浙江省温州市 2023-2024学年高一上学期数学竞赛试题（Word版附解析）

2023年苍南中学高一数学家摇篮竞赛满分：120分考试时间：90分钟一､单选题1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么，函数解析式为，值域为的同族函数共有（）个.A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】【详解】.选C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，不等式可化为，即，解得，即不等式的解集为，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3.设.则的最大值为（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】 【详解】令，于是，.上式等号在，即，亦即时成立.所以，的最大值为.故答案为D4.已知是定义在上的偶函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意判断出在上单调递增，再由函数在上为偶函数，得到，将代入解题即可.【详解】因为对任意的满足，所以在上单调递增，又是定义在上的偶函数，且，所以，所以，解得或.故选：C 5.已知函数的值域与函数的定义域相同，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】因为函数的定义域为R，所以的值域是R，当时，，故当时，的值域为，所以，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B.6.已知函数满足：（1）对任意、，，都有；（2）对任意，都有.则的值是.A.17B.21C.25D.29【答案】D【解析】【详解】对任意的，由（1）得，即.故在上为单调增函数.对任意，由（2）得.显然否则，.矛盾.若，则，矛盾. 所以，.故，.由，得，.则，.故.故答案为D二､多选题7.已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（   ）A.的对称轴为直线B.的对称轴为直线C.D.不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB；根据和函数的单调性即可判断C；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D.【详解】A：因为为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数的对称轴为直线，故A错误；B：由选项A可知，B正确；C：因为函数的对称轴为直线，所以，又函数在上单调递增，所以，则，故C错误；D：因为函数的对称轴为直线，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，且，由，得，即，解得，故D正确.故选：BD. 8.下列说法正确的有（   ）A.已知，则的最小值为B.若正数x、y满足，则的最小值为9C.若正数x、y满足，则的最小值为3D.设x、y为实数，若，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式求最值逐项判断即可.【详解】对于A，因为，所以当时，，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，，，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，所以函数的值域为，故A错误；对于B，若正数x、y满足，可得，当且仅当时等号成立，令，则，即，解得，即，所以的最小值为9，故B正确；对于C，若正数x、y满足，则， 则当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3，故C正确；对于D，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故D正确.故选：BCD.9.德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（）A.对任意实数，B.既不是奇函数又不是偶函数C.对于任意的实数，，D.若，则不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断.【详解】若是有理数，则；若是无理数，则，故A正确；若是有理数，则也是有理数，此时；若是无理数，则也是无理数，此时；即为偶函数，故B错误；若是无理数，取，则是无理数，此时，，即 ，故C错误；若是有理数，则的解集为；若是有理数，，显然不成立，故D错误．故选：BCD．10.已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若恒成立，则实数的取值可能是（）A.-1B.C.D.1【答案】AC【解析】【分析】等价于恒成立，当时，函数的解析式进行去绝对值，所以讨论和的情况，再根据函数是奇函数，得到时的解析式或图像，结合图像得到的取值范围.【详解】因为等价于恒成立.当时，.若，则当时，.因为是奇函数，所以当时，，则，则.综上，，此时为增函数，则恒成立.若，当时，；当时，；当时，.即当时，函数最小值为，由于函数是定义在上的奇函数，当时，函数的最大值为，作出函数的图像如图： 故函数的图像不能在函数的图像的上方，结合图像可得，即，求得.综上，.故选：AC.【点睛】（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义，能够根据函数解析式和性质画出函数图像；（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究.三､填空题11.已知不等式的解集为，则不等式的解集为______【答案】【解析】【分析】根据韦达定理求出，代入解二次不等式即可.【详解】由不等式的解集为，则，则，则，即为，解得：.故答案为：12.正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围__________.【答案】【解析】【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可. 【详解】因为且，是正数，所以，当且仅当，即时等号成立，因为不等式恒成立，所以，解得.故答案为：.13.若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数，当时，．那么当时，______；求函数在上的“倒值区间”为______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据函数是奇函数求出时，，再由二次函数的单调性及“倒值区间”的定义，列出方程求解即可.【详解】设，则，，由为奇函数，可得，故当，，对称轴方程为，所以时，，设是在上的“倒值区间”，则值域为，所以，即， 所以在上单调递减，，即，解得，所以函数在上的“倒值区间”为.故答案为：；14.设，对函数，其中表示不超过的最大整数，其值域是_______.【答案】【解析】【分析】【详解】由于的表达式中，与对称.且，不妨设.（1）当时，，有.（2）当时，设，则，故.易证函数在上递增，故，则故的值域为. 设，则又，当时，，易知单调递减，故.因为，所以.综上所述，值域为.故答案为：.四､解答题15.已知函数为幂函数，且在上单调递增.（1）求的值，并写出的解析式；（2）解关于的不等式，其中.【答案】（1）3，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；（2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.【小问1详解】因为为幂函数，且在上单调递增，则，解得，所以；【小问2详解】不等式0，即 当，，即不等式解集为，当，或，即不等式解集为，当，或，即不等式解集为.所以，当，不等式解集为，当，不等式解集为，当，不等式解集为.16.中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2）至少应达到10.2万件，每件定价30元.【解析】【分析】（1）设每件定价t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【小问1详解】设每件定价为t元，依题意得，则，解得，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元【小问2详解】 依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，因为（当且仅当时等号成立），所以，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．17.已知函数，定义域为．（1）写出函数的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数在上的单调性；（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）解不等式．【答案】（1）在定义域为偶函数；在区间上单调递减，证明见解析.（2）（3）【解析】【分析】（1）由偶函数和单调性的定义可得；（2）先根据函数的单调性求最小值，根据恒成立即可得；（3）根据函数的定义域，单调性，偶函数，结合列出不等式组即可.【小问1详解】在定义域为因，所以为偶函数；.在区间上单调递减，证明如下设， 则因，所以，，，所以，所以在区间上单调递减.【小问2详解】由（1）可知在区间上单调递减，所以，当时，取得最小值，又，都有恒成立，所以只需成立，即，故实数的取值范围为.【小问3详解】由（1）知，在定义域为偶函数且在区间上单调递减，故由得，即，解得，所以实数的取值范围为18.设函数（a≠0）满足，，，求当时最大值．【答案】【解析】 【详解】解：由题意知，解得，从而当时，．.因为时，从而．易知当时当时得．最后取，则．故该函数满足题设条件且在上能取到最大值．因此的最大值为．