四川省泸县第五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

泸县五中2023年秋期高二第三学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求斜率，再求倾斜角.【详解】直线斜率，所以倾斜角为150°.故选：C2.同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B.“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C.“恰有1枚正面朝上”与“2枚都正面朝上”D.“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”【答案】C【解析】【分析】根据对互斥事件、对立事件的概念直接判断即可.【详解】在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D 中的两个事件不是互斥事件.故选：C.【点睛】本题主要考查的是对互斥事件、对立事件的概念理解，要求学生熟练掌握对互斥事件、对立事件的概念并能简单应用，是基础题.3.已知向量，则与同向共线的单位向量（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得的模，再根据与同向共线的单位向量求解.【详解】解：因为向量，所以已知向量，所以与同向共线的单位向量，故选：C4.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的.考点：随机抽样5.已知，，，则过点且与线段平行的直线方程为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】先求得线段斜率，由点斜式求得正确答案.【详解】因，，，所以，则所求直线的斜率为，所以过点且与线段平行的直线方程为，即．故选：B6.与圆及圆都外切的圆的圆心在．A.一个圆上B.一个椭圆上C.双曲线的一支上D.抛物线上【答案】C【解析】【分析】设动圆的半径为，然后根据动圆与圆及圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解.【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为3．依题意得，则，所以点的轨迹是双曲线的一支．故选C．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系和双曲线的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意得到两直线的交点坐标，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】联立，解得，故两直线的交点为.因为交点在第一象限，所以，解得.故选：A8.设P为椭圆C：上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为（）A.24B.12C.8D.6【答案】C【解析】【分析】根据条件计算出，可以判断△PF1F2是直角三角形，即可计算出△PF1F2的面积，由△PF1F2的重心为点G可知△PF1F2的面积是△GPF1的面积的3倍，即可求解.【详解】∵P为椭圆C：上一点，，，，又，∴易知△PF1F2是直角三角形，，∵△PF1F2的重心为点G，∴，∴△GPF1的面积为8.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积问题，属于基础题.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为【答案】ACD【解析】【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，则，，对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．故选：ACD．10.已知方程，若方程表示圆，则的值可能为（）．A.B.0C.1D.3【答案】AB【解析】【分析】根据圆的一般方程可求出a的取值范围，即可求解.【详解】因为方程表示圆，所以，解得， 所以满足条件的只有与0．故选：AB【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，考查了方程表示圆满足的条件，属于中档题.11.（多选）正方体的棱长为2，M为的中点，下列命题中正确的是（）A.与成60°角B.若，面交于点E，则C.P点在正方形边界及内部运动，且，则P点的轨迹长等于D.E，F分别在上，且，直线与，所成角分别是，，则【答案】ACD【解析】【分析】如图，建立空间直角坐标系，对于选项，利用向量法求出与成60°角，所以该选项正确；对于选项，求出，所以选项错误；对于选项，点P的轨迹长为线段的长度为，所以选项正确；对于选项，求出，所以该选项正确.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，．对于选项，，，，∴与成60°角，所以选项正确；对于选项，∵，∴，设，则，， ，由已知得，M，N，E四点共面，∴，使得，得解得∴，∴，，所以选项错误；对于选项，设，则，由，得．∴点P的轨迹长为线段的长度为，所以选项正确；对于选项，∵E，F分别在上，且，∴，，则，则，则，故，，故，即，故选项正确．故选：ACD【点睛】 本题主要考查空间向量的应用，考查异面直线所成的角的计算，考查向量的模的计算，考查轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，，则，，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，，（抛物线定义），C选项正确；，，D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.第II卷非选择题（90分）三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1 球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是_________球.【答案】白【解析】【分析】根据频率估计概率即可求解.【详解】取了10次有7个白球，则取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球.故答案为：白14.在平行六面体中，若，则__________.【答案】【解析】【分析】把用、和来表示出来，与题中给的式子比较系数就可以算出的值．【详解】如下图所示，有.=又因为,所以解得所以=.【点睛】本题是空间几何与空间向量结合的题目，要注意把其中关系找出来．15.在平面直角坐标系xOy中，若直线上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足，则实数k的最小值为________．【答案】【解析】 【分析】根据求出点P的轨迹方程，只需直线与点P的轨迹有公共点即可.【详解】设点P（x，y），由可得，又点Q在圆x2＋（y－1）2＝1上，可得，即x2＋（y－3）2＝9，所以点P既在圆x2＋（y－3）2＝9上，又在直线上，即直线与圆有公共点，所以圆心到直线距离，解得，所以实数k的最小值为.