2023-2024学年高一数学上学期期末模拟考试试卷01（北师大版2019）（Word版附解析）

2023-2024学年高一数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：北师大版2019必修第一册全册。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题，0，则的一个必要不充分条件是（    ）A．3B．C．D．【答案】C【分析】分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，根据必要不充分条件的定义求解即可．【详解】根据题意可得，即,令，可得时，，当且仅当时，等号成立；即只需即可；再由必要不充分条件的定义可得符合题意.故选：C2．高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ）A．3人B．2人C．1人D．4人 【答案】C【分析】作出图形即可得到方程，解出即可.【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得．故选：C.  3．已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（    ）A．3，4B．2，8C．2，4D．5，8【答案】D【分析】根据平均数和方差的性质运算求解.【详解】由题意可得：数据，，，的平均数为，方差是.故选：D.4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先根据确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 【详解】记，函数定义域为，则，所以函数为奇函数，排除BC，又当时，，排除D，故选：A5．从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（    ）A．两个都不是白球B．两个不全是白球C．两个都是白球D．两个球中恰好有一个白球【答案】B【分析】由条件可直接求出两个球全是白球的概率为，从而得到两个球不全是白球的概率为，由此得出结论.【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，故两个球全是白球的概率为，故两个球不全是白球的概率为，故选：B.6．若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.【详解】因为，且，所以．当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得或， 所以m的取值范围是．故选：D．7．已知函数，任意，都有，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意得出函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列不等式组即可得出结果.【详解】由任意，都有，可知在上单调递减，当时，，由于函数不为减函数，所以不满足题意，当时，函数为开口向上的二次函数，显然在时不单调递减，故不满足题意，故，解得，故选：A.8．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（    ）参考数据：.A．2024年B．2025年C．2026年D．2027年【答案】C【分析】根据题意列出不等关系，然后结合对数运算化简求出年份即可.【详解】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 由得，两边同取常用对数，得，所以，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（    ）A．取出的两个球上标号为不同数字的概率为B．取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为C．取出的两个球上标号为相同数字的概率为D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为【答案】BCD【分析】利用古典概率模型求解.【详解】由题，样本空间为，共9个样本点，对A，取出的两个球上标号为不同数字的概率为，A错误；对B，取出的两个球上标号之积能被3整除的样本点有共5个，所以概率为，B正确；对C，取出的两个球上标号为相同数字的概率为，C正确；对D，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的基本事件有共3个，所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率，D正确；故选:BCD.10．已知关于的不等式的解集为，则（    ）A．B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为【答案】BD【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负.【详解】因为的解集为，所以，解得，所以A错误；对于B：将代入可得，解得，B正确；对于C：不等式的解集为，所以时，C错误；对于D：将代入可得，即，解得，D正确，故选：BD11．若函数有两个零点，则实数的取值范围所构成集合的子集为（    ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】由题意，转化为函数图象交点问题，数形结合即可求b的范围，再求其子集即可.【详解】令，，在同一直角坐标系内，作函数图象如图，  因为函数有两个零点，所以与只需两个不同的交点， 由图象可知，，所以实数的取值范围所构成集合为，其子集为，.故选：AC12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中不正确的是（    ）A．是上的增函数B．C．的值域是D．的值域是【答案】ABC【分析】举反例得到ABC错误，变换，确定，得到答案.【详解】对选项A：，，，错误；对选项B：，错误；对选项C：，错误；对选项D：，，，的值域是，正确；故选：ABC.第Ⅱ卷三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数为奇函数，则的值为．【答案】【分析】根据奇函数的性质求即可. 【详解】定义在上函数为奇函数，则，解之得，经检验符合题意.故答案为：-1.14．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则应抽取50岁以上年龄段的职工人.  【答案】8【分析】根据题意，由分层抽样的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】50岁以上年龄段的职工数为，则应抽取的人数为，即应抽取50岁以上年龄段的职工8人.故答案为：815．函数的值域为.【答案】【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，，则，所以，等号成立所以函数的值域为.故答案为：.16．已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则；.附注：.【答案】【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得 的周期，结合已知条件和周期即可求和.【详解】因为，所以函数的图象关于点对称，且；又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，即为偶函数，所以，所以以4为周期，所以，，，，所以，因为，所以，同理，，，，，所以.所以.故答案为：；【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．某校从参加数学竞赛的同学中选取100名同学将其成绩（百分制，均为整数分数）分成五组，得到如下频率分布表：分数段频率0.10.30.130.07(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据以该组区间中点值为代表）；(2)根据频率分布表，估算这100名学生成绩的第85百分位数（结果保留一位小数）．【答案】(1)72.7(2)第85百分位数为83.8．【分析】（1）先求，再利用平均数的计算公式可得答案；（2）根据百分位数的求法，结合分布表可求答案.【详解】（1）依题意有， 100名学生的平均成绩为；（2）由（1）知内有80个数，估计分数段内的学生成绩从低到高占位的数，则，，故第85百分位数为83.8．18．已知集合.(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出Ü，再列出不等式组计算即可.（2）分和两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可.【详解】（1）由题意，，解得，.由“”是“”的充分不必要条件，得，则且等号不能同时取到，解得，故实数的取值范围为.（2）当时，得，即，符合题意；当时，得，即，由，得或，解得或，或；综上所述，实数的取值范围为.19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？【答案】(1)500名(2)【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；（2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意得：，即，又，所以.即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则所以所以，即恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立.所以，又，所以，即的取值范围为.20．甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，.（2）设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以，则，由事件的独立性与互斥性，得，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．21．若非零函数对任意x，y均有，且当时，.(1)求，并证明；(2)求证：为上的减函数；(3)当时，对时恒有，求实数的取值范围.【答案】(1)，证明见解析(2)证明见解析(3)或或 【分析】（1）取可得，取，计算时的即可；（2）任取，通过计算的符号来证明；（3）先求出，再利用函数单调性去掉不等式中的，得到关于的一次不等式恒成立问题，直接根据范围的端点处成立来列不等式求解即可.【详解】（1）取得，又，，取得，当时，，，，综合得；（2）任取，，则，由得，，，，为上的减函数；（3）取得，，，又由（2）为上的减函数得，即对时恒有，，解得或或.所以或或22．已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由;(3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值.【答案】(1)的单调递增区间为；(2)见解析；(3)10.【分析】（1）根据题意，求出，然后结合二次函数的性质可求得答案；（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）对任意的，恒有成立等价于“在上恒成立”，然后分，和三种情况求解即可.【详解】（1）当时，，当时，，所以在上递增，当时，，所以在上递增，因为，所以的单调递增区间为；（2）当时，，因为，所以为偶函数，当时，因为，所以不是奇函数，因为，，且，所以，所以不是偶函数，综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；（3）当，时，， 所以，整理得，即在上恒成立，因为对勾函数在上单调递增，所以若，则在上单调递减，所以当时，取得最小值，则，所以，当时，，若时，则在上单调递增，所以当时，取得最小值，则，所以，当且仅当时，取得最大值10，综上，的最大值为10.