高中数学新人教A版选择性必修第一册综合测评试卷（附解析）

综合测评(满分:100分;时间:90分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　1.直线x+3y-1=0的倾斜角为(　　)A.&pi;3B.&pi;6C.2&pi;3D.5&pi;62.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6,过F1的直线交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为(　　)A.x216+y212=1B.x216+y24=1C.x212+y24=1D.x24+y22=13.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为(　　)A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)4.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a&gt;0)截直线x-y=0所得线段的长度是22,则☉O1与☉O2:(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是(　　)A.内切B.相离C.外切D.相交5.已知点P为抛物线y=12x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是6,172,则|PA|+|PM|的最小值是(　　)A.8B.192C.10D.2126.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为(　　)A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=07.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k&ne;0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是(　　)A.|M1M3|&middot;|M2M4|B.|FM1|&middot;|FM4|C.|M1M2|&middot;|M3M4|D.|FM1|&middot;|M1M2|13,8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1(a&gt;b&gt;0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作&ang;F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在　　　　上运动.(　　)&nbsp;A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是(　　)A.A1C1∥平面CEFB.B1D&perp;平面CEFC.CE=12DA+DD1-DCD.点D与点B1到平面CEF的距离相等10.已知F1、F2是双曲线C:y24-x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是(　　)A.双曲线C的渐近线方程为y=&plusmn;2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为&plusmn;2D.△MF1F2的面积为2311.如图,直线l1,l2相交于点O,点P是平面内的任意一点,若x,y分别表示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的&ldquo;距离坐标&rdquo;.下列说法正确的是(　　)A.距离坐标为(0,0)的点有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上12.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,满足r1+r2&lt;4,一个动圆P与两圆都相切,则动圆圆心的轨迹可以是(　　)13,A.椭圆B.双曲线C.直线D.抛物线三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若双曲线3x2-y2=m的虚轴长为2,则实数m的值为　　　　.&nbsp;14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离d的最小值等于　　　　.&nbsp;15.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a&gt;0,b&gt;0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　.&nbsp;16.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA&perp;平面ABC,&ang;ACB=90&deg;,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC&perp;DE.当E在AC上时,AE=　　　　,点E的轨迹的长度为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)&nbsp;四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l的斜率为-34,且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P.(1)求直线l的方程;(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.18.(本小题满分12分)已知☉C:x2+y2=16.(1)设点Q(x,y)为☉C上的一个动点,求4x+3y的范围;(2)直线l过点P(3,4),且与☉C交于A、B两点,若|AB|=27,求直线l的方程.13,19.(本小题满分12分)如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF&perp;平面ACE.