广东省清远市四校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年第一学期“四校联盟”期中联考高二数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时150分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考场号､考生号､座位号等信息填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.第I卷（选择题）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上.1.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数为大于2小于5”，“点数为偶数”，则表示的事件为（）A.“点数为4”B.“点数为3或4”C.“点数为偶数”D.“点数为大于2小于5”2.已知向量，则（）A.61B.C.13D.3.在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（）A.B.1C.D.4.从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 5.若直线的斜率，那么该直线不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知空间向量，且，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.8.已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.9.已知向量，则（）A.B.C.D.10.已知直线，则（）A.直线的斜率为B.直线的倾斜角为C.直线不经过第三象限 D.直线与直线垂直11.6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过X的最大整数，则（）A.B.C.事件“”与“”互斥D.事件“”与“”对立12.如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（）A.B.C.点必在线段上D.平面第II卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则____.14.过点且垂直于直线的直线方程为___.15.已知向量且共面，则__________.16.已知两条平行直线间距离为，则____.四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.如图所示，已知三角形三个顶点为，求： （1）所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程；（3）三角形的面积.18.从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛．（1）将5名学生做适当编号，把选中2人的所有可能情况列举出来；（2）求所选2人中恰有一名女生概率；（3）求所选2人中至少有一名男生的概率．19.如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，.（1）求两点间距离；（2）求证：平面；（3）求证：平面平面.20.甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.21已知直线. （1）求证：直线经过一个定点；（2）若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程.22.如图所示，在正四棱柱中，是的中点，（1）求到平面的距离；（2）在棱上是否存在一点，使二面角为？若存在，建立适当坐标系，写出点坐标，若不存在，请说明理由. 2023-2024学年第一学期“四校联盟”期中联考高二数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时150分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考场号､考生号､座位号等信息填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.第I卷（选择题）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上.1.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数为大于2小于5”，“点数为偶数”，则表示的事件为（）A.“点数为4”B.“点数为3或4”C.“点数为偶数”D.“点数为大于2小于5”【答案】A【解析】【分析】先分别求得事件所包含的基本事件，进而求得表示的事件.【详解】“点数为大于2小于”,“点数为偶数”,则,故表示的事件为“点数为4”.故选：A2.已知向量，则（）A.61B.C.13D.【答案】B【解析】 【分析】由已知向量的坐标，求出的坐标，由模长公式计算即可.【详解】由，得，.故选：B.3.在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】先依据空间向量基本定理利用向量表示向量，进而求得的值，即可求得的值.【详解】由又，则所以故选：C4.从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【答案】A 【解析】【分析】5人中任选2人，基本事件共10种，其中2人中恰有一名男生占6种基本事件，可求概率.【详解】设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人恰好是一男一女的情况共有共6种可能则选中的2人恰好是一男一女的概率为0.6，故选：A5.若直线的斜率，那么该直线不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求得过定点，再依据其斜率，即可得到该直线不经过第三象限.【详解】直线可化为则直线过定点，又直线斜率，故该直线不经过第三象限.故选：C6.已知空间向量，且，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】现根据空间向量数量积的坐标表示求出，进而根据模长公式求得，进而根据向量与向量的夹角公式求解即可.【详解】因为，所以，即，则有， 所以，又因为，所以向量与的夹角为.故选：C.7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出面的法向量，再求直线与面所成角的正弦值.【详解】因为平面，面，底面为矩形，所以两两垂直，设，以分别为轴建立空间直角坐标系如图，则所以，设平面的法向量为， 所以，令，则，所以取，直线与面所成角的正弦值为.故选：A8.已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】当直线过点时，求出的值，可得出；然后求出直线所过定点的作坐标，求出，分析可知当时，最大，但此时不存在，由此可得出的取值范围.【详解】若直线过点，则，解得，此时，点到直线的距离为；由直线，可得，由，可解得，即直线过定点，则，，当直线与直线垂直时，最大，此时，直线的斜率为，的值不存在，即这样的直线不存在，所以.故选：C.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.9.已知向量，则（） A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】通过空间向量平行和垂直的坐标运算，验证各选项是否正确.【详解】A选项，因为，所以，A正确；B选项，因为，所以，B正确；C选项，设，则有，方程组无解，故不平行，C错误；D选项，，故，D正确.故选：ABD10.已知直线，则（）A.直线的斜率为B.直线的倾斜角为C.直线不经过第三象限D.直线与直线垂直【答案】AC【解析】【分析】由直线方程确定斜率,倾斜角判断选项；根据直线方程直接判定所过象限判断选项C；由直线垂直的判定判断选项D.【详解】由题设，倾斜角，则，A对，B错；直线斜率为负值，y轴截距为正值，则直线过第一，二，四象限，不过第三象限，对； 由，可得其斜率为，由，可得直线与不垂直，D错.故选：11.6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过X的最大整数，则（）A.B.C.事件“”与“”互斥D.事件“”与“”对立【答案】AC【解析】【分析】结合互斥事件和对立事件的定义，结合古典概型公式即可得出结论.详解】由题意，6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．∴共有36种可能的情况，其中的情况共有：，∴，故A正确∵两次取球数字之和为5的情况有以下四种：，，，，∴，故B错误.