天津市静海区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

静海一中2023-2024第一学期高二数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：刘纪茹审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（131分）和第Ⅱ卷提高题（16分）两部分共147分，卷面分3分，共150分.第Ⅰ卷基础题（共131分）一、选择题:每小题5分，共40分.1.已知直线：与：平行，则值是（）A.5B.0或5C.0D.0或12.在数列中，，（，），则（）A.B.1C.D.23.若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（）A.B.C.D.4.若双曲线与椭圆有相同焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（）A.y2－x2＝96B.y2－x2＝160C.y2－x2＝80D.y2－x2＝245.已知等差数列的前项和为，，，直线过点，则直线的斜率为（）A.B.C.D.6.已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（）A.B.C.D.7.已知是等差数列{}的前n项和，且，则（） A.数列{}为递增数列B.C.的最大值为D.8.已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.二、填空题：每小题5分，共30分.9.在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放___________个.10.若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.11.若方程表示焦点在轴上双曲线，则实数的取值范围为__________.12.已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段中点的轨迹方程为__________.13.设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为__________.14.直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为_______.三、解答题：（本大题共4小题，共61分）15.（1）数列的前项和，求数列的通项公式；（2）已知数列中，，前项和，求数列的通项公式；（3）请写出与的关系，并写出已知求时应注意什么？16.如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱中点． （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值;（3）求点到平面的距离.17.已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，且，在直线上.（1）求的标准方程；（2）设直线与交于，两点，且四边形为平行四边形，求的方程.18.已知数列中，，，记（1）求证：数列是等差数列，并求出；（2）设，求；（3）若，对任意的恒成立，求的取值范围.第Ⅱ卷提高题（共16分）19.已知椭圆：右焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若；（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且.求椭圆的方程. 静海一中2023-2024第一学期高二数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：刘纪茹审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（131分）和第Ⅱ卷提高题（16分）两部分共147分，卷面分3分，共150分.第Ⅰ卷基础题（共131分）一、选择题:每小题5分，共40分.1.已知直线：与：平行，则的值是（）A.5B.0或5C.0D.0或1【答案】C【解析】【分析】两直线与平行的条件是且不重合.【详解】若直线：与：平行，则，解得或；而当时两直线重合.综上所述，k的值为0.故选：C2.在数列中，，（，），则（）A.B.1C.D.2【答案】A【解析】【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值【详解】，，，可得数列是以3为周期的周期数列，，故选：A 3.若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为,半径为,再求出圆心到直线距离,根据弦长为,即可求得.【详解】由题,由圆的一般方程可得圆的标准方程为,则圆心为,半径为,所以圆心到直线距离为,则弦长为,即,所以,故选:C【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的一般方程与标准方程的转化.4.若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（）A.y2－x2＝96B.y2－x2＝160C.y2－x2＝80D.y2－x2＝24【答案】D【解析】【分析】由题设，若双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，由椭圆方程写出焦点坐标，根据曲线共焦点、双曲线参数关系列方程求参数λ.【详解】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为，∴λ<0且，得λ＝－24.故选：D.5.已知等差数列的前项和为，，，直线过点，则直线的斜率为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，求出公差，再利用等差数列的通项公式得到，即可求出结果.【详解】因为数列为等差数列，设数列的首项为，公差为，又，，所以，解得到，所以，得到，所以直线的斜率为，故选：D.6.已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，由抛物线定义，，解出，代入抛物线方程，可求，再由两点间距离公式可求.【详解】由抛物线C：，得焦点，设，所以，由，解得，所以，所以.故选：D. 7.已知是等差数列{}的前n项和，且，则（）A.数列{}为递增数列B.C.的最大值为D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质逐项判断即可【详解】，因为,所以,所以错公差所以错因为前7项均为正,从第8项开始为负,所以的最大值为,所以C对，,所以D错故选：C8.已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示， 又因为，所以，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即：，所以，即.故选：D.二、填空题：每小题5分，共30分.9.在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放___________个.【答案】36【解析】【分析】根据每一层图形的个数与层数的关系进行仔细观察，发现规律． 