2023-2024学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第一册，浙江专用）01（Word版附解析）

2023-2024学年高二数学上学期期中测试卷01（测试范围：第1-3章）一、单选题1．抛物线的焦点到准线的距离为A．4B．2C．1D．【答案】C【分析】根据抛物线方程中的几何意义进行求解即可．【解析】抛物线的焦点到准线的距离为：．故选：C.【点睛】本题考查对抛物线方程及对的几何意义的理解，属于基础题．2．圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】将圆的一般方程化简为标准方程，根据标准方程性质即可得出答案.【解析】将圆的一般方程化为标准方程，由圆的标准方程可知圆的圆心为，半径为.故选:C3．已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（）．A．2B．C．1D．0【答案】D【分析】根据空间向量基本定理，由向量共线的条件，列方程求.【解析】因为与共线，空间的一组基底，所以， 所以，解得，所以.故选：D.4．若直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ）A．B．3C．5D．【答案】C【分析】由两直线垂直得关系后转化为函数求解，【解析】因为直线与直线互相垂直，所以，化简得，所以，当且仅当时取“=”，所以的最小值为5，故选：C5．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（    ）  A．B．C．D．【答案】C【分析】先证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【解析】平面平面，且为交线，，平面，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.   因为，在Rt中，，所以，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则.设平面的一个法向量为，则，即，令，则.设二面角的平面角为，则.故选：C6．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据离心率及，建立关于的等式即可得解.【解析】显然离心率，解得，即，分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，， 于是，而，即，又，因此联立解得，所以椭圆的方程为.故选：B7．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）A．B．C．D．3【答案】A【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.【解析】∵  抛物线的方程为，∴  ，抛物线的准线方程为，∵方程可化为，∴过定点，设，设的中点为，则，因为，为垂足，∴，所以，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，过点作准线的垂线，垂足为，则,∴,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，∴，过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，∴，当且仅当四点共线且在之间时等号成立， 所以的最小值为，故选：A.8．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（    ）A．B．C．和D．和【答案】C【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值.【解析】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外，设，其中且，直线的方程为，纵截距为，直线的方程为，纵截距为，依题意有，整理得，所以在圆上，圆心为，半径为.则圆与圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，当两圆外切或内切时：圆的圆心为，半径为， 则或，前者无解，后者解得.当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时，，将代入，得.  综上所述，的值为或.故选：C【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.二、多选题9．下列说法中，正确的是（    ）A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8B．过两点的直线方程为C．过点且与直线相互平行的直线方程是D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为【答案】AC【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解析】对A，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；对B，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；对D，经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，故选：AC．10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【解析】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（    ） A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【分析】以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得相关点，由线面垂直、平行和三棱锥的体积公式和线面角的求法，可得结论．【解析】在正方体中，平面，，则以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则，，，，，，对于A，，，，因为，，即，， 又，且平面，平面，所以直线平面，故A正确；对于B，在正方体中，，又平面，平面，可得平面，点在线段上运动，所以点到平面的距离即为到平面的距离，也即为点到平面的距离，且为定值，而的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角．易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为；故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；对于D，设，，由A选项正确，可知是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．故选：ABD．12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ）A．2=2 B．C．轴，且D．四边形的内切圆过焦点，【答案】BD【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．【解析】,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确；,若，则由射影定理可得：，即，所以，即，，解得；所以正确；，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，所以，所以不正确；，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于，因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，由题意知：，又，整理得：，，，解得，所以，所以正确，故选：． 三、填空题13．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则．【答案】4【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.【解析】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，所以，解得.故答案为：4.14．已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为【答案】【分析】结合圆心到直线的距离以及半径求得正确答案.【解析】圆心，半径，圆心到直线的距离等于，故圆上的动点到直线的距离的最小值为．