江西省2023-2024学年高一上学期12月第二次模拟选科联考数学试题（Word版附解析）

江西省2023－2024学年高一年级上学期第二次模拟选科联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，2.若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.63.某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（）A90B.120C.140D.1504.某班级共有52位同学，现随机抽取8位同学参加学校组织的“校园读书节”活动，老师将班级同学进行编号：01，02，03，……，52，若从随机数表的第3行第27列开始，依次往右读数，直到取足样本为止，则第6位被抽到的同学对应的编号为（）9533952200187472001838795869328176802692828084253990846079802436598738820753893556352379180598900735 464062988054972056951574800832164670508067721642792031890343384682687232148299708060471897634930213071597305500822237177910193204982965926946639679860A.16B.42C.50D.805.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.6.已知函数，则的图象大致为（）A.B.C.D.7.已知，，，则（）A.B.C.D.8.已知函数，若函数有3个零点，则满足条件的a的个数为（）A.0B.1C.2D.3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，，则（）A.B.C.ÜD.Ü10.下列函数在上单调递增的为（）A.B. C.D.11.已知正数m，n满足，则（）A.，B.，．C.，D.，12.已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（）A.B.C.D.的图象关于原点对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是___________14.若幂函数在上单调递减，则________．15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则________．16.记函数的零点为，则________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，________．在①的最小值为－1；②函数存在唯一零点，这2个条件中选择1个条件填写在横线上，并完成下列问题．（1）求实数a的值；（2）求函数在上值域．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知集合，. （1）若，求（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.19.某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm．（1）求a，λ的值；（2）当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值．20.已知函数，且偶函数．（1）求实数的值；（2）若，，求实数λ的取值范围．21.已知函数．（1）求在上最大值；（2）已知，若，且在上的最大值为4，求的值．22.已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若，讨论函数的零点个数． 江西省2023－2024学年高一年级上学期第二次模拟选科联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】按命题的否定的概念判断.【详解】将“”改为“”，将“”改为“”.故选：A2.若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】利用集合运算求解阴影部分即可. 【详解】，故图中阴影部分表示的集合为，共5个元素.故选：C3.某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（）A.90B.120C.140D.150【答案】D【解析】【分析】解法一，由分层抽样列出方程，代入计算，即可得到结果；解法二：由抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，列出式子，代入计算，即可得到结果.【详解】解法一：设该地区老年艺术团的总人数为x，由分层抽样知识可知，，解得，故选：D．解法二：抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，故所求总人数为，故选：D．4.某班级共有52位同学，现随机抽取8位同学参加学校组织的“校园读书节”活动，老师将班级同学进行编号：01，02，03，……，52，若从随机数表的第3行第27列开始，依次往右读数，直到取足样本为止，则第6位被抽到的同学对应的编号为（）9533952200187472001838795869328176802692828084253990846079802436598738820753893556352379180598900735464062988054972056951574800832164670508067721642792031890343384682687232148299708060471897634930213071597305500822237177910193204982965926946639679860A.16B.42C.50D.80【答案】B【解析】【分析】利用随机数表法即可得解. 【详解】由随机数法，抽取的同学对应的编号为08，32，16，46，50，42，…，故第6位同学编号为42.故选：B．5.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】依题意，，因为，在上均单调递增，故在上单调递增，而，，故存在唯一的零点，且该零点所在区间为，故选：B．6.已知函数，则的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为，故C错误； 又因为，故函数的图象关于对称，故B错误；当趋近时，趋近，趋近，所以趋近正无穷，故D错误.故选：A.7.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小.【详解】依题意，，，，故.故选：C8.已知函数，若函数有3个零点，则满足条件的a的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】通过对a的值讨论，把函数的零点转化为方程的根，结合换元法以及函数的图象，利用数形结合分析函数的零点个数，判断a的范围，求解即可.【详解】当时，，此时无解，不合题意；当时，设，则与的大致图象如图1所示，则对应的两根为，，且，此时与无解，即方程无解，不合题意；当时，设，则与的大致图象如图2所示， 则对应的两根为，，且，若恰有3个零点，则和与图象共有3个不同的交点．①当时，与的图象有2个不同交点，如图3所示，所以与的图象有且仅有1个交点，则，即，解得；②当时，与的图象有2个不同交点，所以与的图象有且仅有1个交点，则与矛盾，不合题意；③当时，与的图象有2个不同交点，如图4所示，所以与的图象有且仅有1个交点，则，即，解得.故满足条件的a有2个.故选：C【点睛】关键点点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，，则（）A.B.C.ÜD.