吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

长春外国语学校2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷出题人：张宏欣审题人：王先师本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，与函数相同的是（）A.B.C.D.2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.243.已知函数，一定有零点的区间为（）AB.C.D.4.已知，，，则（）A.B.C.D. 5.已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A.B.C.D.6.已知是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（）A.B.C.D.7.设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为　　A.6B.7C.8D.9二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则10.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（）A.B.C.D.的坐标为11.已知曲线.（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若m=n>0，则C圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若m=0，n>0，则C是两条直线12.已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（）A.椭圆的离心率的取值范围是B.当椭圆的离心率为时，的取值范围是C.存在点使得D.的最小值为1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，则__________.14.已知向量，满足，，则______.15.椭圆的右焦点到直线的距离是__________．16.过抛物线焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若点是AC的中点，且，则线段AB的长为_____________四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线为渐近线，焦点是，的双曲线；（2）离心率为，短轴长为8的椭圆.18.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点. （1）求证：平面；（2）求证：平面平面.19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）用单调性定义证明函数在区间上是增函数.20.已知双曲线.（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B中点坐标为（1，1），求直线的斜率.21.已知函数．（1）求的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；22.已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当k=2时，求△OMN的面积；（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上. 长春外国语学校2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷出题人：张宏欣审题人：王先师本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，与函数相同的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.【详解】解：对于A，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C，两函数的定义域都是，且对应关系相同，故两函数为相同函数； 对于D，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.24【答案】A【解析】【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】，，三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从学校中应抽取的人数为人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.3.已知函数，一定有零点的区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题中所给函数用零点存在性定理即可判断正确答案.【详解】由题知函数在上单调递增，因为，所以在区间上一定有零点.故选：C4.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.【详解】因为，， 所以，故选：C.5.已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由图结合两圆相外切性质可得，后由双曲线定义可得答案.【详解】由题可得圆圆心，半径为；圆圆心，半径为由图设动圆P与圆，圆外切切点分别为A，B.则共线，共线.则，注意到，则，又，则点P轨迹为以为焦点双曲线右支.设双曲线方程为：，由题可得.故相应轨迹方程为：.故选：A 6.已知是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】作，利用定义将转化为，然后结合图形可得.【详解】易知，抛物线的焦点为，准线为，作，垂足为C，由抛物线定义可知，，则由图可知，的最小值为点B到准线l的距离，即.故选：D7.设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】 设直线交轴于点，推导出，可得出关于、的等式，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】设直线交轴于点，是底角为的等腰三角形，，，在中，，，，为直线上一点，，即，．故选：B．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为　　A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，可得答案. 【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时==6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大是解题的关键.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】BD【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，，则或与相交，故选项C正确；对D：若，，，则，故选项D正确.故选：BD.10.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（）A.B.C.D.的坐标为【答案】AC【解析】【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.【详解】由抛物线：，可得，故D错误；由抛物线的定义可得，所以，故A正确； 因为点在抛物线上，所以，所以，故B错误；则，故C正确.故选：AC.11.已知曲线.（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（）A.椭圆的离心率的取值范围是B.当椭圆的离心率为时，的取值范围是C.存在点使得D.的最小值为1【答案】BCD【解析】【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D.【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；设椭圆的上顶点为，，，由于， 所以存在点使得，故C正确；，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D正确．故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则__________.【答案】-3【解析】【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵，∴，故答案为：-3.14.已知向量，满足，，则______.【答案】【解析】【分析】由向量模、数量积公式先求出，再由公式即可得解.【详解】由题意，，所以.故答案为：. 15.椭圆的右焦点到直线的距离是__________．【答案】##【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为，代入点到直线距离公式即可得出结果.【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为，所以右焦点到直线的距离是．故答案为：16.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若点是AC的中点，且，则线段AB的长为_____________【答案】【解析】【详解】设过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于，因为是的中点，且,所以，解得，即，则的方程为，联立，得，解得，所以.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线为渐近线，焦点是，的双曲线；（2）离心率为，短轴长为8的椭圆.【答案】（1）；（2）或.【解析】 【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出，即可；（2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为(，)，由焦点可得，双曲线的渐近线方程为，可得，又，解得，，所以双曲线的方程为.（2）当焦点在轴时，设椭圆方程为，由题可得，解得，，所以椭圆方程为；当焦点在轴时，设椭圆方程为，由题可得，解得，，所以椭圆方程为；所以综上可得椭圆方程为或.18.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点. （1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可；（2）利用线面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证．【小问1详解】如图，连结，则是的中点，又是的中点，∴，又∵平面，面，∴平面；【小问2详解】∵底面是正方形，∴，∵平面，平面，∴，又， ∴面，又平面，故平面平面.19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）用单调性定义证明函数在区间上是增函数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设时，则，根据已知解析式和奇偶性可得时解析式，再由奇函数性质可知，然后可得在上的解析式；（2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证.【小问1详解】设时，则，所以，因为为奇函数，所以，又，所以函数在上的解析式为.【小问2详解】，且，则，因为，所以， 故，即，所以函数在上单调递增.20.已知双曲线.（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设所求双曲线方程为，代入点坐标，求得k，即可得答案；（2）设，利用点差法，代入A、B的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为，代入，得，所以所求双曲线方程为；（2）设，因为、在双曲线上，所以，（1）-（2）得，因为A、B的中点坐标为（1，1），即，所以.21.已知函数．（1）求的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间； 【答案】（1），最大值1，最小值-1；（2）在上单调递增；上单调递减；【解析】【分析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用性质求函数的单调区间即可.【详解】（1），∴，且最大值、最小值分别为1，-1；（2）由题意，当时，单调递增，∴，，单调递增；当时，单调递减，∴，，单调递减；综上，当，单调递增；，单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据性质确定三角函数的单调区间.22.已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当k=2时，求△OMN的面积；（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上. 【答案】(1);(2);(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由可得，结合离心率和可求出，进而可得椭圆的方程.(2)写出的方程为与椭圆进行联立，设，结合韦达定理可得，即可求出，由点到直线的距离公式可求出原点到的距离，从而可求出三角形的面积.(3)设，联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得，设，由在同一条直线上，得，同理，从而可得，即可证明交点在定直线上.【详解】解：(1)因为，所以，即，因为离心率为，则，设，则，又，即，解得或（舍去），所以，所以椭圆的标准方程为.(2)设，由直线的点斜式方程可知，直线的方程为，即，与椭圆方程联立，，整理得，则，所以，原点到的距离，则的面积. (3)由题意知，直线的方程为，即，设，则，整理得，则，因为直线和椭圆有两个交点，所以，则，设，因为在同一条直线上，则，因为在同一条直线上，则，所以，所以，则交点T恒一条直线上.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点，由三点共线结合斜率公式得和，两式进行整理后可求出，即可证明交点在定直线上.