河北省承德市重点高中联谊校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

2023—2024上学期承德市重点高中联谊校高二年级12月份联考数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的焦点坐标是（）A.B.C.D.2.已知向量，，且，则实数（）A.B.C.D.3.两平行直线和间的距离是（）A.B.C.D.4.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）AB.C.D.5.过点引圆的切线，其方程是（）A.B. C.或D.或6.如图，已知四边形ABCD、ABEF都是正方形，若二面角为，则异面直线AC与BF所成角的正切值为（）A.B.C.D.7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（）A.B.C.D.8.已知直线与抛物线C：交于A、B两点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，且，直线AB的倾斜角为，交AB于点，若为拋物线上任意一点，则的最小值为（）A.2B.4C.6D.10二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线：，则下列说法正确的有（）A.的一个方向向量为B.的截距式方程为 C.若与直线互相垂直，则D.点到的距离为110.已知曲线：，则（）A.若，则是圆B.若，则是椭圆C.若，则是双曲线D.若，，则是两条射线11.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（）A.B.C.平面D.直线与AC所成角的正弦值为12.椭圆：的右焦点，抛物线：，，交于点，过作轴垂线交于A、B，交于C、D，下列结论正确的是（）A若，则离心率B若，则离心率C.若，则离心率D.若，则三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.双曲线的焦点坐标是______．14.已知空间向量，．若与垂直，则______． 15.已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为______．16.中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则结论正确的序号是______．（填写序号即可）①平面；②直线与平所成角的正弦值为③二面角的余弦值为④三棱锥外接球表面积为四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点，，直线的方程为：．（1）求直线关于点对称的直线的方程；（2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．18.已知圆在轴上截得线段长为4，在轴上截得线段长为．（1）求圆心的轨迹方程；（2）若点到直线的距离为，求圆的标准方程．19.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．（1）求证：；（2）当三棱推的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角的正弦值．20.已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．（1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值．21.已知点为抛物线：的焦点，过且垂直于轴的直线截所得线段长为4．（1）求的值；（2）为抛物线的准线上任意一点，过点作MA，MB与相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．22.已知椭圆C：的右顶点到左焦点的距离与左焦点到直线的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于P，H两点，线段PH的垂直平分线与轴交于点．①当时，求直线倾斜角的正弦值；②求证：． 2023—2024上学期承德市重点高中联谊校高二年级12月份联考数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的焦点坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】得到抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标.【详解】，则抛物线的标准方程为：，焦点坐标在轴上，焦点坐标为．故选：B．2.已知向量，，且，则实数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量共线定理计算即可. 【详解】因为，所以存在唯一实数，使得，则，解得，故选：D．3.两平行直线和间的距离是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平行线间距离公式进行求解即可.【详解】将直线化为，所以两平行直线和间的距离为：．故选：C．4.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的离心率可求得的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.【详解】，，，渐近线方程，渐近线方程为． 故选：B．5.过点引圆的切线，其方程是（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】求出圆心和半径，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径，得到方程，求出答案.【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径；过点引圆的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为，则有，即，则有，解得，此时切线的方程为，即．综上：切线的方程为和．故选：C．6.如图，已知四边形ABCD、ABEF都是正方形，若二面角为，则异面直线AC与BF所成角的正切值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由条件可得，结合空间向量的运算，可得，再由空间向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形边长为1，异面直线AC与BF所成的角为，，，，．