Ü【答案】BC【解析】【分析】解法一：由判断A；由判断B；由判断CD．解法二：依题意列举中的元素，观察可得答案.【详解】解法一：易知，故A错误；易知，则B正确；，故Ü，故C正确，D错误，故选：BC．解法二：依题意，，，观察可知AD错误，BC正确，故选：BC.10.下列函数在上单调递增的为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用常见函数的单调性可判断ABC，求出可判断D.【详解】为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，故A错误；在上单调递增，故B正确；在上单调递减，在上单调递增，故C正确；对于D，因，， 所以，故D错误，故选：BC．11.已知正数m，n满足，则（）A.，B.，．C.，D.，【答案】ABD【解析】【分析】根据基本不等式结合解不等式判断AB；变形，利用基本不等式求出，即可判断CD.【详解】，则，解得，当且仅当时等号成立，故A正确；，故，故，当且仅当时等号成立，故B正确；显然，则，故，当且仅当时等号成立，则，故C错误，D正确，故选：ABD．12.已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（）A.B.C.D.的图象关于原点对称【答案】ABC【解析】【分析】由为偶函数，故的图象关于对称，即可判断A；由条件可得 ①，令可判断B；由题意可得②，联立①②可得，可判断C；由为图象的一条对称轴，可得的对称轴，可判断D.【详解】因为为偶函数，得，故的图象关于对称，故，故A正确；由得，，代入中，得①，令，得，故B正确；因为为偶函数，故，故由得，，则，故②，联立①②，可得，故为图象的一条对称轴，故C正确；而，故的图象关于y轴对称，故D错误，故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是___________【答案】（-1，1）【解析】【分析】解不等式即得函数的定义域.【详解】由题得，所以.所以函数的定义域为（-1，1）.故答案为：（-1，1）【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.若幂函数在上单调递减，则________．【答案】【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及单调性列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，解得.故答案为：15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则________．【答案】【解析】【分析】通过已知条件确定取整函数的取值法则，即，；利用对数运算法则计算，进而确定的值.【详解】，因为为增函数，所以，，故．故答案为：16.记函数的零点为，则________．【答案】－2【解析】【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，可得，再由对数的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】依题意，，则，故； 令，因与在R上单调递增，则函数在R上单调递增，则，故，，则，故．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，________．在①的最小值为－1；②函数存在唯一零点，这2个条件中选择1个条件填写在横线上，并完成下列问题．（1）求实数a的值；（2）求函数在上的值域．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①：根据二次函数的最小值求得a的值；选②：根据求得a的值.（2）利用的单调性求值域.【小问1详解】选①：因为，所以的最小值为，解得选②：存在唯一零点，则，解得．【小问2详解】由（1）可知，， 因为，在上均单调递增，故在上单调递增，而，，故在上的值域为．18.已知集合，.（1）若，求（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式求解集合A，然后补集和交集运算求解即可.（2）把必要不充分条件化为集合B是集合A的真子集，根据集合关系列不等式求解即可.【小问1详解】依题意，，当时，，故或，则.【小问2详解】由“”是“”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，由，故，则，故，综上所述，实数m的取值范围为19. 某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm．（1）求a，λ的值；（2）当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值．【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）将两组条件分别代入解析式，得到方程组，求解即得；（2）依题，使（1）中求出的解析式小于，解不等式即得.【小问1详解】依题意可得，由可得：，即，故，代入①，，故.【小问2详解】令，即得，因是减函数，则，解得，故t的最小值为20.20.已知函数，且为偶函数．（1）求实数的值；（2）若，，求实数λ的取值范围．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）函数是偶函数，所以，化简即可求解实数的值；（2）由的解析式可得单调性，求得最大值，即可得到答案.【小问1详解】依题意，是偶函数，则，故，则，则或，解得．【小问2详解】由（1）可知，，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；故，故，即实数λ的取值范围为．21.已知函数．（1）求在上的最大值；（2）已知，若，且在上的最大值为4，求的值．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）通过转换，转换成二次函数在给定区间上的值域问题；（2）结合函数的图象，明确，的大小关系，分析函数在给定区间上的单调性，利用已知函数的最大值求的值.【小问1详解】依题意，当时，，∵，当且仅当即时取“”，故，则在上的最大值为.【小问2详解】依题意：则且，则因为，在上单调递减，在上单调递增，故，故解得，，则.22.已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若，讨论函数的零点个数．【答案】（1）在和上单调递增，在和上单调递减（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，令，再由二次函数的单调性，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，然后分，以及讨论，再结合二次函数的性质，结合零点的定义，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】依题意，令，则原式化为，易知在上单调递增，在上单调递减，而在上单调递减，在上单调递增，令，则或故在和上单调递增，在和上单调递减．【小问2详解】依题意，①当时，，此时有且只有一个零点；②当时，因为抛物线开口向上，且对称轴为，所以在区间上单调递增；而抛物线开口向上，且对称轴为，所以在区间上单调递减；故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又因为，所以有两个零点；③当时，因为抛物线开口向下，且对称轴为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；而抛物线开口向下，且对称轴为，所以区间上单调递增，在区间上单调递减；故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为．，所以有两个零点；综上所述，当时，有1个零点；当且时，有2个零点．