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四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题(Word版附解析)
四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题(Word版附解析)
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绵阳南山中学实验学校2023年秋季高2022级半期考试数学试题考试时间:120分钟总分:150分一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.直线的倾斜角是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件,结合直线的倾斜角与斜率的关系,即可求解.【详解】设直线的倾斜角为,,直线可化为,所以直线的斜率,,故选:D.2.已知空间向量,,且,则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直得,即可求出的值.【详解】.故选:B.3.已知直线,相互平行,则、之间的距离为()A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行得到关于a的方程,求出的值,再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线,相互平行,所以,解得,所以,即,所以、之间的距离.故选:A.4.已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示,当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果,全面推进乡村振兴,决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查,则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是()A.150,15B.150,20C.200,15D.200,20【答案】D【解析】【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加,再将所得结果乘以得出样本容量,得出村抽取的户数,再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.【详解】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加,再将所得结果乘以得出样本容量为,村抽取的户数为户,则抽取村贫困户户数为户.故选:D.5.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,焦距为4.若P为椭圆C上一点,且△PF1F2的周长为10,则椭圆C的离心率e为() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知,焦距:,由椭圆的定义得△PF1F2的周长为:,解得:,所以离心率故选:C.6.若圆经过点,,且圆心在直线:上,则圆的方程为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求解的中垂线方程,然后求解圆的圆心坐标,求解圆的半径,然后得到圆的方程.【详解】圆经过点,,可得线段的中点为,又,所以线段的中垂线的方程为,即,由,解得,即,圆的半径,所以圆的方程为.故选:A.7.先后两次掷一枚质地均匀的骰子,事件“两次掷出的点数之和是6”,事件“ 第一次掷出的点数是奇数”,事件“两次掷出的点数相同”,则()A.A与互斥B.与相互独立C.D.A与互斥【答案】B【解析】【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A:第一次掷出点数为3,第二次掷出点数为3,满足事件A,也满足事件B,因此A与能够同时发生,所以A与不互斥,故选项A错误;对于选项B:,,,所以,所以与相互独立,即选项B正确;对于选项C:,故选项C错误;对于选项D:第一次掷出点数为3,第二次掷出点数为3,满足事件A,也满足事件C,因此A与C能够同时发生,所以A与C不互斥,故选项D错误;故选:B.8.若过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值是()A.4B.5C.6D.8【答案】B【解析】【分析】先计算出两条动直线经过的定点,即和,注意到两条动直线相互垂直的特点,则有;再利用基本不等式放缩即可得出的最大值.【详解】解:由题意可知,动直线经过定点,动直线即,经过点定点,注意到动直线和动直线始终垂直,又是两条直线的交点,则有,.故(当且仅当时取“”故选:. 【点睛】本题是直线和不等式的综合考查,特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口,从而有是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合,不容易想到,是个灵活的好题.二、多项选择题(每小题5分,共4小题,共20分.在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知椭圆与椭圆,则下列说法错误的是()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】ABC【解析】【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距,比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆中,,,,则该椭圆的长轴长为,短轴长为,离心率为,焦距为;椭圆中,焦点在轴上,,,,故这两个椭圆只有焦距相等.故选:.10.已知空间中三点,,,则下列结论错误的是()A.与是共线向量B.与同向的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是【答案】AC【解析】【分析】A:利用共线向量定义进行判断;B:与同向的单位向量;C:利用向量夹角余弦公式判断; D:设平面的法向量为,则,由此能求出结果.【详解】对于A:,与不是共线向量,故A错误;对于B:,则与同向的单位向量是,故B正确;对于C:,∴,故C错误;对于D:,设平面的法向量为,则,取,得,故D正确.故选:AC.11.光线自点射入,经倾斜角为的直线反射后经过点,则反射光线经过的点为()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】先求点关于直线的对称点,得出反射后的直线,再对选项逐一检验 【详解】由题意知,,设点关于直线的对称点为,则,解得,所以反射光线所在的直线方程为,所以当时,;当时,,故选:BC12.对于平面直角坐标系内任意两点,定义它们之间的一种“折线距离”:,则下列命题正确的是()A.若,则B.若为定点,为动点,且满足,则点的轨迹是一个圆C.若为定点,为动点,且满足,则点的轨迹是一个椭圆D.若点线段上,则【答案】AD【解析】【分析】由新定义直接计算可判断A,设,,结合新定义可判断BC,设且,结合新定义可判断D【详解】由题意可得:当,,时,所以A正确;不妨设,,由题意可得,此时表示的几何图形是正方形,所以BC错误;设且,所以,所以D正确.故选:AD 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案直接填在答题卡中的横线上.)13.已知直线:与直线:互相垂直,则它们的交点坐标为_________.【答案】【解析】【分析】利用互相垂直求出,然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线:与直线:互相垂直,所以,解得,联立,解得直线和的交点坐标为,故答案为:14.如图,在平行六面体中,设,N是的中点,则向量_________.