所以，即，所以，即，，所以．故选：C．7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果.【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，则有：，，，所以，又因，即，， 可得：，解得，故离心率为．故选：B．8.已知直线与抛物线C：交于A、B两点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，且，直线AB的倾斜角为，交AB于点，若为拋物线上任意一点，则的最小值为（）A.2B.4C.6D.10【答案】C【解析】【分析】设出直线AB的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的判别式和根的系数关系、抛物线的定义逐一判断即可.【详解】由题意，可设直线AB的方程为：，，，，则：，消可得：，由得，则，，又，所以，解得（舍）或，所以直线AB的方程为：，过定点，又，故点在以OT为直径的圆上，故点的轨迹方程为，，又点和点在直线AB上，且AB的倾斜角为，即直线AB的斜率，故，，如下图弧所示，过P，D分别作准线的垂线，垂足分别为H，I，根据抛物线的定义知：，当点为ID与抛物线的交点时取等号，又，当取最小值4时，此时取得最小值6， 故的最小值为6．故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用抛物线的定义和一元二次方程根与系数的关系.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线：，则下列说法正确的有（）A.的一个方向向量为B.的截距式方程为C.若与直线互相垂直，则D.点到的距离为1【答案】AD【解析】【分析】由直线一般方程写出一个方向向量及截距式判断A、B；由垂直关系的判定列方程求参判断C；应用点线距离公式求距离判断D.【详解】由直线方程知：的一个方向向量为，A对；由，则截距式为，B错；与直线互相垂直，则，可得，C错； 点到的距离为，D对.故选：AD10.已知曲线：，则（）A.若，则是圆B.若，则是椭圆C.若，则是双曲线D.若，，则是两条射线【答案】ABC【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线、射线的方程特征逐一判断即可.【详解】A选项，当时，，表示圆，A选项正确；B选项，当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，B选项正确；C选项，当时，，表示双曲线，C选项正确；D选项，当，时，，表示两条直线，D选项错误．故选：ABC．11.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（）A.B. C.平面D.直线与AC所成角的正弦值为【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质和定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】以为空间一组基底，，，所以，A选项正确；，所以，所以，B选项错误；依题意可知，四边形ABCD是菱形，所以，且，由于，，平面，所以平面，C选项正确；设直线与AC所成角为，，，，， ，所以，，D选项错误．故选：AC．【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间向量基本定理、空间向量夹角公式.12.椭圆：的右焦点，抛物线：，，交于点，过作轴垂线交于A、B，交于C、D，下列结论正确的是（）A若，则离心率B.若，则离心率C.若，则离心率D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用代入法，结合抛物线和椭圆的定义和它们的离心率公式逐一判断即可.【详解】把代入中，得，所以，把代入中，得，所以，A：，故A错误；B：同理可得B正确；C：，，故C正确； D：设，亦可知点到椭圆左焦点的距离为，，整理得，故D正确．故选：BCD．【点睛】关键点睛：本题的关键是利用代入法求出弦长表达式.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.双曲线的焦点坐标是______．【答案】【解析】【分析】求出，，得到，求出焦点坐标.【详解】因为恒成立，故，，所以，所以，故焦点坐标为．故答案为：．14.已知空间向量，．若与垂直，则______．【答案】【解析】 【分析】根据空间向量加法的坐标表示公式、垂直的坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】，，．与垂直，，，解得，，，故答案为：．15.已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为______．【答案】内含【解析】【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系.【详解】因为圆：，圆：，所以圆心距，而两圆半径之差，故两个圆内含．故答案为：内含16.中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则结论正确的序号是______．（填写序号即可）①平面；②直线与平所成角的正弦值为③二面角的余弦值为④三棱锥外接球的表面积为 【答案】③④【解析】【分析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥，建立直角坐标系，结合空间向量的数量积和向量的夹角公式，以及球的截面圆的性质和球的表面积公式，即可求解.【详解】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，可得，，因为，所以与不垂直，与平面不垂直，所以①错误；设平面的法向量为，则,令，得平面的一个法向量为，又由，设与平面所成角为，所以，所以②错误；设平面的法向量为，且，，则，令，得平面的一个法向量为，可得，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，所以③正确；长方体体对角线为三棱锥外接球的直径，可得，所以，球的表面积为，所以④正确．