湖南省名校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

机密★启用前2023年下学期高一12月联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则实数（）A.0B.C.0或D.0或1【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合的关系得出两种情况，再分别检验即得.【详解】由集合，因，则或，当时，，此时，与元素互异性矛盾，舍去；当时，，当时，满足．故．故选：B．2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由，得或， 因此“若，则”是假命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D3.下列四个函数中，在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用一次函数和幂函数等基本初等函数性质可判断BD，利用指数型和对数型复合函数单调性可判断AC，可得出结论.【详解】由复合函数单调性可知，在上单调递减，故A错误；易知在上单调递增，故B正确；利用复合函数单调性可得在上单调递减，在上单调递增，故C错误；易知在上单调递减，故D错误.故选：B.4.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得，又由对数函数的性质，可得，所以，即．故选：D．5.近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪. 这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（）（，）A.40m/sB.36m/sC.78m/sD.95m/s【答案】A【解析】【分析】根据题中条件确定kg，kg，m/s，按公式直接运算即可.【详解】解：由于，其中kg，kg，m/s，所以（m/s）.故选：A.6.已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（）A.B.C.D.不能确定【答案】B【解析】【分析】由题意，易知在上都单调递增，进而可判断函数的单调性，结合零点的存在性定理即可求解.【详解】易知函数在上都单调递增，所以在上单调递增，又，所以，又因为函数连续不间断，由零点的存在性定理知，函数在内有零点，即方程在必有实数根．故选：B．7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式 的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可.【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则，因此，解得．故选：A．8.设偶函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，转化为对任意的恒成立，令，列出不等式组，即可求解.【详解】因为偶函数在上是增函数，且，所以的最大值为2，由对所有的及任意的都满足，则只需，即对任意的恒成立，令，则满足，解得或，所以实数的取值范围是．故选：C． 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.B.第一象限角都是锐角C.在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为D.终边在直线上的角的集合是【答案】AC【解析】【分析】由弧度制与角度的互化可得A正确；根据象限角的定义可得B错误；由弧长公式可求得C正确；利用终边相同的角的集合即可得D错误.【详解】对于正确；对于：角也是第一象限角，不是锐角，错误；对于C：在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为正确；对于D：终边在上的角的集合是，D错误.故选：AC.10.在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义域为，而的定义域为 ，所以两函数不是同一函数；对于B中，函数的定义域为，而的定义域为，所以两函数不表示同一函数；对于C中，的定义域为，而的定义域为，所以两函数不是同一函数；对于D中，函数，两函数的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一函数．故选：ABC．11.已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（）A.B.C.1.5D.2.3【答案】ABC【解析】【分析】画出图象，不等式化为，分、和，三种情况讨论，结合图象，即可求得的取值范围.【详解】由函数，画出图象，如图所示，又由不等式，可得，当时，，此时不等式无解；当时，由，可得，若不等式恰有1个整数解，则整数解为，因为，可得；当时，由，可得，若不等式恰有1个整数解，只需．综上所述：实数的取值范围为． 故选：ABC．12.下列结论中正确的是（）A.若函数，且，则B.若为奇函数，则的解集为C.设表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集是D.若函数的定义域为，则的取值范围是或【答案】AD【解析】【分析】求得，根据，可判定A正确；因为函数的单调性不确定，可判定B错误；求得不等式的解集为，得到，可判定C错误；根据题意，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．【详解】对于A中，由，可得，又由，解得，所以A正确；对于B中，由为奇函数，但函数的单调性不确定，所以B错误；对于C中，由，可得，则，所以不等式解集为，所以C错误；对于D中，由定义域为，则满足，解得或，所以D正确．故选：AD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数的定义域是__________．【答案】，【解析】【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】解：函数中，令，解得，所以的定义域是，．故答案为：，．14.若，则的最大值为________．【答案】##【解析】【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，所以，又，当且仅当时等号成立，故，所以最大值为．故答案为：.15.若定义运算则函数的值域是________．【答案】【解析】【分析】根据定义运算，写出分段函数解析式，再分段求出函数值的范围，最后取并集即得.【详解】依题意，由，得，由解得，因此 当时，即函数取值集合为；当时，即函数的取值集合为.故函数的值域为．故答案为：.16.已知在区间上是增函数，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先将分式函数用常数分离法转化成简分式，再根据函数的单调性即可求得参数范围.【详解】由，因为在区间上是增函数，所以，解得．故答案：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.求值：（1）；（2）．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解.【小问1详解】解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：.【小问2详解】 解：由对数的运算法则和运算性质，可得：.18.已知为锐角，且满足.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二次方程解得，由齐次式化弦为切代入可得；（2）利用“”的变换，将式子变形为齐二次弦式再化弦为切求解即得.【小问1详解】由，有，解得或，又由为锐角，可得，故有，则有；【小问2详解】由，有.19.已知函数．（1）求函数的值域；（2）已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点． 【答案】（1）（2）0，4【解析】【分析】（1）根据幂函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减，且，即可求解函数的值域；（2）由题意可得，解出m，进而得函数解析式，令，解方程即可求解.【小问1详解】易知幂函数在上单调递增，在上单调递减，将函数图象向右平移3个长度单位可得的图象，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以，即函数的值域为；【小问2详解】，因为函数的一个零点为2，所以，解得．所以，令，得或，解得．所以函数的其余零点为0，4．20.已知幂函数在上单调递减．（1）求的解析式；（2）若，，求a的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；(2)根据题意分离变量得到在恒成立，利用函数的单调性即可求解.【小问1详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得，所以解析式为．【小问2详解】由，可得，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1．所以a的取值范围为．21.已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．（1）若两根同号，求实数的取值范围；（2）求使得的值为整数的整数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得；（2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解.【小问1详解】 由题意得即，所以实数的取值范围为；【小问2详解】由（1）知，当时，方程有两个实数根，可知，于是，由，则，则，即要使的值为正整数，且为整数，则，则有，化简得，则，令，此时为整数，则满足题意．故使得的值为整数的整数的值为.22.已知函数，．（1）若函数在内有唯一零点，求a的取值范围．（2）设函数的最大值、最小值分别为M，m，记．设，函数，当，时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由方程在内只有一个实数解，可求a的取值范围；（2）由定义求，再由恒成立，求的取值范围．【小问1详解】依题意可得方程在内只有一个实数解，即在内只有一个实数解，所以，所以a的取值范围为．【小问2详解】因为，所以当时，，则．因为，所以在上为减函数，所以在上的最大值为，最小值为，所以当时，，由，得，即，解得，故的取值范围为．