江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年第一学期高一年级12月学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则的子集个数为（）A.3B.4C.7D.82.函数为定义在上的偶函数，则实数等于（）A.B.1C.0D.无法确定3.设，，，则（）A.B.C.D.4.设，，则=（）A.B.C.D.5.函数的大致图象为（）A.B.C.D.6.若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.7.已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（） A16B.10C.8D.48.已知函数，且满足：对任意都有，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的有（）A.“，”的否定为“，”.B.“且”是“”的充分不必要条件.C.“”是“”的必要不充分条件.D.“”的充要条件是“”.10.已知函数图象经过点，则下列结论正确的有（）A.在上为增函数B.为偶函数C.若，则D.若，则11.下列说法正确的是（）A.最小值是2B.的最大值是C.的最小值是2D.的最大值是12.函数，则（）A.对任意实数，都有的图象关于原点对称.B.存在实数，使得的图象关于轴对称. C.对任意实数，关于方程有3个实数根.D.若任意实数，当，总有，则.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为_______.14.已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是_______.15已知函数，则_______.16.关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值：（1）（2）.18.已知幂函数的图象不过原点.（1）求函数解析式；（2）若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式.19.已知函数是奇函数.（1）求的定义域及实数的值；（2）用单调性定义判定的单调性.20.某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电费（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）.已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记 为该加工厂安装这种太阳能供电设备的工本费与该加工厂25年额外消耗的电费之和.（1）求出、的解析式；（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？21.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为0，求实数的值.22.我们知道，函数图象关于原点中心对称的充要条件是为奇函数.该命题可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数.已知函数（为自然对数的底数，约为2.718）（1）求函数函数值为0的的值；（2）探求函数图象的对称中心；（3）写出的单调区间（无需过程），求不等式的解集. 2023-2024学年第一学期高一年级12月学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则的子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】D【解析】【分析】由交集的运算及子集的概念计算即可.【详解】由题意可知，有三个元素，故其子集的个数为个.故选：D2.函数为定义在上的偶函数，则实数等于（）A.B.1C.0D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称即可得解.【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以，解得.故选：C.3.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性确定出与的大小关系，由此可得结果.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，，，所以，故选：A.4.设，，则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.【详解】故选：B5.函数的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先分析的奇偶性，然后根据时的正负判断出正确图象.【详解】因为，所以，所以定义域为且关于原点对称，又因为，所以为奇函数，故排除CD，又因为时，，，所以时，故排除A， 故选：B.6.若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】确定，，根据值域得到参数范围.【详解】，，，函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为.故选：A.7.已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（）A.16B.10C.8D.4【答案】C【解析】【分析】先由对数函数过定点，得出，再结合基本不等式得出结果.【详解】因为曲线（且）过定点，所以，，则，所以，当且仅当，即时取等号，故选：C8.已知函数，且满足：对任意都有，则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式判断函数的单调性，结合二次函数的单调性进行求解即可.【详解】不妨设由，设，，因为当时，有，即，所以函数在时单调递增，的对称轴为，所以有，故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的有（）A.“，”的否定为“，”.B.“且”是“”的充分不必要条件.C.“”是“”的必要不充分条件.D.“”的充要条件是“”.【答案】BC【解析】【分析】利用特称命题的否定形式可判定A，利用充分、必要条件的定义可判定B、C、D.【详解】对于A项，“，”的否定为“，”，故A错误；对于B项，由“且”可推出“”成立，满足充分性，而“”不能推出“且”不满足必要性，故B正确；对于C项，由“”不能得到“”，因为是否为零不确定，即不满足充分性，而由“”可得“”且“”，满足必要性，故C正确；对于D项，由“”可得，但不能推出“”，因为是否为零不确定，故D错误.故选：BC 10.已知函数图象经过点，则下列结论正确的有（）A.在上为增函数B.为偶函数C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据先求解出的值，由此可判断A；根据定义域可判断奇偶性即可判断B；根据单调性分析的大小关系可判断C；根据对数运算结合对数函数单调性可判断D.