2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试试卷01（北师大版2019）（Word版附解析）

2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知过点的直线的方向向量，则的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由直线的方向向量可得该直线的斜率为，又直线过点，所以直线方程为，即.故选：A.2．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（    ）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由双曲线可知焦点在x轴上，由题意可得：，解得.故选：C.3．已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ）A．相交B．相切C．相离D．不确定【答案】A【解析】由点在圆外，可得，求得圆心到直线的距离，故直线和圆C相交，故选:A.4．如图所示，空间四边形中，点分别为的中点，则等于（    ） A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点分别为的中点，所以，故选：B．5．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：甲连胜2局，概率为，前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，则甲战胜乙的概率为．故选：D．6．已知展开式中的常数项为,且,则（    ）(附：若随机变量,则,)A．B．C．D．【答案】B【解析】因为展开式的通项公式为．令，得，所以，又，．故选：B．7．某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：   该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值y随年份x的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的是（    ）A．变量y与x负相关B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况C．若选择模型二，的图象一定经过点D．当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP的值为71，则残差为1【答案】D【解析】对于A，由散点图可知y随年份x的增大而增大，所以变量y与x正相关，所以A错误，对于B，由散点图可知变量y与x的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，所以B错误，对于C，若选择模型二：，令，则的图象经过点，所以C错误，对于D，当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP的值为71，则残差为，所以D正确，故选：D8．如图所示，双曲线与抛物线有公共焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，双曲线的离心率为，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，如图： 因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，又，所以点为线段的中点，则，设点，由抛物线定义知，解得；由可得，则由等面积可知：，解得，则，则，又点在渐近线上，即，即，又，联立得，即，解得，故.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对任意实数x，有则下列结论成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由，当时，，，A选项错误；当时，，即，C选项正确；当时，，即，D选项正确；，由二项式定理，，B选项正确.故选：BCD 10．已知直线：，为坐标原点，则（    ）A．直线的倾斜角为B．若到直线的距离为，则c＝2C．过且与直线平行的直线方程为D．过且与直线垂直的直线方程为【答案】CD【解析】直线可化为：，所以斜率，得倾斜角为，故错误；由点到直线的距离公式得，得，所以，故错误；设与直线平行的直线方程为，因为平行直线方程经过原点，所以，即平行直线方程为，故正确；设与直线垂直的直线方程为,因为垂直直线方程经过原点，所以，即垂直直线方程为，故正确.故选：.11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（    ）A．三棱锥体积为定值B．异面直线成角为C．直线与面所成角的正弦值D．当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为【答案】ACD 【解析】因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，，故A正确；因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，则，故C项正确；当点为中点时，，易得，平面，又平面，所以，，平面，所以平面，即平面，，，所以，，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确.故选：ACD 12．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则（    ）A．椭圆的长轴长为4B．椭圆的离心率为C．椭圆的方程可以为D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为【答案】ACD【解析】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为，由图象可得，∴，又，，∴  ，∴椭圆的长轴长为4，A对，椭圆的离心率为，B错，圆的方程可以为，C对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线:，，当时，的值为.【答案】或【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可.【解析】∵:，，∴当时，有，解得或， 当时，:，，∴满足题意；当时，:，，∴满足题意.∴当时，的值为或.故答案为：或.14．某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是．【答案】【解析】记事件，，表示此人选自甲乙丙三个地区，事件：此人被录取；则，，，，．故答案为：15．某同学收集了具有线性相关关系的两个变量x，y的一组样本数据，经计算得到回归直线方程为，且，，则.【答案】【解析】由题意知，，，因为样本中心点满足回归直线方程，所以.故答案为：.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为.【答案】【解析】由题意可得，，，，，为双曲线右支上一点，，又，，则的周长为．故答案为：．   四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．【答案】(1)或(2)或【解析】（1）圆化为标准方程为，所以圆C的圆心为，半径为①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．②若直线的斜率存在，设直线的方程为即由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，所以，即，解得，所以直线方程为综上，所求直线的方程为或（2）依题意，设又已知圆C的圆心为，半径为2，由两圆外切，可知，所以，解得或所以或，所以所求圆D的方程为或 18．（12分）某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的取状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设此时袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.(1)求的分布列与数学期望；(2)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】(1)分布列见解析，；(2)人，万元【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，，则，，，，∴的分布列为：3456∴.（2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，所以获得奖金的职工数约为（人），则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.19．（12分）2023年，5月18日至19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极 评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下：月份6月7月8月9月10月月份代码12345产值（亿元）1620233140(1)求电动汽车产值（亿元）关于（月份）的线性回归方程；(2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人.请问是否有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下）0.100.050.012.7063.8416.635①；②；③.【答案】(1)；(2)有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.【解析】（1）设所求回归直线方程为，则，，，，，故所求回归直线方程为.（2）根据题意，得2×2列联表如下：性别购买非电动汽车购买电动汽车合计男性45550 女性351550合计8020100，故有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.20．（12分）设抛物线：的焦点为，，在准线上，的纵坐标为，到点距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)过且斜率为2的直线与交于、两点，求的面积【答案】1．(1)；(2)【解析】（1）由题意得，，所以，解得或（舍去），所以抛物线的方程为.（2）由（1）可得，，所以直线的方程为，即，设，，联立可得，所以，，设点到直线的距离为，则，所以.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.         (1)证明：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：如图所示：  取中点，连接，则，又因为，所以四边形是平行四边形，因为，，所以四边形是正方形，所以，即是等腰三角形，则，所以，即，因为平面，平面，所以，又因为平面，，所以平面.（2）（2）因为平面，平面，所以，.又因为四边形是正方形，所以，如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，  则，，，，所以，，， 设平面的一个法向量为，则，令，则.设直线与平面所成的角为，，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.22．（12分）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2.(1)求双曲线的方程；(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合），①求直线的倾斜角的取值范围；②在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)①②存在，的坐标为【解析】（1）由题意，，又，则，，所以，双曲线的方程为.（2）①（i）当直线斜率存在时，设直线：，，，联立，整理得：， 由题得：解得或，此时，直线的倾斜角的范围为.（ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为.综上可知，直线的倾斜角的范围为.②（i）当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，，由（2）①得：，又，得：，上对于任意的都成立，所以，解得：或，即当坐标为时，；当坐标为时，.（ii）当直线斜率不存在时，此时，.当坐标为时，； 当坐标为时，.综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数.