【详解】最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个，可知，第层放个，所以第六层放36个，故答案为：.10.若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.【答案】或【解析】【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线的准线为，则，解得或，故抛物线的方程为或.故答案为：或.11.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】将变形为，再根据条件即可求出结果.【详解】由变形得到，因为方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，解得，故答案为：.12.已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为__________. 【答案】【解析】【分析】设出中点坐标，圆上的点，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案.【详解】设点，点，则所以因为点在圆上，所以，所以，所以点M的轨迹方程为即，故答案为：.13.设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.【详解】因为，所以. 故答案为：.14.直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为_______.【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，消得到，利用韦达定理及抛物线焦点弦的弦公式即可求得，进而可求出结果.【详解】因为的焦点为，设直线的方程为，，由，消得到，由韦达定理得，又，所以，得到，所以，又直线与双曲线：一条渐近线平行，所以，故双曲线的离心率为，故答案为：.三、解答题：（本大题共4小题，共61分）15.（1）数列的前项和，求数列的通项公式；（2）已知数列中，，前项和，求数列的通项公式；（3）请写出与的关系，并写出已知求时应注意什么？【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.【解析】 【分析】（1）由可求得数列的通项公式；（2）根据与的关系可推出，再利用累乘法可求出数列的通项公式；（3）根据与的关系可得出结论.【详解】解：（1）因为数列的前项和，当时，，当时，，不满足，故；（2）数列中，，前项和，则，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，所以，，因为，则，，，，以此类推可知，对任意的，，所以，当时，，所以，，，，，，上述等式全部相乘可得，所以，， 也满足，故对任意的，；（3），解题时需注意令等于初始值，求出初始项的值，同时要注意等差、等比数列的定义从第几项开始.16.如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角正弦值;（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得，由勾股定理得，再根据条件及线面垂直的判断定理，即可证明结果；（2）以为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面，再利用两平面夹角的向量法即可求出结果；（3）根据（2）中结果，利用点到面的距离的向量法即可求出结果.【小问1详解】在中，因为，由余弦定理知，得到， 所以，故，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面.【小问2详解】如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，  因为，，则，，，，，又点是棱的中点，所以，设平面的法向量为，，，由，得到，取，，得到，设平面的法向量为，，，由，得到，取，，得到，平面与平面夹角的平面角为锐角， 故余弦值.【小问3详解】因为平面的法向量为，，所以距离为.17.已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，且，在直线上.（1）求的标准方程；（2）设直线与交于，两点，且四边形为平行四边形，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程，利用条件求出，即可得出结果；（2）根据题意，设直线的方程为，联立椭圆方程得，由韦达定理得，再利用条件得，从而得到，即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆的上顶点为，左焦点为，均在直线上，令，得，令，得到，所以，得到，所以，故椭圆的标准方程为.【小问2详解】因为四边形为平行四边形，则直线过中点，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，， 由，消得到，易知，直线与椭圆恒有两个交点，又由韦达定理知，，又，，因为四边形为平行四边形，所以，得到，又，，代入，整理得，即，将代入，得到，即，所以或，又，故舍去，所以，直线的方程为，即.18.已知数列中，，，记（1）求证：数列是等差数列，并求出；（2）设，求；（3）若，对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2） （3）【解析】【分析】（1）由递推关系，得到，即可证明结果，进而求出通项公式；（2）根据（1）结果，知，分和两种情况，利用等差数列的前项和公式即可求出结果；（3）根据条件得到，对任意的恒成立，再利用数列的函数性质，求出的最小值，即可求出结果.【小问1详解】由，得到，即，又，所以为常数，又，得到，所以数列是公差为2，首项为的等差数列，.【小问2详解】由（1）知，，当时，，所以，当时，，所以，得到，综上，.【小问3详解】 由（1）知，得到，所以，对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，又，显然有，得到，对任意的恒成立，令，对称轴，所以在区间上单调递增，故当时，有最小值为，所以，得到，所以的取值范围为.第Ⅱ卷提高题（共16分）19.已知椭圆：右焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若；（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且.求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）由题意可得，即，再由离心率公式可得所求值；（2）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程．详解】（1），所以即 可得；（2），，即，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，代入椭圆方程可得，解得或，代入直线方程可得或（舍去），可得，圆心在直线上，且，可设，可得，解得，即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为，可得，解得，可得，，可得椭圆方程为.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题．