(1)求证:AE&perp;平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的正弦值;(3)求点D到平面ACE的距离.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(0<p<2)的焦点为f,m(2,y0)是c上一点,且|mf|=52.(1)求c的方程;(2)直线l交c于a、b两点,koa·kob=-2,且△oab的面积为16,其中o为坐标原点,求直线l的方程.21.(本小题满分12分)从①cd⊥bc;②bc∥平面pad这两个条件中选一个,补充在下面的横线上,并完成解答.如图,在四棱锥p-abcd中,pa⊥平面abcd,pa=ad=cd=2,bc=3,pc=23,e为pb的中点, .="">b&gt;0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=32,O为坐标原点,圆O:x2+y2=45与直线AB相切.13,(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1&middot;k2是不是定值?证明你的结论.答案全解全析一、单项选择题1.D　由直线x+3y-1=0得其斜率为k=-33,设直线的倾斜角为&theta;(&theta;&isin;[0,&pi;)),则tan&theta;=-33,所以&theta;=5&pi;6,所以直线的倾斜角为5&pi;6,故选D.2.A　设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a&gt;b&gt;0).依题意得,a+c=6,且4a=16,&there4;a=4,c=2,&there4;b2=a2-c2=16-4=12,故选A.3.A　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n&middot;AB=0,n&middot;AC=0,即x+2y+3z=0,3x+2y+z=0,令x=-1,则y=2,z=-1,n=(-1,2,-1);令x=1,则y=-2,z=1,则n=(1,-2,1).故选A.4.D　☉O1的标准方程为x-a22+y2=a24(a&gt;0),圆心到直线x-y=0的距离d=a22=a24-(2)2,得a=4,&there4;O1(2,0),又O2(4,2),&there4;☉O1与☉O2的圆心距为22,且2-1&lt;22&lt;2+1,即两个圆相交.故选D.5.B　依题意可知,抛物线y=12x2即抛物线x2=2y,焦点为F0,12,准线方程为y=-12,依题意只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可,由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离,此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可,显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小为|FA|,由两点间距离公式得|FA|=62+172-122=10,那么|PA|+|PM|的最小值为|FA|-12=192,故选B.13,6.D　因为B(-1,0),C(0,2),所以线段BC的中点的坐标为-12,1,线段BC所在直线的斜率kBC=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-12x+12,即2x+4y-3=0,因为AB=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.7.C　设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.由定义得|M1F|=x1+2,又∵|M1F|=|M1M2|+2,&there4;|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4,将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,&there4;x1x4=4,&there4;|M1M2|&middot;|M3M4|=4,故选C.8.B　延长F2Q与F1P交于点M,连接OQ.因为PQ是&ang;F1PF2的外角的平分线所在直线,且PQ&perp;F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.二、多项选择题9.AC　建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=2,平面CEF的法向量为n=(x,y,z).∵E,F分别是A1D1,C1D1的中点,&there4;EF∥A1C1,又EF&sub;平面CEF,A1C1&nsub;平面CEF,&there4;A1C1∥平面CEF,故选项A正确;易知C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0),&there4;DB1=(2,2,2),EF=(-1,1,0),CF=(0,-1,2),&there4;n&middot;EF=0,n&middot;CF=0,即-x+y=0,-y+2z=0,令x=2,则y=2,z=1,&there4;n=(2,2,1),13,∵DB1=(2,2,2),&there4;DB1与n不平行,&there4;B1D不垂直于平面CEF,故选项B错误;CE=CD+DD1+D1E=CD+DD1+12D1A1=12DA+DD1-DC,故选项C正确;DC=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,则d1=|DC&middot;n||n|=44+4+1=43,B1C=(-2,0,-2),设B1到平面CEF的距离为d2,则d2=|B1C&middot;n||n|=|-4+0-2|3=2&ne;43,故选项D错误.