【详解】因为，所以，所以，对于A：因为，所以在上为增函数，故正确；对于B：定义域为且不关于原点对称，所以不为偶函数，故错误；对于C：因为在上为增函数，所以时，故正确；对于D：因为，又时，，所以，所以，故正确；故选：ACD.11.下列说法正确的是（）A.的最小值是2B.的最大值是C.的最小值是2D.的最大值是【答案】BD【解析】 【分析】A：考虑的情况；B：利用换元法求解出最大值；C：考虑取等条件是否成立；D：利用基本不等式求解出的最小值，则原式最大值可求.【详解】对于A：当时，，当且仅当时取等号，故错误；对于B：，令，原式等价于，又因为，当且仅当时取等号，所以，所以最大值为，故正确；对于C：因为，当且仅当时取等号，此时无解，所以等号不成立，故C错误；对于D：当时，，当且仅当即时取等号，所以最大值为，故正确；故选：BD.12.函数，则（）A.对任意实数，都有的图象关于原点对称.B.存在实数，使得的图象关于轴对称.C.对任意实数，关于的方程有3个实数根.D.若任意实数，当，总有，则.【答案】ACD【解析】【分析】确定得到A正确，B错误，画出函数图像，根据图像确定C正确，考虑，，三种情况，结合图像得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，函数定义域为，是奇函数，正确；对选项B：函数为奇函数且不恒为零，故不存在实数，使得的图象关于轴对称，错误；对选项C：，，即，，画出函数图像，如图所示：，根据图像知有3个交点，正确；对选项D：当，总有，故函数为单调函数，，当时，根据图像1知不满足条件；当时，，满足条件；当时，根据图像2知满足条件；综上所述：，正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为_______.【答案】【解析】 【分析】由已知不等式解集确定参数，再求出不等式的解集即可.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个根，由韦达定理可知，所以代入不等式可得，解得的取值范围为，故答案为：14.已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】利用指数函数的性质与图象计算即可.【详解】由已知可知：在R上单调递增，故若要符合题意需：.故答案为：15.已知函数，则_______.【答案】6【解析】【分析】先根据题意求出的值，然后再求的值即可.【详解】由，得，所以.故答案为：. 16.关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】利用分类讨论，分离参数计算即可.【详解】由题意可知，显然当时，原不等式恒成立，此时，当，原式等价于，易得，令对于函数，易知，故.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值：（1）（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由指数函数的运算得出结果；（2）由对数函数的运算得出结果.【小问1详解】原式【小问2详解】原式 18.已知幂函数的图象不过原点.（1）求函数解析式；（2）若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）由已知得出，求解得出的值.结合图象不过原点，即可得出答案；（2）代入得出时，的解析式.然后根据偶函数的性质，得出的解析式.【小问1详解】由题意，解得：或，故或.又幂函数的图象不过原点，故.【小问2详解】当时，.，则，.又因为是偶函数，所以.综上，.19.已知函数是奇函数.（1）求的定义域及实数的值； （2）用单调性定义判定的单调性.【答案】（1）定义域为，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据分母不等于零即可求出函数的定义域，根据函数为奇函数可得，进而可求出；（2）利用作差法判断即可.小问1详解】由，得，所以的定义域为，因为是奇函数，则，即，即，所以，则，所以；【小问2详解】，，，由，得，，，则，即，所以在上单调递减，同理在上单调递减.20.某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电费（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为 （为常数）.已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该加工厂安装这种太阳能供电设备的工本费与该加工厂25年额外消耗的电费之和.（1）求出、的解析式；（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1），（2）当为150平方米时，取得最小值，最小值是30万元.【解析】【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后可知，再根据表示出；（2）分类讨论的最小值：当时，根据一次函数的单调性求解出最小值，当时，利用基本不等式求解出最小值，最后的最小值以及的值可确定.【小问1详解】根据时，，当，，所以，解得.所以，因为，所以； 【小问2详解】当，单调递减，所以，当，.当且仅当即时等号成立，故，综上所述，，此时，故当为平方米时，取得最小值，最小值万元.21.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为0，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将问题转化为关于的不等式，然后通过换元法令以及一元二次不等式的解法求解出解集；（2）先化简函数，然后通过换元法令将函数转变为关于的二次函数，通过对称轴结合单调性求解出的值.【小问1详解】，令，则，得，即，所以，所以原不等式的解集为.【小问2详解】 ，设，，且均上单调递增，所以是的增函数，所以，则，所以，，对称轴，若，即，函数在上单调递增，此时当时，；若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，此时当时，，则.综上所述，.22.我们知道，函数图象关于原点中心对称的充要条件是为奇函数.该命题可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数.已知函数（为自然对数的底数，约为2.718）（1）求函数的函数值为0的的值；（2）探求函数图象的对称中心；（3）写出的单调区间（无需过程），求不等式的解集.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可；（2）根据题中性质，结合对数的运算性质进行求解即可；（3）根据函数单调性的性质，结合对数的单调性、指数函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】 令，得，所以；【小问2详解】设的对称中心为，则是奇函数，即，即，①由上式恒成立可知是常数，所以，则代入①中，得，所以，的对称中心为；【小问3详解】，该函数的定义域为，反比例函数的单调递增区间为，，所以的增区间为，.由（2）可知，即，因为，，在递增，即，解得，原不等式的解集【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中函数性质、明确复合型函数的单调性的性质.