故答案为：【点睛】此题考查求曲线的轨迹方程和通过直线与圆的位置关系求参数的取值范围，直线与圆有公共点转化为圆心到直线距离小于等于半径.16.已知双曲线，的两个焦点分别为，，过轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于，两点，以为直径的圆经过点，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】首先根据双曲线的概念结合题意得到，设，结合勾股定理得到，，从而得到，再求离心率即可.【详解】如图所示：由双曲线的定义，，所以. 因为，，成等差数列，所以，即，令，在中，，所以，即，解得，即，，又在中，，，又，所以，即，.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线的一般方程；（2）若直线在x，y轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．【答案】(1)或；(2).【解析】【详解】试题分析：（1）当截距为0时，得到；当截距不为0时设直线方程为，代入点坐标即可得方程．（2）由第一问可得，，由不等式得到结果．解析：⑴①即②截距不为0时，设直线方程为，代入，计算得，则直线方程为综上，直线方程为⑵由题意得18.某球迷为了解两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20 场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：球队：122110105105109101107129115100114118118104931209610210583球队：1141141101081031179312475106918110711210710110612010779（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：球队所得分数低于100分100分到119分不低于120分攻击能力等级较弱较强很强记事件“球队的攻击能力等级高于球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率.【答案】（1）茎叶图见解析，球队所得分数的平均值高于球队所得分数的平均值；球队所得分数比较集中，球队所得分数比较分散．（2）0.31【解析】【分析】（1）通过茎叶图可以看出，球队所得分数的平均值高于球队所得分数的平均值；球队所得分数比较集中，球队所得分数比较分散；(2)由古典概型概率公式，利用互斥事件概率公式，独立事件的概率公式可求得事件的概率.【小问1详解】两队所得分数的茎叶图如下球队球队759381369315240719551083677167884501144072 0921240通过茎叶图可以看出，球队所得分数的平均值高于球队所得分数的平均值；球队所得分数比较集中，球队所得分数比较分散．【小问2详解】记表示事件：“球队攻击能力等级为较强”，表示事件：“球队攻击能力等级为很强”；表示事件：“球队攻击能力等级为较弱”，表示事件：“球队攻击能力等级为较弱或较强”，则与独立，与独立，与互斥，．由所给数据得，，，发生的频率分别为，，，，故,19.如图，在平面四边形中，，，，将沿翻折，使点D到达点S的位置，且平面平面．（1）证明；（2）若E为的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】 【分析】（1）由面面垂直得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理得线面垂直后得证线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角、二面角．【小问1详解】证明：∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴又∵，，平面，∴平面，而平面，∴；【小问2详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，轴，设，取，则由设平面的法向量为，可取设直线与平面所成的角为，则，∴或当时，由，设平面的法向量为 则，可取由可取平面的法向量，设二面角的平面角为则，所以同理，当时，则可取，则，所以综上可得，二面角的大小为或20.已知椭圆经过点，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，且，求点P的纵坐标的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，根据定义可得，所以，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设，根据已知可推得.进而根据椭圆的方程可推出以及.即可得出答案.【小问1详解】由已知可设，.则，则由椭圆的定义可得，，所以.又，所以. 所以，椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设，则，.结合题意可得，.又，所以.所以有，所以，，又，所以.又，所以，所以.所以，点P的纵坐标的取值范围为.21.双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.（1）求双曲线的离心率；（2）若在第一象限，证明：.【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用已知条件可得，结合即可求解.（2）由（1）可得，设，设,可得，根据点在双曲线上可得，再由，即可证明.【详解】（1）当时，点在第一象限或第四象限， 由对称性，不妨设点第一象限，，，在双曲线上，则有，又，消去可得，即，变形，即，因为，解得.（2）证明：，即，双曲线，化为，设，（），①当，由题意可知，此角不存在正切值；②当与不垂直时，设,则，，，， 即.【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的离心率，解题的关键是，，考查了运算求解能力.22.已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，横坐标为1的点M在抛物线上，且以F为圆心，|MF|为半径的圆与C的准线相切．（1）求抛物线C的方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于A、B两点，设直线OA、OB的倾斜角分别为和，证明：当时，直线l恒过定点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，由题意可得，解得的值，进而求出结果；（2）设A，B的坐标，及直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而可得直线OA，OB的斜率之积和斜率之和，再由可得直线OA，OB的正切值，即直线OA，OB斜率，联立可得直线恒过定点.【小问1详解】由题焦点，准线，由抛物线的定义可得的值等于M到准线的距离，因为以F为圆心，为半径的圆与C的准线相切，所以，解得，所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】证明：由题设，，易知直线l的斜率存在，记为k，则设直线l：，与联立得，得，，则，，，，又知，，，解得，所以直线，恒过定点．可证得当时，直线l恒过定点．