湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附答案）

雅礼集团2023—2024学年第二学期12月联考高一年级数学试卷注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意答题要求；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；本试卷共6道大题，16道小题，满分150分，时量120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与角终边相同的角可以表示为（）A．，B．，C．，D．，2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”．1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解B．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解D．存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解3．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．4．已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D． 5．已知函数，则的图象是（）A．B．C．D．6．若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（）A．B．C．D．7．中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据，）（）A．B．C．D．8．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知角的终边与单位圆交于点，则（） A．B．C．D．10．给出下列四个结论，其中正确的是（）A．B．（，）过定点C．圆心角为，弧长为的扇形面积为D．“”是“”的充分不必要条件11．下列说法不正确的是（）A．若，，，则的最大值为8B．若，则函数的最大值为C．函数的最小值为D．若，，，则的最小值为212．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．现已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数为奇函数B．若方程有实根，则C．当时，在上单调递增D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为4044三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若幂函数在上单调递减，则实数__________．14．设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，则方程的根落在开区间__________内． 15．已知，，则__________．16．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）（1）计算；（2）计算．18．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．19．（本小题满分12分）已知关于的不等式的解集为．（1）求，的值；（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．20．（本小题满分12分）设函数是定义域为的偶函数．（1）求实数的值；（2）若，且在上的最小值为2，求实数的值．21．（本小题满分12分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳． （1）试求的函数关系式；（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数（且）．（1）求的定义域；（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．雅礼集团2023—2024学年第二学期12月联考高一年级数学答案一、选择题二、多择题：序号123456789101112答案CBADCBADACBCDACABD7．【答案】A【解析】由题意可得方程组：，化简可得：，所以，大约需要放置能达到最佳饮用口感．故选：A．8．【答案】D【详解】由，得，解得或，作出的图象如图， 则若，则或，设，由得，此时或，当时，，有两根，当时，，有一个根，则必须有有5个根，设，由得，若，由，得或有一个根，有两个根，共3个根，不满足题意；若，由，得，有一个根，不满足条件．若，由，得，有一个根，不满足条件；若，由，得或或，当有一个根，当时，有3个根，当时，有一个根，此时共有5个根，满足题意．所以实数的取值范围为．故选：A．10．【答案】BCD【解析】对于B，（，）恒过点，B正确；对于C，圆心角为，弧长为，则半径，扇形面积为，C正确；对于D，，解得：，所以，但不一定得到，所以“”是“”的充分不必要条件，D正确；圆心角为，弧长为的扇形面积为．11．【答案】AC【解析】对于选项A，，，，则，当且仅当，即时 取等号，即的最小值为4，即A错误；对于选项B，当，则函数，当且仅当即时取等号，即B正确；对于选项C，函数，当且仅当，即时取等号，即C错误，对于选项D，若，，，则，即，即（舍）或，则的最小值为2，即D正确；故选：AC．12．【答案】ABD【详解】对于A．，由解析式可知是奇函数，故A正确；对于B．令，分离参数后，，故，B正确；对于C．特殊值法，，即，若，则在上不是单调递增，故C错误．对于D．由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2022个交点关于对称，故，D正确．故选：ABD．三、填空题：13．314．15．【分析】先化简，再利用同角的平方关系求解． 【详解】由题得，，，，，，所以．故答案为：．16．【详解】试题分析：先画出函数，的图象，方程有四个不同的解，，，，且，由时，，则与的中点横坐标为，即：，当时，由于在上是减函数，在上是增函数，又因为，，则，有，又，在上递增，故取值范围是．四、解答题17．【答案】（1）0；（2）218．【详解】（1）由，所以，即，解得； （2）由得：①，所以，则，所以，则，而，，所以②，由①②联立可得，，故，所以．19．【详解】（1）解：因为不等式的解集为，所以1和是方程的两个实数根且，所以，解得．（2）由（1）知，于是有，故，当且仅当时，等号成立，依题意有，即，得，所以的取值范围为．20．【详解】（1）解：因为是定义域为的偶函数，所以，，即．（2）解：，令，因为函数、均为上的增函数， 故函数在上为增函数，由，故，所以，，函数图象的对称轴为，①当时，，解得（舍去）；②当时，函数在上为增函数，则，解得，合乎题意．综上所述，．21．【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为，且曲线过点，设二次函数为，则，解得，则可得，．又当时，曲线是函数（且）图象的一部分，且曲线过点，则，即，解得，则，．则．（2）由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳，当时，令，解得：．当时，令，解得：．综上可得，．故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．22．【详解】（1）由，得或．的定义域为； （2）令，因函数在上单调递减，则在上为增函数，又，在上为减函数；函数在有且只有一个零点，即在上有且只有一个解，函数在上的值域为，的范围是．（3）假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，由且，可得．又由（2）知在上为增函数，在上为减函数．则在上为减函数，得．即在上有两个互异实根，因，即，有两个大于3的相异零点．则．