河北省承德市重点高中2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

承德市重点高中高一联考数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则的虚部为（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．【详解】由，则，所以的虚部为．故选：A．2.下列说法中不正确的是（）A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等【答案】B【解析】【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.【详解】根据规定：零向量与任一向量平行，A正确；方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；单位向量是模为1的向量，C正确；根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确；故选:B.3.在中，若，则（）A.B.16C.9D.0【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，再根据数量积和向量的加法法则即可求解．【详解】由，则，所以， 所以．故选：B．4.若，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D.5.在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（）A.无解B.有两解C.有一解D.有无数解【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可得，由的取值范围可求得的范围，结合大边对大角可知为锐角的一个，由此可得结果.【详解】由正弦定理得：，，，则， ，，，只能为锐角的一个值，只有一个解.故选：C.6.已知的三边长分别为，，，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设的最小内角为，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，进而即可求解．【详解】设的最小内角为，由正弦定理得，整理得，又余弦定理得，所以，解得，则．故选：B．7.已知点是所在平面内一点，若非零向量与向量共线，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】计算得出，可得出，即可得出结论. 【详解】因为，所以与垂直，因为与共线，所以，则.故ABC均无法判断，D对.故选：D.8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上单调递增，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到，再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．【详解】由，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则，由，，得，又在上单调递增， 则，，解得，即，又，则当时，，即的取值范围是．故选：C．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若复数为纯虚数，则（）A.为实数B.为实数C.为实数D.为实数【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，设且，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为为纯虚数，设且，则，由，所以A正确；由，所以B错误；由为实数，所以C正确；由为实数，所以D正确.故选：ACD.10.已知函数，则下列关于函数的图象与性质的叙述中，正确的有（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数的图象关于直线对称D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据正切函数性质画出图象，即可判断A、B、C的正误，由正切函数及诱导公式求判断D.【详解】函数的大致图象，如下图示，由上图象，易知：最小正周期为、上单调递增、图象关于直线对称，故A，B，C正确，又，所以，故D错误．故选：ABC.11.已知非零向量，满足，则下列结论正确的是（）A.若，共线，则B.若，则C.若，则D.【答案】BD 【解析】【分析】当，同向时即可判断A；根据，有，再对两边平方即可判断B；根据，求解即可判断C；对两边平方，再结合基本不等式，绝对值不等式即可判断D．【详解】对于A，由，，所以当，同向时，，此时，故A错误；对于B，若，则，，两边平方得，故B正确；对于C，由，所以，即，故C错误；对于D，由，得，故D正确．故选：BD．12.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（）A.B.a>cC.c>aD.【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.【详解】由正弦边角关系知：，则，所以，而，则，A正确；由上知：，即，B错误，C正确；由知：，则 ，又，故，则，即，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：___________.【答案】【解析】【分析】由复数的除法化简复数，进而求模即可.【详解】.故答案为：14.已知，向量在上的投影向量为，则__________.【答案】【解析】【分析】设向量的夹角为，根据投影向量的概念，再结合数量积的概念即可求解．【详解】设向量的夹角为，由在方向上的投影向量为，则，即，所以．故答案为：．15.已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.【答案】【解析】【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而求得的 周长.【详解】设扇形所在圆半径为，∴如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,，故，所以最大的圆周长为.故答案：16.记的内角，，的对边分别为，，，若为的重心，，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可．【详解】连接，延长交于，由题意得为的中点，，所以，，因为，所以，得，又，则，故． 故答案为：．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知虚数z满足.（1）求证：在复平面内对应的点在直线上；（2）若是方程一个根，求与.【答案】（1）证明见解析（2），【解析】【分析】（1）由题设可得，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；（2）将复数代入方程求参数即可.【小问1详解】设，由，则，所以，所以在复平面内对应的点为，在直线上.【小问2详解】同（1）设复数，因为z是方程的一个根，所以，即，所以且，得， 因为，所以，把代入得：，所以，.18.已知函数的图象的一部分如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值.【答案】（1）；（2）最小值；最大值.【解析】【分析】（1）由函数的图象，求得，，得到，再由，求得，即可得到函数的解析式；（2）化简得到函数，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由函数的图象，可得，，即，所以，可得，又因为，即，可得，又由，所以，所以函数的解析式为. （2）由题意，函数.因为，所以，所以当，即时，取最小值；当，即时，取最大值.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19.已知的内角的对边分别为，向量，且.（1）求角A；（2）若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.【答案】（1）（2）等边三角形，【解析】【分析】（1）由，可得，后由正弦定理结合即可得答案；（2）由（1），的周长为，且外接圆的半径为1，可得，后由余弦定理可得，解出b,c即可得答案.【小问1详解】因为，所以，即.由正弦定理得，因为，所以. 因为，所以，所以.因为，所以.【小问2详解】设外接圆半径为，则.由正弦定理，得.因为的周长为，所以.由余弦定理，得，即，所以.则.所以为等边三角形，的面积.20.已知向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，解得，再由向量的数量积，即可得出答案．（2），由向量的数量积，即可得出答案．【小问1详解】解：因为，所以，因为，所以，解得．而，所以， 又，所以．【小问2详解】解：因为，，所以，所以．21.2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至处有两种路径：一种是从A沿直线步行到，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再从B匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，索道长为，经测量，.（1）求山路的长；（2）乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】（1）（2）当时，甲､乙两游客距离最短【解析】【分析】（1）利用，可得，后由正弦定理可得答案；（2）假设乙出发分钟后，甲在D点，乙在E点.由图，题意，余弦定理可得，即可得答案.【小问1详解】在中，因为，所以.从而. 由正弦定理，得.所以山路的长为；【小问2详解】假设乙出发分钟后，甲在D点，乙在E点.此时，，，所以由余弦定理得.因为，即，故当时，甲､乙两游客距离最短.22.已知圆的半径为2，圆与正的各边相切，动点在圆上，点满足.（1）求的值；（2）若存在，使得，求的最大值.【答案】（1）51（2）5【解析】【分析】（1）方法1，由题可得O为正三角形中心，则，，又由，可得，后注意到即可得答案；方法2，以点为坐标原点，直线为轴，过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标系，设，则可得，化简后可得答案；（2）方法1，由，可得，平方后结合（1）可得，后由基本不等式可将其化为 ，即可得答案；方法2，由（1）结合，可得，则.后由基本不等式可将其化为，即可得答案.【小问1详解】方法1，由题意知，且，，，为的中点.，；方法2，如图，以点为坐标原点，直线为轴，过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标系，则.由得，所以.，设，则.则； 【小问2详解】方法1，，，.两边平方得：，由（1）得，则.（当且仅当时取“=”号），整理得，即的最大值为5；方法2，由（1），又，则，.可得.则，整理得（当且仅当时等号成立），整理得，解得.所以的最大值为5.