四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

泸县一中2023-2024学年高二上学期第三学月考试数学试题第Ⅰ卷选择题（60分）一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.设复数z的共轭复数为，若复数z满足2z+=3-2i，则z=（）A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i【答案】B【解析】【分析】设出复数z和共轭复数为，代入2z+=3-2i即可得出答案.【详解】设则其共轭复数=a-bi,所以所以由复数相等的概念可知解得所以故选：B2.下面的事件：①在标准大气压下，水加热到时会沸腾；②，则；③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为（）A.②B.①C.①②D.③【答案】B【解析】【分析】利用必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可.【详解】对于①，在标准大气压下，水加热到沸腾的概率为，为不可能事件；对于②，由乘法交换律可知：，则发生概率为，为必然事件； 对于③，一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上随机事件.故选：B.3.如图一个电路中有三个电器元件，每一个电器元件正常通电的概率均为0.9，且每一个电器元件是否正常通电相互独立，则该电路能正常通电的概率为（）.A.0.729B.0.81C.0.891D.0.99【答案】C【解析】【分析】分析出要想该电路能正常通电，则要正常，中至少一个正常，结合组合知识求出概率.【详解】要想该电路能正常通电，则要正常，中至少一个正常，故该电路能正常通电的概率为.故选：C4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由题意可得关于实数m的不等式组：，解得：，综上可得：的取值范围是.本题选择B选项.5.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题知，，进而利用向量求解异面直线所成角即可.【详解】解：由题知，在直三棱柱中，平面，平面，∵平面，平面，∴，，∵，，∴.∵，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选：C.6.已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形.则使这个四边形面积最小的值为.A2B.C.D.【答案】D【解析】【详解】易知，直线和都过定点. 在中，令，得；在中，令，得.联结.则.所以，当时，四边形的面积最小.故答案为D7.已知抛物线的焦点为圆的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A、B两点，则（）A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】【分析】由已知求出，得出直线方程，联立直线与抛物线，利用弦长公式即可求出.【详解】由题可得抛物线焦点为，则，即，则抛物线方程为，直线的倾斜角为60°，则斜率为，故直线的方程为，联立直线与抛物线可得，设，则，则.故选：C.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解.8.已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义把、用表示，在中由余弦定理得出的关系，从而转化得出的等式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设为第一象限的交点，，，则由椭圆和双曲线的定义可知，，在中由余弦定理得：，即：，，即：，，当且仅当，即时，取得最小值为3．故选：A．二.多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）9.（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（）A.，，不能构成空间的一个基底B.，，不能构成空间的一个基底C.，，不能构成空间的一个基底 D.，，能构成空间的一个基底【答案】ABC【解析】【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线所以空间五点，，，，共面，所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.故选：ABC【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题10.将一枚骰子向上抛掷一次，设事件{向上的一面出现奇数点}，事件{向上的一面出现的点数不超过2}，事件{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有（）A.B.{向上的一面出现的点数大于3}C.{向上的一面出现的点数不小于3}D.{向上的一面出现的点数为2}【答案】BC【解析】【分析】根据题意，分别得到事件包含的样本点，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意可知事件包含的样本点：向上的一面出现的点数为；事件包含的样本点：向上的一面出现的点数为；事件包含的样本点：向上的一面出现的点数为；所以{向上的一面出现的点数为}，故A错误；{向上的一面出现的点数为或或}，故B正确； {向上的一面出现的点数为或或或}，故C正确；，故D错误；故选：BC11.已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（）A.实数k的取值范围是B.实数k的取值范围是C.当圆的周长最大时，圆心坐标是D.圆的最大面积是π【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，将圆的一般式方程化为标准式方程，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】将圆的方程为化为标准式为，由，解得，故A正确，B错误；当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大，此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确；故选：ACD12.已知O为坐标原点，椭圆E的方程为，离心率为，为E上一点，过点A作两条直线分别与E交于B，C两点，且直线AB与直线AC的倾斜角互补，则下列结论正确的是（）A.椭圆E的长轴长为B.直线BC斜率为定值C.点O到直线BC的距离为定值D.若，则直线BC的方程为 【答案】BD【解析】【分析】对于选项A，利用点在曲线上和椭圆离心率公式及椭圆中的关系即可求解.对于选项B，设出直线AB的方程与椭圆联立，消去，得关于的一元二次方程，利用韦达定理写出横坐标的关系，进而得到点B的横坐标，代入直线AB求出点B纵坐标，利用已知条件写出点C的坐标，利用两点求斜率公式即可求解.对于选项C，设出直线BC的方程，利用点到直线的距离公式即可求解.对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程,消去，得关于的一元二次方程，利用韦达定理写出横坐标的关系，由，利用两直线垂直的充要条件即可求解.【详解】对于选项A，由题意得，，结合，得，，所以椭圆E的长周长为，故A错误.对于选项B，由A得椭圆E方程为，设，，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，与椭圆的方程联立，得，则，得，，即.因为直线AB与直线AC的倾斜角互补，所以直线AC的斜率为﹣k，同理可得，故直线BC的斜率，为定值，故B正确.对于选项C，由B知可设直线BC的方程为，则原点O到直线BC的距离，不是定值，故C错误.对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程，得，整理得，，即，则， ，由，得，整理得，得，，此时直线BC的方程为，故D正确.