内蒙古赤峰二中2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试题（文）（Word版附解析）

第三次月考文科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先运用一元二次不等式的解法，求得集合M，再运用集合间的包含关系，集合的交集、并集运算可得选项.【详解】因为，解不等式得，且，所以，，.故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集、并集运算，集合的包含关系，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于基础题.2.已知复数：满足（其中i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出，再求共轭复数，根据复数的几何意义可得答案.【详解】由复数z满足，可得，可得，所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.故选：D.3.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数 为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.B.C.8D.【答案】B【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，又极差为，所以最小数字为，所以这组数据、、、、，所以平均数为.故选：B4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果. 【详解】该几何体是棱长分别为的长方体中的三棱锥：，其中：，该几何体的表面积为：.故选：B．5.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.【详解】函数的定义域为，因为，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以排除A， 当时，，所以排除C，当时，，因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，故选：D6.已知函数，设，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小.【详解】依题意，得的定义域为，函数为偶函数，且在上为增函数，而，因，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，故选：A.7.在等比数列中，，，则（）A.B.C.D.11【答案】A【解析】【分析】设，倒序相加再由等比数列的性质求解. 【详解】设，则，所以.故选：A8.若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）A.B.或C.D.或【答案】A【解析】【分析】不等式恒成立，只要即可，根据基本不等式中“1”的整体代换求出的最小值，再结合一元二次不等式的解法即可得解.【详解】由题意知，，当且仅当，即时取等， 又不等式恒成立，则不等式，解得，所以实数m的取值范围为.故选：A.9.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可【详解】不妨设，定义域为：对求导可得：令解得：（其中舍去）当时，，则此时该点到直线的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：解得：故选：A10.已知数列的首项为，是边所在直线上一点，且，则数列的通项公式为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三点共线可得递推关系式，构造出等比数列，由等比数列通项公式可推导求得结果.【详解】由得：，三点共线，，即，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则.故选：A.11.已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式和得到，联立直线和抛物线方程，根据韦达定理得到，然后根据三角形面积得到.可得答案.【详解】由题可得抛物线方程为，所以，如图所示，则，解得， 联立方程，消去y得：．可知，解得，所以．故选：C．12.中，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简得到，从而得到，得到，，利用正弦定理得到，从而得到的取值范围.【详解】，在中，，故或，当时，，故，不合要求，舍去，所以，，因为，所以，即， 因为，所以，由正弦定理得，故因为，所以，故，因为，所以，故，因为，所以，，，故.故选：B【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由已知且、不共线，结合向量的坐标运算可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由已知且、不共线，则，解得且.所以，实数的取值范围是.故答案为：.14.函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则________．【答案】【解析】【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据偶函数即可求解,进而可求解.【详解】，由于是偶函数，所以,故，所以，故答案：15.若为偶函数，则实数________.【答案】1【解析】【分析】求出函数的定义域，再利用偶函数的定义求解即得.【详解】函数的定义域为，由函数是偶函数，得，恒成立， 即，整理得，于是对恒成立，显然，解得，所以.故答案为：116.三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，面，,则三棱锥外接球的表面积是_____________.【答案】【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球∵是边长为的正三角形∴的外接圆半径，设球的半径为，因为面，,所以，∴外接球的表面积为，故答案为点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题17.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作．为做好全省的迎检工作，成都市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从健康指数在的两组中利用分层抽样抽出7人进行电话回访，并再随机抽出2人赠送奖品，求从7人中抽出的2人来自不同组的概率.【答案】（1）平均数为60，方差为86（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求各组频率，结合平均数、方差公式运算求解；（2）根据分层抽样求分层人数，利用列举法结合古典概型运算求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知分组的频率依次为：，所以平均数，方差，所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86.【小问2详解】由（1）可知健康指数在的两组的频率之比为，所以抽取的7人中，有人，记为；有人，记为.随机试验的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个基本事件，其中来自不同组的结果有：，，，，，，，，，，，，共12 个基本事件，所以所求概率为.18.如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明线面平行，再由面面平行判定定理得证；（2）利用三棱锥中等体积法求高即可.【小问1详解】在中，因为E，F分别是BC，AC的中点，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理平面，又因为，平面，所以平面平面. 【小问2详解】如图所示，连接.利用勾股定理计算得，所以的面积为.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为.又易知平面，所以三棱锥的体积为.所以，解得，即点到平面的距离为.19已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据递推关系作差即可求解，（2）根据错位相减法即可求和.【小问1详解】当时，．当时，，即，当时，上式也成立，所以．当时，也符合，所以．【小问2详解】由（1）知．，，则，所以．20.已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．（1）求C的离心率；（2）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件求出椭圆方程再求离心率；（2）设，，，将直线MN的方程与椭圆方程联立得，，代入斜 率公式验证成立即可.【小问1详解】由得C的半焦距为，所以，又C过点，所以，解得，所以，．故C的离心率为．【小问2详解】由（1）可知C的方程为．设，，．由题意可得直线MN的方程为，联立，消去y可得，则，，则 ，又，因此．21.已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若存在使不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数的结果将分类，根据导数正负得到单调性；（2）由不等式，将反解，存在，使，所以，求出，即可求出的取值范围.【小问1详解】由已知得.若，则当时，恒成立，所以，故单调递增.由可得，若，则当时，恒成立，所以，故单调递增.若，令，可得，其中，当或时，单调递增， 当时，单调递减.综上：若，则在上单调递增；若，则在和上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】由不等式，得，则.设函数，因为存在，使，所以.求导得，令，解得舍去，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，且，所以，所以，即实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题（1）关键在于的分类，（2）关键在于分清与哪个更大，以求出的取值范围.22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：（，），已知直线l与曲线C相交于M，N两点.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）记线段的中点为P，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）参数方程消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再由得曲线的极坐标方程；（2）利用三角函数的恒等变换和极径求出结果．【小问1详解】∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的直角坐标方程为，化为一般式得：，设，∴，∴曲线的极坐标方程为：.小问2详解】联立和，得， 易得，设、，则，由，得，当时，取最大值，所以实数的取值范围为.23.已知任意，都有.（1）求实数的取值范围；（2）若（1）问中的最大值为，正数满足，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由分段函数的单调性求出的最小值，即可求出实数的取值范围；（2）由基本不等式即可证明.【小问1详解】由题意记，所以在上单调递减，在上单调递增.因此的最小值，由题可知，所以实数的取值范围是【小问2详解】由（1）知，且均为正数，所以，由基本不等式，，，