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四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(Word版附答案)
四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(Word版附答案)
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2023年12月绵阳南山中学2023年秋季高2022级12月月考数学试题一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知直线:,下列说法正确的是()A.120°B.150°C.方向向量可以是D.方向向量可以是2.设空间向量,,则()A.4B.6C.8D.93.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则甲、乙两人下成平局的概率是 A.B.C.D.4.正四面体的棱长为2,点D是的中点,则的值为()A.B.C.D.5.已知,直线是双曲线的一条渐近线,则点到直线的距离为()A.1B.2C.3D.46.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为:子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点).相关数据表明,入睡时间越晚,沉睡时间越少,睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据,对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图,则下列说法正确的是()A.在睡眠指数的人群中,早睡人数多于晚睡人数B.早睡人群睡眠指数主要集中在C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D.晚睡人群睡眠指数主要集中在7.在三棱锥中,,,,两两垂直,为的中点,为上一点,且,为的重心,则到直线的距离为()试卷共9页第9页 A.2B.1C.D.8.正方体的棱长为1,,,分别为,,的中点,则()A.B.直线与直线夹角是C.点到平面的距离为D.直线与平面平行一、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知,,是空间的一个基底,则下列说法正确的是()A.B.若则C.在上的投影向量为D.,,一定能构成空间的一个基底10.某单位为了解职工健康情况,采用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本.其中,男性平均体重为64千克,方差为151;女性平均体重为56千克,方差为159,男女人数之比为,下列说法正确的是()A.样本为该单位的职工B.每一位职工被抽中的可能性为C.该单位职工平均体重D.单位职工的方差11.已知圆,点,下列说法正确的是()A.直线过定点B.圆上存在两个点到直线的距离为2C.过点作圆的切线,则的方程为D.若点是圆上一点,,当最小时,12.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,为线段的中点,过点作抛物线的切线,则下列说法正确的是()试卷共9页第9页 A.的最小值为B.当时,C.以线段为直径的圆与直线相切D.当最小时,切线与准线的交点坐标为一、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.直线与直线垂直,则直线在轴上的截距是_________.14.右图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况,设事件“参加数学兴趣小组”,事件“参加语文兴趣小组”,事件“参加英语兴趣小组”。现从这个班任意选择一名学生,则事件所代表的区域是_________.(注:事件的对立事件用符号表示)15.已知椭圆的左右焦点分别为、,点为椭圆上的任意一点,则的最大值为_________.16.已知点,,曲线上的任意点满足,曲线与双曲线的两条渐近线相交于四个点,按顺时针排列依次为,且,则的离心率为_________.二、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知直线:和:,(1)求直线与的交点坐标;(2)过点作直线与直线,分别交于点A、B,且满足,求直线的方程.试卷共9页第9页 18.(12分)为了普及“宪法”知识,南山社区针对本社区中青年人举办了一次“宪法”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有人,按年龄分成5组,其中第一组:,第二组:,第三组:,第四组:,第五组:,得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这人的平均年龄和第80百分位数;(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人,担任本校的“宪法”宣传使者.现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,随机抽取2名作为组长,求两位组长来自不同组的概率.19.(12分)已知抛物线的焦点为,且经过点.(1)求;(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点,证明:.20.(12分)莱昂哈德•欧拉(LeonhardEuler,瑞士数学家),1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心(三条中线的交点)、垂心(三条高线的交点)和外心(三条中垂线的交点)共线,这条线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点.(1)求的欧拉线方程;(2)记的外接圆的圆心为,直线与圆交于试卷共9页第9页 两点,且,求的面积最大值.21.(12分)如图,在四棱雉中,底面是正方形,侧棱底面,二面角的大小是,分别是的中点,交于点.(1)求证:平面;(2)设是直线的中点,求直线与平面所成角的正弦值.22.(12分)设分别是椭圆的左、右焦点,若_____,请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答.①四点,,,中,恰有三点在椭圆上;②椭圆经过点,与轴垂直,且.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.)(1)求椭圆C的离心率;(2)设D是椭圆C的上顶点,过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B两点,过点D作线段AB的垂线,垂足为Q,判断在y轴上是否存在定点R,使得的长度为定值?并证明你的结论.绵阳南山中学2022级高二上学期12月月考试题数学(参考答案)一、单选题:题号12345678答案ADADBBCD试卷共9页第9页 二、多选题:题号9101112答案BCDBCDABACD三、填空题:13.14.415.16.四、解答题:17.【答案】(1);(2)8x-y-24=0【解析】(1)由x+y+3=02x-y-2=0,得...............4分(2)在直线l2上任取一点Mx0,-3-x0,∴点M关于P3,0的对称点N6-x0,3+x0在直线l1上,把点N6-x0,3+x0代入l1方程2x-y-2=0,解得x0=73∴M73,-163,∴kl=-163-073-3=8,...............8分即直线方程为:y=8x-24................10分18.【答案】(1),(2)【解析】(1)设这人的平均年龄为,则(岁).设第80百分位数为.方法一:由,解得.方法二:由,解得................4分(2)由题意,第四组应抽取4人,记为,第五组抽取2人,记为1,2.....6分对应的样本空间为:共15个样本点....................8分设事件“两位组长来自不同组”,则,共有8个样本点.所以.............12分19.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由题意知,代点入中,得,所以抛物线方程为;试卷共9页第9页 由抛物线定义知…………5分(2)设直线为,联立方程,有,,所以,…………8分所以.…………10分所以.…………12分20.【答案】(1);(2).【解析】(1),因此,是等腰直角三角形,∴中垂线与平分线、中线,三线合一∴欧拉线方程是.…………5分(2)设外心坐标为,则,解得,∴外心是.…………7分法一:,过定点,设,则,当时,最小;所以,所以,当时,最大.法二:圆心到直线的距离,,…………10分所以,即时,.…………12分21.【答案】(1)略;(2).【解析】(1)依题意,因平面,所以,且则,为二面角的平面角,即因是中点,所以,又平面,因平面,所以,又因,且,所以平面,所以,又平面…………5分(2)以为轴建立坐标系如图,设,试卷共9页第9页 则,设,则,由,得,所以,…………8分由(1)同理可证则,所以且,∴平面∴是平面的法向量,…………10分设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值是.…………12分22.【答案】(1)(2)存在,证明见解析【解析】(1)选①由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上,从而在椭圆上,因此不在椭圆上,故在椭圆上,将,,代入椭圆的方程,解得所以椭圆的方程为.…………4分选②由题意,;由,解得;所以椭圆的方程为.…………4分(2)已知是椭圆的上顶点,易得直线AB的斜率必然存在,设直线的方程为,由可得试卷共9页第9页 所以,…………6分又,.,化简整理有,得或.…………9分当时,直线经过点,不满足题意;…………10分当时满足方程中,故直线经过轴上定点.又为过点作线段的垂线的垂足,故在以为直径的圆上,取的中点为,则为定值,且.…………12分试卷共9页第9页
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