故选AC.10.ACD　由双曲线方程y24-x22=1知a=2,b=2,焦点在y轴上,渐近线方程为y=&plusmn;abx=&plusmn;2x,A正确;c=a2+b2=6,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,B错误;由x2+y2=6,y=2x得x=2,y=2或x=-2,y=-2,由对称性知点M的横坐标是&plusmn;2,C正确;S△MF1F2=12|F1F2||xM|=12&times;26&times;2=23,D正确.故选ACD.11.ABC　对于A,若距离坐标为(0,0),即P到两条直线的距离都为0,P为两直线的交点,即距离坐标为(0,0)的点只有1个,A正确;对于B,若距离坐标为(0,1),即P到直线l1的距离为0,到直线l2的距离为1,P在直线l1上,到直线l2的距离为1,符合条件的点有2个,B正确;对于C,若距离坐标为(1,2),即P到直线l1的距离为1,到直线l2的距离为2,有4个符合条件的点,即与直线l1相距为2的两条平行线和与直线l2相距为1的两条平行线的交点,C正确;对于D,若距离坐标为(x,x),即P到两条直线的距离相等,则距离坐标为(x,x)的点在2条相互垂直的直线上,D错误.故选ABC.12.BC　由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4,设动圆P的半径为r.当r1+r2&lt;4时,两圆相离,动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切,一个外切.①若均内切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,当r1&ne;r2时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,当r1=r2时,点P在线段C1C2的垂直平分线上.②若均外切,则|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,则点P的轨迹与①相同.13,③若一个外切,一个内切,不妨设与圆C1内切,与圆C2外切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,当与圆C2内切,与圆C1外切时,|PC1|-|PC2|=r1+r2.此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样.故选BC.三、填空题13.答案　-3或1解析　因为双曲线3x2-y2=m的虚轴长为2,①当m&gt;0时,双曲线方程可化为x2m3-y2m=1,有m=1,得m=1;②当m&lt;0时,双曲线方程可以化为y2-m-x2-m3=1,有-m3=1,得m=-3.故实数m的值为-3或1.14.答案　5解析　由y=2x,x+y=3解得x=1,y=2,把点(1,2)代入mx+ny+5=0,可得m+2n+5=0,于是m=-5-2n,因此点(m,n)到原点的距离d=m2+n2=(-5-2n)2+n2=5(n+2)2+5&ge;5,当且仅当n=-2,m=-1时取等号,故点(m,n)到原点的距离d的最小值等于5.15.答案　2解析　由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,故|BN|=|BM|2+|MN|2=322+22=52.由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32=1,所以双曲线E的离心率e=ca=2.16.答案　2;255解析　建立空间直角坐标系,如图所示.设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0).当E在AC上时,设E(0,t,0)(0&le;t&le;4),则DE=(-m,t-2,0),又PC=(0,4,-2),所以由PC&perp;DE,可得PC&middot;DE=0,即4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此时E为AC的中点,可得E(0,2,0).当E为AC的中点时,作EE&#39;&perp;PC于点E&#39;,连接DE&#39;,由PC&perp;DE,PC&perp;EE&#39;,DE&cap;EE&#39;=E,得PC&perp;平面DEE&#39;,所以点E在△PAC内的轨迹为线段EE&#39;,因此求出EE&#39;的长度即可.13,设PE&#39;=&lambda;PC=(0,4&lambda;,-2&lambda;),则E&#39;(0,4&lambda;,2-2&lambda;),所以EE&#39;=(0,4&lambda;-2,2-2&lambda;),由EE&#39;&perp;PC得,4(4&lambda;-2)-2(2-2&lambda;)=0,解得&lambda;=35,所以E&#39;0,125,45,所以|EE&#39;|=125-22+452=255.四、解答题17.解析　(1)kx-y+2k+5=0整理得k(x+2)+(5-y)=0,所以直线kx-y+2k+5=0过定点P(-2,5),(2分)因此l:y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.(5分)(2)设直线m的方程为y=-34x+b,b&ne;72,则3=34&times;(-2)+5-b916+1,解得b=-14或b=294.(8分)所以直线m的方程为y=-34x-14或y=-34x+294.(10分)18.解析　(1)设4x+3y=t,则直线4x+3y=t与☉C有公共点,(2分)所以圆心到直线的距离d&le;4,(4分)即|t|42+32&le;4,解得-20&le;t&le;20.所以4x+3y的范围为[-20,20].(6分)(2)当直线l垂直于x轴时,直线方程为x=3,l与圆的两个交点坐标为(3,7),(3,-7),这两点的距离为27,满足题意;(8分)当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,设圆心到此直线的距离为d(d&gt;0),则27=216-d2,解得d=3,(10分)即|-3k+4|k2+1=3,解得k=724,此时直线方程为7x-24y+75=0.综上所述,所求直线方程为7x-24y+75=0或x=3.(12分)19.解析　(1)证明:因为BF&perp;平面ACE,所以BF&perp;AE.