故选：BD.第Ⅱ卷非选择题（90分）三.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.抛物线上一点到焦点的距离为__________．【答案】3【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合代入法进行求解即可.【详解】因为，所以点在该抛物线上，又抛物线的准线方程为：，所以点到焦点的距离为：，故答案为：314.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，两人获一等奖的概率分别为和，若两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为_____.【答案】【解析】【分析】甲乙两人中恰有一人获得一等奖的情况是甲获得一等奖乙未获得一等奖和乙获得一等奖甲未获得一等奖两种情况，由相互独立事件概率得解.【详解】设甲乙分别获一等奖的概率为和，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率 故答案为：【点睛】本题考查互独立事件概率，属于基础题.15.已知向量，且，则____________．【答案】3【解析】【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.【详解】因为，所以，可得，因为，解得，故答案为3.16.已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得，，再由双曲线的定义，结合离心率的公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以是的中点，又为的中点，所以，因为，所以，所以，设，则，，且在双曲线上， 则，即，又，即，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共6个大题，共70分）17.已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.（1）求双曲线C的标准方程；（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件取得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.（2）利用点到直线的距离公式求得正确答案.【小问1详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的方程为，，所以双曲线的半焦距.又由，得，所以，所以双曲线C的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为. 18.已知圆和点．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，方程为，满足题意；当直线有斜率时，设直线方程为，由点到直线的距离公式可得值，可得方程；（2）设以点M为圆心圆的半径为r，由题意可得圆心M到直线的距离d满足，由点到直线的距离公式可得d值，可得答案.【小问1详解】若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：，为圆O的切线；当切线l的斜率存在时，设直线方程为：，即，∴圆心O到切线的距离为：，解得：∴直线方程为：．综上，切线的方程为：或【小问2详解】点到直线的距离为：，又∵圆被直线截得的弦长为8，由垂径定理得：，∴∴圆M的方程为：19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，点E在SD上，且． （1）若M，N分别为SA，SC的中点，证明：平面平面ACE；（2）若，，，平面ABCD，求直线BS与平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接交于，取的中点，连接，由M，N分别为SA，SC的中点，可得∥，由线面平行的判定可得∥平面，再由结合菱形的性质可得∥,则得∥平面，再利用面面平行的判定可证得结论，（2）取的中点，连接，以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【小问1详解】证明：连接交于点，连接交于，取的中点，连接，因为M，N分别为SA，SC的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为，为的中点，所以，因为N为SC的中点，所以∥，所以为的中点，因为底面ABCD为菱形，所以为的中点，所以∥, 因为平面，平面，所以∥平面，因为，所以平面∥平面，【小问2详解】取的中点，连接，因为平面ABCD，平面，所以，因为底面ABCD为菱形，所以为等边三角形，所以，因为∥，所以，所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示，则，因为，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，设直线BS与平面ACE所成角为，则， 所以直线BS与平面ACE所成角的正弦值为20.眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.【答案】(1)0分概率；2分概率；(2)【解析】【分析】（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，分析可知A事件三人都没有答对，按相互独立事件同时发生计算概率，B事件即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件恰有k次发生计算即可（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件，分别有互斥事件概率加法公式及相互独立事件乘法公式计算即可.【详解】（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率；甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率；（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件；事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对， 则，甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生，则．【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计算，涉及n次独立事件中恰有k次发生的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式，属于中档题.21.已知抛物线的焦点是曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.【答案】（1）（2）证明详见解析，定点坐标为【解析】【分析】（1）根据曲线的焦点求得，进而求得抛物线的方程.（2）设出点坐标，求得直线的方程并与抛物线的方程联立，求得点坐标，进而对直线过定点进行判断.【小问1详解】曲线，即，所以曲线是双曲线，，所以，所以抛物线的方程为.【小问2详解】抛物线的准线方程为，设，且，所以，直线的方程为，由解得，所以， ①当，即时，直线的方程为，过点.②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点综上所述，直线的方程恒过定点.22.已知椭圆的一个顶点为，焦距为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；【小问1详解】解：依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；【小问2详解】解：依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得