内蒙古赤峰市实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

赤峰实验中学高二年级第一次月考数学试卷2023.10一、单选题（共8小题）1.空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式求解即可.详解】点，由中点坐标公式得中得为：，即.故选A.2.如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在平行六面体中根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示,即可求得答案.【详解】连接 可得:又故选:D.【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.3.已知，，，则的夹角是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积的夹角坐标公式计算即可.【详解】因为，，，所以，， 所以，又，所以，即的夹角是.故选：C.4.在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，利用向量的距离公式，即可求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则，即，解得，故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通 常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.若直线经过、两点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算出的取值范围，结合角的取值范围可求得结果.【详解】由题意可得，又因为，故.故选：C.6.过点且与直线平行的直线方程是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设所求直线方程为，代入点，即可求得本题答案.【详解】因为所求直线方程与直线平行，所以可设为，又因为经过点，代入可得，则所求直线方程为.故选：C【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.7.已知直线:，直线:，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线的垂直，即可求出tanα=2，再根据二倍角公式即可求出． 【详解】因为l1⊥l2，所以，所以tanα=2，所以.故选：B．【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题.8.已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC，.则下列命题中正确的有（）①平面平面PAE；②；③直线CD与PF所成角的余弦值为；④直线PD与平面ABC所成的角为45°；⑤平面PAE.A.①④B.①③④C.②③⑤D.①②④⑤【答案】B【解析】【分析】①要判断面面垂直，需先判断是否有线面垂直，根据线线，线面的垂直关系判断；②由条件可知若，可推出平面，则，判断是否有矛盾；③异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即根据，转化为求；④根据线面角的定义直接求解；⑤若平面，则，由正六边形的性质判断是否有矛盾.【详解】∵平面ABC，∴，在正六边形ABCDEF中，，，∴平面PAE，且面PAB，∴平面平面PAE，故①成立；由条件可知若，平面，则，，可推出平面，则，这与不垂直矛盾，故②不成立； ∵，直线CD与PF所成角为，在中，，∴，∴③成立.在中，，∴，故④成立.若平面，平面平面则，这与不平行矛盾，故⑤不成立.所以正确的是①③④故选：B【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，重点考查推理证明，空间想象能力，属于基础题型.二、多选题（共4小题）9.已知空间中三点、、，则下列结论不正确的有（）A.与是共线向量B.的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是【答案】ABC【解析】【分析】利用共线向量的坐标关系可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用法向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，，因为，则、不共线，A错；对于B选项，的单位向量为，B错； 对于C选项，，，所以，与夹角的余弦值是，C错；对于D选项，设为平面的法向量，则，取，则，，所以，平面的一个法向量为，D对.故选：D.10.下列说法正确的是（）A.直线与两坐标轴围成三角形的面积是2B.直线的倾斜角为C.过，两点的直线方程为D.直线在轴上截距是【答案】ABD【解析】【分析】A确定直线在坐标轴上截距，再求面积即可判断；B由斜率确定倾斜角大小即可；C根据两点式使用前提判断；D令即可得轴上截距.【详解】A：由直线方程知：其在x、y轴截距分别为，故该直线与坐标轴所围成三角形面积为2，对；B：由直线斜率为1，即倾斜角正切值为1，根据倾斜角范围为，则倾斜角大小为，对；C：仅当时，直线才能表示为，错；D：令，则，故在轴上截距是，对.故选：ABD11.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是 B.若直线，则C.直线过定点D.过与直线平行的直线方程是【答案】CD【解析】【分析】对选项A，根据，即可判定A错误，对选项B，根据斜率相乘不等于-1，即可判定B错误，对选项C，变形直线方程得到，即可判定C正确，对选项D，设所求直线方程，再代入点，即可判断D正确.【详解】对选项A，直线，，，故A错误；对选项B，直线，，，故B错误；对选项C，直线，，恒过，故C正确.对选项D，设直线平行的直线方程是，把代入得：，解得，所以所求直线方程，故D正确.故选：CD12.在棱长为的正方体中中，点在线段上运动，则下列命题正确的是（）A.异面直线和所成的角为定值B.直线和平面平行C.三棱锥的体积为定值 D.直线和平面所成的角为定值【答案】ABC【解析】【分析】由线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质可知A正确；根据，结合线面平行的判定可得B正确；结合平行关系，可由体积桥得到，由此可得C正确；根据线面角的定义可确定所求角，根据正切值不为定值可知D错误.【详解】对于A，四边形为正方形，；平面，平面，，又平面，，平面，平面，，异面直线和所成角为定值，A正确；对于B，，平面，平面，平面，又平面，平面即为平面，平面，B正确；对于C，由B知：平面，，平面平面，平面，平面，，，即三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，设，由A知：平面，即为直线和平面所成的角， ，不是定值，不是定值，即直线和平面所成的角不是定值，D错误.