(1分)因为二面角D-AB-E为直二面角,且CB&perp;AB,所以CB&perp;平面ABE.所以CB&perp;AE.(2分)又BF&cap;CB=B,所以AE&perp;平面BCE.(3分)(2)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.(4分)13,因为AE&perp;面BCE,BE&sub;面BCE,所以AE&perp;BE.在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点,所以OE=1.所以A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),则AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则AE&middot;n=0,AC&middot;n=0,即x+y=0,2y+2z=0,解得y=-x,z=x,令x=1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一个法向量.(7分)又平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0),cos<m,n>=m&middot;n|m||n|=13=33.所以二面角B-AC-E的正弦值为63.(9分)(3)因为AD∥z轴,AD=2,所以AD=(0,0,2),(10分)所以点D到平面ACE的距离d=|AD&middot;n||n|=23=233.(12分)20.解析　(1)将M(2,y0)代入x2=2py(0<p<2),得y0=2p,(2分)又|mf|=y0--p2=2p+p2=52,∴p=1,∴抛物线的方程为x2=2y.(5分)(2)直线l的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b,a(x1,y1),b(x2,y2),由y=kx+b,x2=2y得x2-2kx-2b=0,(7分)∴x1+x2=2k,x1x2=-2b,由koa·kob=y1x1·y2x2=x1x24=-b2=-2,∴b=4,(9分)∴直线l的方程为y=kx+4,∴直线恒过定点(0,4),原点o到直线l的距离d=41+k2,∴s△oab=12·d·|ab|=12·41+k2·1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=24k2+32=16,(11分)∴4k2+32=64,解得k=±22,13,∴直线l的方程为y=±22x+4.(12分)21.解析>|=-12&times;1+1&times;12&times;32=26.&there4;直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26.(8分)(3)设PFPB=&lambda;(0&lt;&lambda;&lt;1),PF=&lambda;PB=&lambda;(2,-1,-2)=(2&lambda;,-&lambda;,-2&lambda;),AF=AP+PF=(2&lambda;,-&lambda;,-2&lambda;+2),(10分)∵AF∥平面PCD,&there4;AF&middot;n=0,13,即-&lambda;-2&lambda;+2=0&rArr;&lambda;=23.(12分)选择②.(1)∵PA&perp;平面ABCD,&there4;PA&perp;AD,PA&perp;CD.∵PA=AD=CD=2,&there4;PD=22.∵PC=23,CD2+PD2=PC2,得CD&perp;PD.(2分)∵PA&cap;PD=P,&there4;CD&perp;平面PAD,则CD&perp;AD.∵BC∥平面PAD,BC&sub;平面ABCD,平面PAD&cap;平面ABCD=AD,&there4;BC∥AD,又AD&ne;BC,&there4;四边形ABCD是直角梯形.(4分)(2)同选择①.(3)同选择①.22.解析　(1)直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,由圆O与直线AB相切,得aba2+b2=45,即a2b2a2+b2=45,①(2分)设椭圆的半焦距为c,则e=ca=32,&there4;b2a2=1-e2=14,②(4分)由①②得a2=4,b2=1.故椭圆的标准方程为x24+y2=1.(5分)(2)k1&middot;k2=14,为定值.证明过程如下:由(1)得直线AB的方程为y=-12x+1,故可设直线DC的方程为y=-12x+m,显然m&ne;&plusmn;1.(7分)设C(x1,y1),D(x2,y2).联立x24+y2=1,y=-12x+m,消去y,得x2-2mx+2m2-2=0,则&Delta;=8-4m2&gt;0,解得-2</p<2),得y0=2p,(2分)又|mf|=y0--p2=2p+p2=52,∴p=1,∴抛物线的方程为x2=2y.(5分)(2)直线l的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b,a(x1,y1),b(x2,y2),由y=kx+b,x2=2y得x2-2kx-2b=0,(7分)∴x1+x2=2k,x1x2=-2b,由koa·kob=y1x1·y2x2=x1x24=-b2=-2,∴b=4,(9分)∴直线l的方程为y=kx+4,∴直线恒过定点(0,4),原点o到直线l的距离d=41+k2,∴s△oab=12·d·|ab|=12·41+k2·1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=24k2+32=16,(11分)∴4k2+32=64,解得k=±22,13,∴直线l的方程为y=±22x+4.(12分)21.解析></m,n></p<2)的焦点为f,m(2,y0)是c上一点,且|mf|=52.(1)求c的方程;(2)直线l交c于a、b两点,koa·kob=-2,且△oab的面积为16,其中o为坐标原点,求直线l的方程.21.(本小题满分12分)从①cd⊥bc;②bc∥平面pad这两个条件中选一个,补充在下面的横线上,并完成解答.如图,在四棱锥p-abcd中,pa⊥平面abcd,pa=ad=cd=2,bc=3,pc=23,e为pb的中点,>