四川省绵阳中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题（Word版附答案）

绵阳中学高2022级高二上期第二学月月考数学试题考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共8小题，总计40分）1．直线的一个方向向量是（）A．B．C．D．2．为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，3．今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得24000元奖金．比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理?（）A．甲12000元，乙12000元B．甲16000元，乙8000元C．甲20000元，乙4000元D．甲18000元，乙6000元4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．B．C．D．5．如图，空间四边形中，，，点在上，且，为的中点，则（） A．B．C．D．6．十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法不正确的是（）A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大7．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A．B．C．D．8．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为（）A．3B．6C．7D．8 二、多选题（每题5分，共4小题，总计20分）9．甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件C．事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙不全投得6点”是对立事件D：事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件10．直线l过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（）A．3B．0C．D．111．某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（）A．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；B．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为；C．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；D．若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为．12．如图，在长方体中，点是底面内的动点，、、、分别为、、、中点，若，，则下列说法正确的是（）A．最大值为1B．四棱锥的体积和表面积均不变C．若平面，则点轨迹的长为D．在棱上存在一点，使得面面第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共4小题，总计20分） 13．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为________．14．已知直线：，：互相垂直，则的值为________．15．在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且．则直线与平面所成的角为________．16．已知正三棱柱的所有棱长均为2，为线段上的动点，则到平面的最大距离为________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知直线过点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与两坐标轴上围成的三角形面积为，求直线的方程．18．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．19．如图，在四棱锥中，底面，，，，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．20．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式．“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为，，，，五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级 人数比例15%35%35%13%2%赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间频率组距内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如上：（1）根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分．21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面．，分别为线段，的中点．（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使平面平面，请说明理由．22．（12分）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，．图1图2 （1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．绵阳中学高2022级高二上期第二学月月考数学试题参考答案一、单选题1．B2．C3．D4．B5．C6．C7．D8．A二、多选题9．BC10．ABD11．AC12．ACD三、填空题13．514．0或215．16．四、解答题17．【小问1详解】设直线的方程为过点，的方程：；5分【小问2详解】设直线的方程为，横截距为，纵截距为，，或，8分方程为或10分 18．【详解】甲校的男教师用、表示，女教师用表示，乙校的男教师用表示，女教师用、表示，（1）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，有（），（），（），（），（），（），（），（），（），共9种；其中性别相同的有（）（）（）（）四种；4分则选出的2名教师性别相同的概率为；6分（2）若从报名的6名教师中任选2名，有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）共15种；其中选出的教师来自同一个学校的有6种；8分则选出的2名教师来自同一学校的概率为．12分19．【小问1详解】因为底面，，底面，所以，，且，，所以，以为坐标原点，分别以，，为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，1分则，，，，则，，所以故异面直线与所成角的余弦值为．6分【小问2详解】，设平面的法向量为； 则即令，得．易知是平面的一个法向量，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为12分20．【小问1详解】由，可得，此次化学考试成绩的平均值为分4分【小问2详解】由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为5%，位于区间的占比为20%，因为成绩等级占比为15%，所以等级的原始分区间的最低分位于区间，估计等级的原始分区间的最低分为，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩等级的原始分区间为．8分【小问3详解】由，解得，该学生的等级分为91分12分21．【小问1详解】连接交于点，连接，因为四边形是菱形，所以点为的中点．又因为为的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面5分． 【小问2详解】在棱上存在点，为的中点时，平面平面．证明：连接因为为正三角形，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面．所以平面，又平面，所以，因为是菱形，，为的中点，所以是正三角形，，因为，所以，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以．因为，分别为，的中点，所以，所以，因为是菱形，，所以是正三角形．又因为为的中点，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面12分【小问2详解】法二：建立空间直角坐标系求解22．【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以．（1分）因为，所以，所以．（2分）又，，所以平面．（3分）（2）因为，，，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，，，，，，则，，，．（4分）设平面的法向量，则有，即，令，得，，所以是平面的一个法向量．（6分）因为，（7分）所以直线与平面所成角的正弦值为．（8分）（3）假设存在，使二面角的正弦值为，即使二面角的余弦值为．由（2）得，，所以，，．易得平面的一个法向量为．（9分）设平面的法向量， 则有，即，令，则是平面的一个法向量．（10分）若二面角的余弦值为，则有即，（11分）解得，．又因为，所以．故存在，使二面角的正弦值为（12分）