故答案为：③④． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点，，直线的方程为：．（1）求直线关于点对称的直线的方程；（2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到，代入即可求解；（2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程.【小问1详解】解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则，因为，所以，整理得，即直线的方程．【小问2详解】解：设圆心，由，则，解得， 所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为．18.已知圆在轴上截得线段长为4，在轴上截得线段长为．（1）求圆心的轨迹方程；（2）若点到直线的距离为，求圆的标准方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由弦长，半径，圆心到弦的距离之间的关系可知，，消去即可得到圆心的轨迹方程；（2）设，由点到直线的距离公式得，与联立即可求出圆心与半径，即可求出圆的标准方程.【小问1详解】设，圆的半径为，因为圆在轴上截得的线段长为4，点到轴的距离为，所以有，即,同理有,即，即故点的轨迹方程为．【小问2详解】设，由已知得，所以．又点在双曲线上，所以，解得：或此时圆的半径， 故圆的方程为或．19.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．（1）求证：；（2）当三棱推的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.【小问1详解】、、两两垂直，以为原点，、、为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，由于，设，则，其中，则，所以，，则，故．【小问2详解】要使三棱锥的体积取得最大值，只要的面积最大即可， 由题意知，当时，即E，F分别为AB，BC中点时的面积最大，则，，设平面的法向量为，又，，则，令得，又正方体中平面，所以为平面一个法向量，所以，则，所以平面与平面的夹角的正弦值为．20.已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点．（1）求C的标准方程；（2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于的方程组，由此求解出即可知C的标准方程； （2）根据条件先求出的方程，然后联立与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将表示为坐标形式即可求解出结果.【小问1详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以①，又因为点在双曲线上，所以②，①②联立解得，所以双曲线的方程为．【小问2详解】由（1）可知双曲线中，所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2，又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即，联立得，设，则，所以．21.已知点为抛物线：的焦点，过且垂直于轴的直线截所得线段长为4．（1）求的值；（2）为抛物线的准线上任意一点，过点作MA，MB与相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．【答案】（1）（2）直线恒过定点，理由见解析 【解析】【分析】（1）求出焦点坐标，将代入抛物线方程，得到，故，求出答案；（2）设直线的方程为，与联立，根据求出，，同理可得，又点在，得到直线的方程为，求出定点坐标.【小问1详解】由题意知，，将代入抛物线方程得，，故，故过且垂直于轴的直线截所得线段长为，由可知；【小问2详解】直线恒过定点，定点坐标为，理由如下：设，由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，设直线的方程为，与联立得，由于直线为切线．故，又，则，解得，所以直线，即，同理直线的方程为，又点在上，所以，从而直线的方程为：，即，故直线恒过定点． 【点睛】圆锥曲线中探究性问题解题策略：（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.22.已知椭圆C：的右顶点到左焦点的距离与左焦点到直线的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于P，H两点，线段PH的垂直平分线与轴交于点．①当时，求直线的倾斜角的正弦值；②求证：．【答案】（1）（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解；（2）设直线的方程为，，且线段的中点为，联立方程组，得到，求得，得到线段的垂直平分线方程，求得，①当时，列出方程求得，进而求得直线的倾斜角的正弦值；②利用弦长公式，分别求得和的表达式，即可求解.【小问1详解】解：因为椭圆的右顶点到左焦点的距离与左焦点到直线的距离相等，且过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3， 可得，解得，所以椭圆的方程为．【小问2详解】解：因为直线过点，且与坐标轴不垂直，所以设直线的方程为，，且线段的中点为，联立方程组，整理得，则，所以，所以线段的中点，所以线段的垂直平分线方程为，令，可得，即，①当时，则，解得，故倾斜角为或，所以直线的倾斜角的正弦值为．②证明：因为，且，所以． 【点睛】知识方法总结：对于直线与圆锥曲线问题的求解策略：1、求解直线与圆锥曲线交点问题，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组，得到一元二次方程，结合根与系数的关系，进而进行求解；2、参数范围问题，①通常利用圆锥曲线的几何性质或联立方程组，转化为方程或利用判别式构造不等关系，从而确定参数的值或取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解答的核心是建立两个参数之间的等量关系，结合题设中的不等关系建立不等式，从而求得参数的取值范围；③转化为函数，结合函数的值域将待求参数表达为其他变量的函数，求得函数的值域，从而确定参数的取值范围.