故答案为：15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是.【答案】【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点 又在渐近线上，故渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围.【解析】设，则，化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又因为点在双曲线的渐近线上，所以渐近线与圆有公共点，所以，解得，即，所以双曲线离心率的取值范围是.【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆、直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16．已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是．【答案】【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.【解析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则，由可设，由是单位空间向量可得，由可设，，当，的最小值是2，所以，取，，，当时，最小值为.故答案为：. 四、解答题17．已知点.(1)求过点A且与平行的直线方程；(2)求过点A且与垂直的直线方程；(3)若中点为，求过点A与的直线方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出的斜率，利用点斜式求直线即可；（2）求出与垂直的直线的斜率，利用点斜式求解即可；（3）利用中点公式求解中点坐标，再确定两点斜率利用点斜式求解即可.【解析】（1）解：∵，∴过点A且与平行的直线方程为，即；（2）解：过点A且与垂直的直线的斜率为，所以所求直线方程为，即；（3）解：中点，∴过点A与的直线方程，即.18．已知圆：与圆：.(1)若圆与圆外切，求实数m的值;(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.【答案】(1)m=5(2)或【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得； （2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.【解析】（1）圆：，则，半径r1=1，由圆：，得，则，半径.∵圆与圆外切，∴，∴，解得m=5.（2）由(1)得m=5，圆的方程为，则，r2=2.由题意可得圆心到直线l的距离，当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意;当直线l斜率为k时，则直线方程为，化为一般形式为，则圆心(3，0)到直线l的距离，解得k=0，得直线方程为y=1.综上，直线l的方程为或.19．已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是边长为4的菱形.∠BCD=60°，四边形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.(1)求证：AC⊥BE：(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，由线线垂直得到线面垂直，进而证明出AC⊥BD；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦. 【解析】（1）连接BD，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为平面ABCD⊥平面CDEF，交线为CD，ED⊥CD，ED平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD，因为AC平面ABCD，所以ED⊥AC，因为BDED=D，所以AC⊥平面BDE，因为BE平面BDE，所以AC⊥BD（2）取BC的中点G，连接DG，BD，因为∠BCD=60°，四边形ABCD是边长为4的菱形，所以DG⊥BC，因为AD∥BC，所以DG⊥AD，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DG所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面BCF的法向量为，则，解得：，令，则，平面ADE的法向量为，设平面ADE与平面BCF所成角为，显然为锐角，则 20．如图，已知抛物线与圆交于四点，直线与直线相交于点．  (1)求的取值范围；(2)求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）抛物线方程联立圆的方程消元，利用根与系数的关系和判别式可解；（2）利用韦达定理可得，由直线和斜率相等可解.【解析】（1）圆的方程可化为．将抛物线的方程代入圆的方程有整理得，由题意可知有两个正根，所以解得，故的取值范围为；（2）设点的坐标分别为， 由对称性可知，点在轴上，设点的坐标为，由（1）可知，得，所以，因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，即，所以，可得，又由，有，故点的坐标为．21．四棱柱中，底面为正方形，面，点M，N，Q分别为棱的中点．(1)求证：平面∥平面；(2)若，棱上存在点P，使得二面角的余弦值为，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）先证明分别与面平行，再由面面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【解析】（1）∵分别为棱中点，，，四边形MQBD为平行四边形，，又平面，平面，平面，∵N为棱AD的中点，，又，，∵平面，平面，平面.又，平面，平面∥平面.（2）由题意知两两垂直，以为原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 设（），，则，故，，设，则由可得，，则设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面MNQ的一个法向量为，则，取，则，由题知，解得或（与矛盾，舍去），故，即.22．在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.(1)求，的方程：(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.【答案】(1)， (2)只有一个公共点，证明见解析(3)证明见解析，2【分析】（1）由题知双曲线焦点在轴上，椭圆焦点在轴上，再设出方程，待定系数求解即可；（2）联立方程，结合解方程判断即可；（3）设，，进而结合（2）中的结论得直线的方程为，再与双曲线的渐近线联立，求解，计算点到直线的距离，进而计算面积即可.【解析】（1）解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为，因为的一条渐近线为所以，，解得，所以双曲线方程为又因为椭圆的短轴长为2，所以椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为，所以，，.即椭圆方程为.（2）解：根据题意，联立方程得又因为，所以，，所以，变形为，解得.所以，方程组只有一解所以，直线与椭圆只有一个公共点. （3）解：设，由（2）知，直线与椭圆只有一个公共点.所以，直线是过点的椭圆的切线方程.所以，直线方程为，点在直线上，故直线方程为，点在直线上，故所以，直线的方程为，即.由得由得所以又点到直线的距离又所以，所围三角形面积为定值.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合（1）中的结论，得到过点，的切线方程，进而得直线的方程，再与双曲线的渐近线联立放求解得，，再计算面积即可.知识点补充题．．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．设曲线C上任意一点满足（且）．(1)求曲线C的方程，并指出此曲线的形状；(2)对的两个不同取值，记对应的曲线为．（i）若曲线关于某直线对称，求的积； （ii）若，判断两曲线的位置关系，并说明理由．【答案】(1),表示圆.(2)（i）;（ii）内含【分析】(1)利用求轨迹方程的办法求出轨迹方程即可；(2)(i)利用两圆半径相等求解；(2)根据两圆圆心距和半径差的大小关系即可确定位置关系.【解析】（1）由两点间的距离公式可得平方整理得又因为且，所配方整理得因为且，所以此曲线表示圆.（2）（i）曲线关于某直线对称,所以两圆的半径相等，即，平方整理得即，因为，且且，所以.（ii）两圆圆心间的距离两圆的半径差而所以，所以两圆内含.