得，故故选：.2.已知复数z满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.【详解】，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D3.函数的最小值为（）A.-2B.C.D.0【答案】B【解析】 【分析】化简，对称轴处取最小值即可.【详解】当时，取得最小值为故选：B4.已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列{an}的公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，，解得答案.【详解】；，解得，.故选：D5.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据轴截面和相似关系，以及圆台体积即可求解.【详解】如图所示，画出圆台立体图形和轴截面平面图形，并延长与于点. 根据题意，，，，，设，所以，解得，，所以，故选：B.6.已知的展开式中的系数为80，则m的值为（）A.B.2C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，利用二项式展开式的通项公式求出的项的系数，进而得出结果.【详解】，在的展开式中，由，令，得r无解，即的展开式没有的项；在的展开式中，由， 令，解得r=3，即的展开式中的项的系数为，又的展开式中的系数为80，所以，解得.故选：A.7.在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，点M是双曲线右支上一点，且为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】连结.判断出为直角三角形，且，由双曲线的定义得到，求出离心率.【详解】如图示，连结.因为为等边三角形，所以.所以.因为，所以.又，所以，所以.在中，，所以. 由双曲线的定义可得：，即，所以离心率.故选：A.8.设，，，则下列关系正确的是（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】构造函数.利用导数判断单调性，证明出.构造函数.利用导数判断单调性，证明出，得到；构造函数.利用导数判断单调性，证明出，即为.即可得到答案.【详解】记.因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.记.因为，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.所以.记.因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.所以.综上所述：. 故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的平均数的估计值为77【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由，可解得，故选项A正确；频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；得分在80分及以上的人数的频率为，故人数为，故选项C正确；这组数据的平均数的估计值为：故选项D正确.故选：ACD.10.已知函数的部分图象如图所示，则（） AB.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由可求出，由结合可求.【详解】由图可知且，，由图可知，，，，又，则，即，又由图，则，即，则，.故选：AD.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A.B.延长交直线于点，则，，三点共线C.D.若平分，则【答案】AB 【解析】【分析】根据题设和抛物线的性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线和直线得到点，即可判断B选项，若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出.【详解】由题意知，点，，如图：将代入，得，所以，则直线的斜率，则直线的方程为，即，联立，得，解得，，又时，，则所以，所以A选项正确；又，所以C选项错误；又知直线轴，且，则直线的方程为，又，所以直线的方程为，令，解得，即，在直线上， 所以，，三点共线，所以B选项正确；设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，若平分，即，即，所以，则，且，解得，又，解得：，所以D选项错误；故选：AB.12.如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（）A.直线为异面直线B.C.直线与平面所成角的正切值为D.过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9【答案】BC【解析】【分析】作出图形，利用中位线定理和平行的传递性即可判断选项A；利用等体积法计算即可判断选项B；根据线面角的概念即可判断选项C；利用平面的性质即可判断选项D.【详解】对于A，连接， 由题意可知，因为，所以，所以共面，故选项A错误；对于B，连接，由题意可知，所以，故选项B正确；对于C，连接，由正方体的性质可知平面，所以即为直线与平面所成的角，则，故选项C正确；对于D，连接， 根据正方体的性质可得，且，所以平面即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底，下底为，高为，所以截面面积为，故选项D错误；故选：BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量，，若与共线，则______.【答案】##1.5【解析】【分析】确定，根据平行得到，解得答案.【详解】，，则，，故，解得故答案为：14.六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．【答案】90【解析】【分析】根据有限制的排列问题求解即可.【详解】由于六个身高不同人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则排法有种． 故答案为：.15.已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.【详解】函数且的图象过定点，则，所以，由，得，则令，则，则，当且仅当，即，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：.16.如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________． 【答案】【解析】【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.【详解】设，，设：，又，∴，∴，∴．∴，∴，∴直线AB恒过点，由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即当直线时，弦长最短，此时弦最小为．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.17.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答． 问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______．（1）求B；（2）若的外接圆半径为2，且，求ac．注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①利用余弦定理即可求出；选②根据正弦定理进行边换角即可得到答案；（2）首先求出，再利用正弦定理整体求出即可.【小问1详解】选择条件①：因为，在中，由余弦定理可得，即，则，因为，所以.选择条件②：因为，在中，由正弦定理可得，即，则，因为，所以，则，因为，所以.【小问2详解】因为，所以，则，即，又，所以.因为的外接圆半径，所以由正弦定理可得，所以. 18.已知数列，满足，，.（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等比数列的定义即可证明；（2）由错位相减法可求.【详解】（1）依题意，.又.故为首项，公比的等比数列.（2）由（1）可知.所以.①②①-②得，故.19.某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. （1）求关于的经验回归方程；（2）该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；（3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望.附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：【答案】（1）（2）（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出，即可得解；（2）将代入回归方程即可得解；（3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】，则，所以，所以；【小问2详解】 当时，，所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次；【小问3详解】可取，，，，，，所以分布列为所以.20.如图所示，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，且平面ABCD，．（1）求证：平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为．【答案】（1）证明见解析（2）M与E重合【解析】【分析】（1）可证平面BCF，从而得到需求证的线面垂直. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面MAB的一个法向量和平面FCB的一个法向量后可求二面角的余弦值，从而可求参数的值，故可得的位置.【小问1详解】证明：设，在梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为，∵，，所以，∴，∴，∴，则．∵平面ABCD，平面ABCD，∴，而，CF，平面BCF，∴平面BCF．∵，∴平面BCF．【小问2详解】以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，∴，．设为平面MAB的法向量，由得取，则易知是平面FCB的一个法向量，∴，∵，∴当时， 即与重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为．21.已知椭圆经过点，左顶点为，右焦点为，已知点，且，，三点共线．（1）求椭圆的方程；（2）已知经过点的直线l与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线过定点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）分别当和时，求得直线的方程，联立方程组，求得交点坐标，设直线的方程为，联立方程组求得，求得直线的方程，令，结合化简得到，即可求解.【小问1详解】解：由题意，将点代入椭圆的方程，可得，又由是轴上一点，且三点共线， 可得所以，解得，代入，可得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：当时，此时直线的方程为，联立方程组，解得或，可得，此时，直线的方程为，当时，同理可得，此时，可得直线的方程为，由，解得，即两直线的交点为，下面证明直线经过轴上定点．设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则，所以直线的方程：．令，可得． 因为，所以．所以直线过定点．22.已知函数（，）（1）讨论函数的单调性；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对m进行分类讨论，求出单调性；（2）参变分离后，转化为在上恒成立，对求导，求解其最小值，最终求出m的取值范围，过程用到了同构和隐零点的方法.【小问1详解】因为，其定义域为所以．当，即时，，所以在上单调递增；当，即时，由得：，所以在上单调递增；得：，所以在上单调递减；综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】因为，，所以，所以在上恒成立．令，则，令，则，所以在上单调递增．又，，所以在上有唯一零点，使．即，即，即，当时，，当时，，所以在处取得极小值，也是最小值.令，，当时，恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即，即．所以的最小值，所以，即，所以实数m的取值范围是．