浙江省杭州市六县九校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023学年第一学期六县九校联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线的方程易得斜率，进而可得倾斜角．【详解】解：由题意可得直线的斜率，即，故，故选：D．【点睛】本题考查直线的倾斜角，由直线方程得出斜率是解决问题的关键，属基础题．2.已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出． 【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B3.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可.【详解】因为空间向量，，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：C4.已知两条直线和，下列不正确的是（）A.“a＝1”是“”的充要条件B.当时，两条直线间的距离为C.当斜率存在时，两条直线不可能垂直D.直线横截距为1【答案】D【解析】【分析】由直线平行关系可以判断A正确；利用平行线间距离公式可以判断B正确；利用垂直关系可以判断C正确；令可以求出直线得横截距. 【详解】当时，，则，当时，直线与重合，故舍去，所以A正确；当时，，和间的距离为，所以B正确；若，则，则，又当斜率存在时，，所以C正确；，令得，所以直线横截距为-1，所以D错误.故选：D.5.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由古典概型的概率公式即可求解.【详解】记三件正品为、一件次品为，随机取出两件的基本事件为，共个，其中取出的产品全是正品的基本事件有共个，故所求概率.故选：B.6.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用椭圆定义和勾股定理即可求解. 【详解】如图依题意，，，，则，，由椭圆定义可得，，所以离心率.故选：D.7.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线即，恒过定点，曲线即表示以点为圆心，半径为1，且位于直线上方的半圆（包括点，），当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为，分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是. 故选：B.8.已知，，则的最小值为（）A.8B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式得，，，，再利用不等式的性质两边分别相加可得答案【详解】因为，，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以两边分别相加得，当且仅当时取等号， 即的最小值为，故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案.【详解】设平面的法向量为，因为向量，所以，取，得，取，得.故选：BC.10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（）A.的一个方向向量为B.直线与两坐标轴围成三角形的面积为C.与直线垂直D.与直线平行【答案】AC【解析】【分析】根据点斜式求得直线 的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线重合，D错误；，因此是直线的一个方向向量，A正确；在直线方程中令得，令得，直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；由于，C正确故选：AC11.下列说法正确是（）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.625B.若，是互斥事件，则C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则初级教师应抽取15人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是【答案】AC【解析】【分析】先求此题不能解出的概率，再利用对立事件可得此题能解出的概率可判断A；由，可判断B；计算出初级教师应抽取的人数可判断C；由列举法得出两位女生相邻的概率可判断D.【详解】对于A，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为，则此题能解出的概率为，故A对； 对于B，若，是互斥事件，则，，故B错；对于C，初级教师应抽取人，故C正确；对于D，由列举法可知，用1、2表示两名女生，表示男生，则样本空间两位女生相邻的概率是，故D错.故选：AC.12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则A.B.若为线段上的一个动点，则的最大值为2C.点到直线的距离是D.异面直线与所成角的正切值为【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B、C、D.【详解】因为，所以，故A错误；如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，，，对于B：因为为线段上的一个动点，设，，则，所以，所以当时，故B正确；对于C：，，所以点到直线的距离，故C正确；对于D：因为，所以，所以，即异面直线与所成角的正切值为，故D正确；故选：BCD非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某地一年之内个月的降水量分别为：，，，，，，，，，，，，则该地区的月降水量分位数___________.【答案】【解析】 【分析】利用百分位数的定义求解即可.【详解】将该地这个月的降降水量从小到大排列得：，，，，，，，，，，，，又，所以该地区的月降水量分位数为.故答案为：.14.已知，及轴上的动点，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】作点关于轴的对称点，则为所求最小值，从而得解.【详解】如图，过点作轴的对称点，此时，即为所求最小值，又，，所以，所以.故答案为：.15.已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】借助数形结合思想，结合直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】圆：与圆：的方程相减，可得，即直线的方程为.圆：的圆心为，半径，点到直线的距离，则圆上的动点到直线距离的最大值为，故答案为：.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为_____.【答案】##【解析】【分析】转化条件设点，，表示出点C坐标后直接代入椭圆方程，利用即可得解.【详解】解：设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设 ,由，得，即有，即，得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分其中第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.【答案】（1）0.006；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2人，记为 ，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.【详解】（1）因，所以（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为；受访职工评分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即为.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，故所求的概率为【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.18.已知在中，，，.（1）求边的垂直平分线的方程；（2）求的外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由点A、B的坐标求出AB的中点坐标和直线AB的斜率，进而得出线段AB垂直平分线的斜率，根据直线的点斜式方程即可得出结果；(2)由点A、C的坐标求出边AC的垂直平分线方程，联立边AB的垂直平分线方程，求出外接圆圆心坐标，利用两点距离公式求出圆的半径，即可得出答案. 【小问1详解】由题意知，，设AB的中点为E，则，又直线AB的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，得其方程为，即；【小问2详解】由可得边AC的垂直平分线方程为，所以，解得，即的外接圆的圆心为(1，-2)，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为：.19.已知直线过点，（1）求在坐标轴上截距相等直线的方程.（2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）利用截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【小问1详解】当截距为零时，直线方程为，即；当截距不为零时，设方程为，代入点，可得，此时直线方程为； 所以在坐标轴上截距相等的直线的方程为和【小问2详解】设直线的方程为，由题意可得，令，则；令，则；即，，从而，当且仅当，即时取到最小值12，所以直线方程为，即.20.已知表示圆的方程.（1）求实数取值范围；（2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程.（3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值.【答案】（1）（2）和（3）【解析】【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案；（2）求出圆C的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；（3）设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出的最小值，即可得解.【小问1详解】解：由题可知：，该方程表示圆，则， 即，解得.则实数的取值范围为；【小问2详解】解：令，，开口向下，对称轴为，当时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为，设切线方程为即.圆心到切线的距离等于半径长，即，解得，则另一条切线斜率不存在。即切线方程为，即；另一条切线方程为；【小问3详解】解：设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，由（2）知，又，则点M在圆C外面，所以，则.则可知的最小值为.21.如图在四棱锥中，，,，，，是的中点．（1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）取中点，连接、，证明，借助直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）假设在棱上存在点，建立空间直角坐标系，借助向量运算即可解答.【小问1详解】取中点，连接、，因为，分别为，的中点，所以,且，又因为，，所以,且，所以四边形为平行四边形，所以,而平面，平面，所以平面   .小问2详解】取中点，连接、，因为，，所以为等腰直角三角形，所以,，又因为,所以，所以，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以而,、平面，所以平面，以为原点，以方向分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则，，,,，，，假设在棱上存在点，设点，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，故，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，故设半平面与半平面所成二面角的平面角为，为锐角，所以，所以，即，（舍去），此时，，故在棱上存在点，当时，半平面与半平面所成二面角的余弦值为.22.已知椭圆和直线l：，椭圆的离心率，坐标原点到 直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意写出关于的等式，进行联立即可求解；（2）先假设假设存在实数k，联立直线与椭圆可得，以CD为直径的圆过定点E可得，将韦达定理代入即可求解【小问1详解】直线l方程为，依题意可得：，又，解得：，，∴椭圆的方程为；【小问2详解】假设存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E，联立得，∴，∴或①， 设，，则②，而，，，要使以CD为直径的圆过点，当且仅当，故，则，∴，③将②代入③得，解得，经验证使得①成立，综上可知，存在使得以CD为直径的圆过点E.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；