(用表示)【答案】【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得, ,故答案为:15.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况,随机抽取了部分党员,对他们一周的党史学习时间进行了统计,统计数据如下表所示:党史学习时间(小时)7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______.【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出结果.【详解】党员人数一共有,,那么第60百分位数是第24和25个数的平均数,第24和25个数分别为9,9,所以第60百分位数是,故答案为:9.16.已知点在直线上运动,点是圆上的动点,点是圆上的动点,则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】根据圆的性质可得,若求的最大值,转化为求的最大值,再根据点关于线对称的性质,数形结合从而得解.【详解】如图所示,圆的圆心为,半径为3, 圆的圆心为,半径为1,可知,所以,若求的最大值,转化为求的最大值,设关于直线的对称点为B,设B坐标为,则,解得,故B,因为,可得,当P,B,A三点共线,即P点为时,等号成立,所以的最大值为.故答案为:.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为;(2)经过点和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由长轴长及离心率求椭圆参数a、c,进而求参数b,即可写出椭圆方程.(2)由题设知P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,即可得a、b,结合顶点坐标特征写出椭圆方程. 【小问1详解】由已知,,,得:,,从而.所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由椭圆的几何性质知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,于是有,.又短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为.18.已知,以点为圆心的圆被轴截得的弦长为.(1)求圆的方程;(2)若过点的直线与圆相切,求直线的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)根据垂径定理,可直接计算出圆的半径;(2)根据直线的斜率是否存在分类讨论,斜率不存在时,可得到直线方程为的直线满足题意,斜率存在时,利用直线与圆相切,即到直线的距离等于半径,然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为,根据垂径定理,可得:解得:则圆的方程为:【小问2详解】当直线的斜率不存在时,则有:故此时直线与圆相切,满足题意当直线的斜率存在时,不妨设直线的斜率为,点的直线的距离为直线的方程为: 则有:解得:,此时直线的方程为:综上可得,直线的方程为:或19.南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后,统一进行了一次测试,并将所有测试成绩(满分100分)按照进行分组,得到如图所示的频率分布直方图,已知图中.(1)求出;(2)估计测试成绩的平均分;(3)按照人数比例用分层随机抽样的方法,从成绩在内的学生中抽取4人,再从这4人中任选2人,求这2人成绩都在内的概率.【答案】(1),(2);(3)【解析】【分析】(1)根据频率之和即可求解,(2)根据平均数的计算公式即可求解,(3)由列举法列举所有基本事件,即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知,即,又,所以,.【小问2详解】测试成绩的平均分为: 【小问3详解】成绩在和内的人数之比为,故抽取的4人中成绩在内的有3人,设为,,,成绩在内的有1人,设为,再从这4人中选2人,这2人的所有可能情况为,,,,,,共6种,这2人成绩均在内的情况有,,,共3种,故这2人成绩都在内的概率为20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A,在平台O的正东方向12km处设立观测点B,规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示:以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系.(1)试写出A,B的坐标,并求两个观测点A,B之间的距离;(2)某日经观测发现,在该平台O正南10kmC处,有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶,如果航向不变,该轮船是否会进入安全预警区?如果不进入,请说明理由;如果进入,则它在安全警示区内会行驶多长时间?【答案】(1);(2)会驶入安全预警区,行驶时长为半小时【解析】【分析】(1)先求出A,B的坐标,再由距离公式得出A,B之间的距离;(2)由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程,设轮船航线所在的直线为,再由几何法得出直线与圆截得的弦长,进而得出安全警示区内行驶时长. 【小问1详解】由题意得,∴;【小问2详解】设圆的方程为,因为该圆经过三点,∴,得到.所以该圆的方程为:,化成标准方程为:.设轮船航线所在的直线为,则直线的方程为:,圆心(6,8)到直线的距离,所以直线与圆相交,即轮船会驶入安全预警区.直线与圆截得的弦长为,行驶时长小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.21.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛,每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率;(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可;(2)两人分别猜两次,总共四次中有一次没猜对,分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件, .【小问2详解】设事A=“甲第一轮猜对”,B=“乙第一轮猜对”,C=“甲第二轮猜对”,D=“乙第二轮猜对”,E=““九章队”猜对三个数学名词”,所以,则,由事件的独立性与互斥性,得,故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为.22.如图,等腰梯形中,,现以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:面面;(2)若为上的一点,点到面的距离为,求的值及平面和平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见详解;(2),【解析】【分析】(1)先证,利用线线垂直证线面垂直,由线面垂直的性质可判定面面垂直;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量计算点面距离及二面角即可.【小问1详解】 如图所示,在梯形中,取中点,连接,易知四边形为平行四边形,可得,即,又,平面,所以平面,因为平面,所以面面;【小问2详解】取的中点,则,因为,所以,结合(1)结论,可以以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,设,即,设面一个法向量为,则有,令,即,则点到面的距离为,即 ;易知平面的一个法向量可为,设平面和平面夹角为,易知,所以.
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高中 - 数学
发布时间:2023-12-29 21:45:07
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