当时，，∴事件“”与“”互斥，故C正确.∵当时，， 当，时，∴事件“”与“”不对立，故D错误.故选：AC.12.如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（）A.B.C.点必在线段上D.平面【答案】ACD【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，设出点，由题意，从而可得，对于A，只需验证是否成立即可；对于B，只需验证是否成立即可；对于C，令，判断关于的方程是否有解即可；对于D，求出平面的法向量，验证是否成立即可.【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设，则，由，可得，即，又，则，故，故选项A判断正确；由，可得，则两向量与不垂直，故与不垂直，故选项B判断错误；又，令，则有，解之得此时均成立.故点必在线段上，故选项C判断正确；设平面的一个法向量为，又.则，令，则，则，由，可得，又平面，则平面，故选项D判断正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解题的关键是明确验证线线垂直只需方向向量的数量积为0，对于C选项只需验证 方程是否有解，验证线面平行只需验证平面的法向量与直线的方向向量的数量积是否为0.第II卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则____.【答案】【解析】【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.【详解】由与是对立事件，可得由与是互斥事件，可得.故答案为：14.过点且垂直于直线的直线方程为___.【答案】【解析】【分析】先利用两直线垂直求得所求直线斜率，进而利用点斜式直线方程求得所求直线方程.【详解】直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线斜率为，则所求直线方程为，化为一般式为.故答案为：15.已知向量且共面，则__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得存在非零实数满足，结合空间向量坐标的线性运算可得 的值，进而结合空间向量模的坐标公式求解即可.【详解】若共面，则存在非零实数满足，则，即，解得，所以，则，所以.故答案为：.16.已知两条平行直线间的距离为，则____.【答案】5【解析】【分析】先利用两直线平行求得m值，再利用两平行直线间的距离公式求得n的值，进而求得的值.【详解】根据题意，两条直线平行，必有，解可得则即，变形可得，又由两条平行直线间的距离为，则有，故，解之可得或，则时；时.故答案为：5.四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程；（3）三角形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程；（2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程；（3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积.小问1详解】因为，所以直线的两点式方程为，化简得；【小问2详解】因为，又，则，所以，则直线的方程为，即. 【小问3详解】点到直线：的距离又的底边，所以的面积为.18.从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛．（1）将5名学生做适当编号，把选中2人的所有可能情况列举出来；（2）求所选2人中恰有一名女生的概率；（3）求所选2人中至少有一名男生的概率．【答案】（1）详见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）3名男生分别记为A，B，C，2名女生分别记为a，b，从中任选2人的情况列举即可；（2）利用古典概型的概率求解；（3）利用古典概型的概率求解；【小问1详解】解：3名男生分别记为A，B，C，2名女生分别记为a，b，从中任选2人的所有情况为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种；【小问2详解】所选2人中恰有一名女生的情况有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6种，所以所选2人中恰有一名女生的概率是；【小问3详解】所选2人中至少有一名男生的情况有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb共9种，所以选2人中至少有一名男生的概率. 19.如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，.（1）求两点间的距离；（2）求证：平面；（3）求证：平面平面.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解；（2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明；（3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.【小问1详解】由题可知，底面，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即两点间的距离为.【小问2详解】由（1）知，，所以，即，即，又平面平面，所以平面.【小问3详解】由（2）知，，，，所以，，则，即，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.20.甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.【答案】（1）0.032（2）0.94（3）0.2976.【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式可得；（2）利用间接法，先求其对立事件的概率即可；（3）所求事件可表示为两个互斥事件的和事件. 先由相互独立事件的概率乘法公式分别求解两个互斥事件的概率，再由概率加法公式可得.【小问1详解】设“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得，且相互独立.“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，.即甲第三次试跳才成功的概率为.【小问2详解】“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件，则，.即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为.【小问3详解】设“甲在两次试跳中成功次”为事件，“乙在两次试跳中成功次”为事件，事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且､为互斥事件，所求的概率为.故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为.21.已知直线.（1）求证：直线经过一个定点；（2）若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程.【答案】21.证明见解析；22.S的最小值为16，直线的方程为 【解析】【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点；（2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程.【小问1详解】直线，可化为故直线过定点.【小问2详解】由（1）得直线过定点，又直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点则，令，得,所以，令得所以，所以，（当且仅当即时等号成立，）此时直线的方程是即22.如图所示，在正四棱柱中，是的中点，（1）求到平面的距离； （2）在棱上是否存在一点，使二面角为？若存在，建立适当坐标系，写出点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求解即得.（2）由（1）中坐标系，设出点的坐标，利用二面角的向量求法列式求解即得.【小问1详解】在正四棱柱中，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由是的中点，得，，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离为.【小问2详解】若上存在点，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，而平面的一个法向量为，由二面角为，得，化简得， 解得或，当时，满足，