陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题（文）（Word版附答案）

2023~2024学年高三第四次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量数列、不等式（约40%）、立体几何、直线与圆（约60%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若方程表示圆，则的取值范围为（）A.B.C.D.2.已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A.1B.2C.3D.43.已知直线，.则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘微的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底而边长为2，下底而边长为4，商为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A.B.C.D.5.设圆和圆交于A，B两点，则四边形的面积为（）A.1B.C.6D. 6.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，且与所成的角和与所成的角相等，则7.若函数是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（）A.B.C.D.8.如图，正方形是圆柱的轴截面，点在底面圆周上，且是的中点.则直线与所成角的大小为（）A.B.C.D.9.在三棱锥中，点E，F，G，H分别在，，，上，且，则下列说法中正确的是（）A.直线与一定平行B.直线与一定相交C.直线与可能异面D.直线与一定共面10.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.11.若曲线与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知是边长为1的等边三角形，若且，则的最小值为（） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，若的子集个数为2个，则的值为__________.14.已知直线，则点到直线的距离的最大值为__________.15.在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是__________.16.如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，，D是棱的中点，是棱上的一点，且.（1）求证：平面；（2）求证：.18.（本小题满分2分）已知圆过点，，.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于两点M，N，且，求直线的方程.19.（本小题满分12分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的周长.20.（本小题满分12分）如图1，已知是等边三角形，点M，N分别在，上，，，是线段的中点.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.图1图2（1）求证：（2）若，求点到平面的距离.21.（本小题满分12分）已知数列满足，且（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若对任意的恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.文科数学四参考答案、提示及评分细则1.A【解析】方程表示圆，则， 解得，即的取值范围为.故选A.2.B【解析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，所以，所以，所以，解得，所以该圆锥的底面直径为.故选B.3.A【解析】当时，直线的斜率为，的斜率为，又，所以，充分性成立；直线，，若，则有，解得或，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.4.B【解析】由祖暅原理，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，故.故选B.5.C【解析】因为圆和圆交于A，B两点，所以直线的方程为，所以到直线的距离，所以，又，所以.故选C.6.C【解析】若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；若，，则可能在内，故B错误；若，，，则，故C正确； 若，且与所成的角和与所成的角相等，则与异面或相交，故D错误.故选C.7.D【解析】由函数是定义在上的奇函数，为偶函数，可得，，即，所以，可得，则4是的周期，当时，，则.故选D.8.C【解析】连接，取中点为M，中点为，记中点为，连接，，，，则且，且，则为直线与所成的角或所成角的补角.设，所以，因为点在底面圆周上，且是的中点，则为等腰直角三角形，所以.因为，正方形是圆柱的轴截面，所以底面，又底面，所以，所以，又，，设直线与所成的角为，所以，所以，即直线与所成角的大小为.故选C.9.D【解析】由于，所以E，F，G，H四点确定一个平面，因此直线与一定共面，故D正确，C错误； 只有当且时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确；只有当但时，此时四边形为梯形，此时，相交于点O，故B不正确.故选D.10.D【解析】因为，，所以，因为，又，所以，所以，所以.故选D.11.C【解析】因为，所以，所以曲线的图象为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过，由图当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得；当直线过点时，直线的斜率，则直线与半圆有两个不同的交 点时，的取值范围为.故选C.12.B【解析】因为是边长为1的等边三角形，所以，，所以，又，，所以，即.令，，解得，，所以，所以，此时.故选B.13.2或6【解析】因为的子集个数为2个，所以中只有1个元素.当时，，符合题意；当时，，解得，此时，符合题意.综上，的值为2或6.14.【解析】直线，即，由解得，，所以直线恒过定点， 所以，所以点到直线的距离的最大值为.15.【解析】设，由，得，整理得，即，即点的轨迹为圆，圆心为，半径为2.因为圆上存在点满足，所以，解得，即的取值范围是.16.【解析】如图，作，交于，则，过作交于点，连接.易得平面，则是二面角的平面角，所以，所以，又，，所以，所以，.可把三棱锥补成棱长为，，的长方体，则三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的体积为.17.证明：（1）连接交于点，连接，如图所示.在三棱柱中，， 所以，，所以，所以，又是棱的中点，，所以，又是棱上的一点，且，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在中，，是棱的中点，所以.在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.18.解：（1）设圆的方程为，所以解得，，，所以圆的方程为，即.（2）由（1）可得：圆心，半径，则圆心到直线的距离.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以，解得，所以直线的方程为.综上，直线的方程为或.19.解：（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，又，所以.（2）由，又，所以，所以，公众号《全元高考》由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，即的周长为.20.（1）证明：因为是等边三角形，且，在中，可得，又点是线段的中点，所以.因为平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：由是等边三角形，，可得的高为， 取的中点，连接，，，，如图所示.因为，，可得，，所以的面积为，又平面，且，公众号《全元高考》所以三棱锥的体积为.因为平面，平面，所以.在中，，，，所以，所以的面积为.设点到平面的距离为，因为，可得，解得.又由，且平面，平面，所以平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等，所以点到平面的距离为.21.（1）证明：因为，，所以，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，所以，所以当，时，. 当，时，.当，时，.综上，22.（1）解：由题意知，公众号：全元高考当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，解得，即的取值范围是.（2）证明：记，所以，令，，所以，所以即在上单调递增.又，所以，，所以，使得，即，所以，，所以当，，单调递减；当，，单调递增， 所以，由（1）知，，故，所以.又，所以，故，即，原不等式得证.