故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于________【答案】【解析】【分析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，利用中点坐标公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.14.已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．【答案】－6【解析】【分析】分别根据斜率公式求出两条直线的斜率，再根据两直线平行，斜率相等即可求出a的值．【详解】直线l2经过点M（1，1）和点N（0，﹣2），∴==3，∵直线l1经过点A（0，﹣1）和点B（﹣，1），∴==﹣，∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2， ∴﹣=3，解得a=﹣6，故答案为﹣6．【点睛】本题考查了两直线平行的条件，斜率公式，属于基础题．15.将正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，当最大时，平面平面，建立空间直角坐标系，求得异面直线夹角.详解】根据题意可知，当最大时，平面平面，设的中点为，连接建立空间直角坐标系，如图所示，令，则，，因此所以异面直线与所成的角为 故答案为：【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16.如图所示，在直平行六面体中，，，点在上，且，则点到平面的距离为________.【答案】【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到平面的距离计算，即可得答案；【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，∴，.设平面的法向量为， 则，令，则，，∴.∴点到平面的距离.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法求点到面的距离，考查运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知，，，，，求：（1），，；（2）与所成角的余弦值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量平行公式与垂直公式求解即可；（2）根据空间向量夹角公式求解即可.【小问1详解】因为，故，解得，故，. 由可得，解得，故.【小问2详解】，，故与所成角的余弦值.18.如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；（2）求的长（3）求证：.【答案】（1）坐标系见解析，，（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，即可得到所求点的坐标.（2）根据空间向量坐标运算即可..（3）根据，即可证明结论.【小问1详解】以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 所以，【小问2详解】，，，.【小问3详解】，.，，，所以.19.已知中，点，，.（1）求直线的方程；（2）求边的高线所在的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式写出直线方程；（2）根据直线垂直的结论和点斜式方程即可得到答案.【小问1详解】由题意可知，直线的斜率，故直线的方程为即， 【小问2详解】边的高线的斜率，故直线边的高线的方程为，即.20.如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面；（2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面.（3）利用点到平面距离的空间向量求法即可.【小问1详解】∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，.∵为的中点，∴，则，，，∴，故，，共面.又平面，∴平面.【小问2详解】，，，∵，∴又，∴又，，平面，∴平面.【小问3详解】由（2）知为平面的法向量，则点到面的距离.21.（1）过点，且斜率为的直线的一般式方程方程；（2）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（3）经过点且与轴，轴正半轴分别交于点，，为坐标原点，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）或；（3）12【解析】【分析】（1）设直线方程为点斜式，化成一般式即可.（2）截距相等分两种情况讨论，截距相等且是0，设为,或者截距相等不是0，设为，代入求解即可. （3）设直线截距式方程，可得，由基本不等式可得，可得的面积最小值.【详解】（1）利用点斜式可得：直线的方程为：，化为：.（2）截距相等不是0时，可设直线方程为，直线的方程经过点，将点代入上式，得：，∴直线的方程为：.截距相等且是0时，设直线为，直线的方程经过点，将点代入上式，得，即.∴经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或；（3）设直线方程为，直线的方程经过点，代入，所以，又，所以，所以，当且仅当时，即，时，等号成立，所以.22.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是正方形，侧面是边长为的正三角形，且平面底面.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质证得平面，从而建立空间直角坐标系，再求得平面的一个法向量与，从而利用空间向量法即可得解；（2）结合（1）中条件，分别求出平面与平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解.【小问1详解】取的中点，连接，∵为正三角形，为的中点，则，，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．以点为坐标原点，、所在的直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，.因此直线与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】 由（1）得，，，设平面的法向量为，则，取，则，故，设平面的法向量为，则，取，则，故，设平面与平面夹角夹角为，则，所以，则，所以平面与平面夹角的正弦值.