四川省宜宾市第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

宜宾四中2023年秋期高一第三学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意得，故，故选：A2.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用根式函数和对数函数的定义域求解.【详解】解：因为函数，所以，即，解得，故选：B3.函数的零点所在的区间为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式判断上的符号、上单调性，再结合零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】由解析式知：在上恒成立，在上单调递减，且，，综上，零点所在的区间为.故选：B4.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数，有，解得且，所以，函数的定义域为，因为，函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，排除B选项.故选：A.5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、指数函数单调性并结合“媒介”数即可比较判断作答.【详解】函数在上单调递增，而，则，，函数在R上单调递减，，则，即，所以a，b，c的大小关系为.故选：C.6.已知函数是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性结合得出，再结合解析式得出答案.【详解】由函数是定义域为的奇函数，且，，而，则故选：A7.20世纪30年代，查尔斯· 里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），则里氏7.5级地震的最大振幅余里氏4级地震的最大振幅的比值约为（参考数据：）（）A.790B.1580C.3160D.6320【答案】C【解析】【分析】根据题意给的公式列出关于对数的方程组，利用指数幂和对数的运算性质计算即可.【详解】设里氏7.5级地震的最大振幅和里氏4级地震的最大振幅分别为、，由题意得，得故.故选：C8.已知函数,若存在实数,,满足,其中,则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】因为且,由图像可知在二次函数图像上且,数形结合求出的取值范围,即可求得的取值范围.【详解】画出图像,如图 且,由图像可知在二次函数图像上且由图可知,,即的取值范围是:.故选:D.【点睛】本题主要考查分段函数图像与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结合思想的应用,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（多选题）下列计算正确的是（）A.B.C.D.已知，则【答案】BC【解析】【分析】根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.【详解】A.，故错误； B.，故正确；C.，故正确；D.因为，所以，则，故错误；故选：BC10.若，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】结合函数的单调性、特殊值确定正确选项.【详解】若，但，A错误.若，但，D错误.由于和在上递增，所以，所以BC选项正确.故选：BC11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.，为奇函数B.，为偶函数C.，的值为常数D.，有最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A、B，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C；对于D，将函数解析式变形为，分和两种情况讨论，即可判断. 【详解】解：因为，，对于A：若为奇函数，则，即，即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A错误；对于B：若为偶函数，则，即，即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B正确；对于C：当，时为常数函数，故C正确；对于D：的定义域为，，所以，当，即时变形为，当时方程有解，当、时方程在上恒成立，当，即时，方程在上有解，所以，即，因为，当、时变形为，解得，当或时，可以求得的两个值，不妨设为和，则，所以解得， 所以当时，，有最小值，故D正确；故选：BCD12.已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（）A.B.C.3D.1【答案】ABC【解析】【分析】由，，得，即需小于等于的最小值即可得.【详解】由，，则，即恒成立，又，当且仅当时，等号成立，故，即，即，解得或.故选：ABC.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则______．【答案】1【解析】【分析】由分段函数定义行计算出和，然后可得结论．【详解】由题意，， 所以．故答案为：1．14.某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.【答案】12【解析】【分析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，列方程求解即可.【详解】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，则.故答案为：12.15.若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用集合的包含关系解不等式即可.【详解】因为“”是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集，故，故答案为：16.已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是______．【答案】2【解析】【分析】根据题意把函数的零点问题即的解，转化为函数和的图像交点问题，由题可得关于对称，由，可得的周期为4，根据函数图像，即可得解.【详解】由可得关于对称， 由函数是定义在R上的奇函数，所以，所以周期为4，把函数的零点问题即的解，即函数和的图像交点问题，根据的性质可得函数图像，结合的图像，由图像可得共有2个交点，故共有2个零点，故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求值：（1），（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数的运算法则即可求得答案；（2）根据对数的运算法则即可求得答案.【小问1详解】原式=.【小问2详解】 原式=.18.已知集合，且.（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）解不等式组得解；（2）由题得或，解不等式得解.【详解】解：（1）由题知得，所以，解得．所以实数的取值范围为．（2）∵命题“”为真命题，则∴或，解得或．又∵所以实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查集合的关系，考查充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19.已知：.（1）若为真命题，求实数取值范围；（2）已知：，如果都是假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）为真命题，则，解得答案.（2）当为真命题，在时恒成立，得到，再根据假命题得到答案.【小问1详解】若为真命题，则，解得或，实数的取值范围为.【小问2详解】若为真命题，则在时恒成立，又在上单调递增，则，，故，即.都是假命题，故，实数的取值范围为.20.已知函数是定义域为R的奇函数．（1）求函数的解析式；（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由f（0）=0,求得a,根据又，求得b，可得解析式.（2）根据在上单调递增，将原不等式等价变形为在有解，分参得，设,可得的最小值，得到结果.【详解】(1)因为函数是定义域为R的奇函数，可知f（0）=0,a=-1,又，则=-，=-，b=1， （2）=1-，所以在上单调递增；由可得在有解分参得，设,，所以,则的最小值为．【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了指数函数式的运算及最值问题，属于中档题.21.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的一些数据如下表所示.为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，且.（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少【答案】（1），（2）【解析】【分析】根据题意可知，代入数据列得关于的方程组，解方程组即可，故可得解析式.设这辆汽车在该测试路段的总耗油量为单位：，行驶时间为单位：，由题意得，根据二次函数的性质求出最值.【小问1详解】 由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上单调递增.函数在上单调递减，所以不符合题意函数在上单调递减，所以不符合题意；函数，且中的，即定义域不可能为，也不符合题意所以选择函数模型.由已知数据得解得所以.【小问2详解】设这辆车在该测试路段的总耗油量为，行驶时间为.由题意得:，因为，所以当时，有最小值.所以这辆车在该测试路段上以的速度行驶才能使总耗油量最少，最少为.22.若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数具有性质．（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；（2）若函数的定义域为且且具有性质，求的值；（3）已知，函数的定义域为且具有性质，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）具有性质，理由见解析（2）15（3）【解析】【分析】（1）取，即可得到，再根据的性质即可判断；（2）首先将函数配成顶点式，即可判断函数的单调性，依题意可得，从而得到，再根据、的取值情况得到方程组，解得即可；（3）根据复合函数的单调性可得在上单调递增，即可得到，从而求出的值，依题意可得对任意的恒成立，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.【小问1详解】解：对于函数的定义域内任意的，取，则，结合的图象可知对内任意的，是唯一存在的，所以函数具有性质.【小问2详解】解：因为，且，所以在上是增函数，又函数具有性质，所以，即，因为，所以且，又，所以，解得，所以．【小问3详解】解：因为，所以，且在定义域上单调递增，又因，在上单调递增，所以在上单调递增，又因为具有性质，从而，即，所以， 解得或（舍去），因为存在实数，使得对任意的，不等式都成立，所以，因为在上单调递增，所以即对任意的恒成立．所以或，解得或，综上可得实数的取值范围是．