内蒙古赤峰市第二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学（文）试题（Word版附解析）

赤峰二中2021级高三上学期第二次月考文科数学试题一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算．【详解】由题意，所以．故选：D．【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式，属于基础题．2.复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a的值为（）A.1B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简复数z，然后根据实部为0可解.【详解】，因为复数z对应点在虚轴上，所以，解得.故选：B3.已知角是第一象限角，，则（    ）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系及两角和余弦公式求解即可.【详解】因为角是第一象限角，，所以，所以.故选：B4.已知中，“”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果.【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得：，又，在上单调递减，，即，“”是“”成立的充分必要条件.故选：C.5.设是等比数列，且，，则（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6.若，且，那么是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论.【详解】因为，则，可得，由余弦定理可得，因为，所以，，因为，则，整理可得.所以，为等边三角形.故选：A.7.设,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，可得，从而可得，再根据，，可得，进而可求解.【详解】因为，所以，，即，又，，则， 所以.故选：C.8.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（）A.74mB.60mC.52mD.91m【答案】A【解析】【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.【详解】在中，，，，在中，，由，，在中，.故选：A9.已知定义在上的奇函数满足.当时，，则（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】 【分析】根据且为奇函数得到4是的一个周期，根据为奇函数得到，可求得的解析式，然后利用周期性和奇偶性即可求.【详解】因为，且为奇函数，所以，，即，所以4是的一个周期，因为为定义在R上的奇函数，所以，即，解得，则，，，所以.故选：B.10.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的有，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换规律求出，再利用三角函数图象的性质求解即可.【详解】∵，∴，由于，可知和分别为两个函数的最大值和最小值，不妨设,，则，，由于，可得，解得，故选：D.11.在四面体中，，平面平面，则该四面体外接球的表面积为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先找到底面三角形的外接圆圆心和半径，确定过该圆心与底面的垂线，在垂线上设球心，由勾股定理，求出半径，可得答案.【详解】，，，，为等边三角形，又平面平面，取中点，连接，则球心在上，如下图：则，有，解得，该四面体外接球的表面积为.故选：A.12.函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（）①②函数在上单调递减；③函数在上的值域为； ④曲线在处的切线斜率为．A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】首先根据函数图象求函数的解析式，根据，代入后，即可运算求值，即可判断①；结合三角函数的性质，整体代入，即可判断②③，利用函数导数的几何意义，即可判断④.【详解】由图可知，，且，则，周期，，，得，，则，，当时，，所以，对于①，令，得，，当时，，即函数在轴左侧离轴最近的对称轴为，由图可知，，即，且，即，所以，故①正确；对于②，当，，在区间不单调，所以在区间上不单调，故②错误； 对于③，当，，，则，所以函数在上的值域为，故③错误；对于④，因为，所以，，所以曲线在处的切线斜率为，故④正确.故选：C二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则___________．【答案】4【解析】【分析】求出点M的坐标，利用抛物线的焦半径公式可得关于p的方程，即可求得答案.【详解】把代入抛物线方程（），得，得，根据抛物线的定义有，解得，故答案为：414.已知，与是方程的两个根，则___________．【答案】【解析】【分析】根据与是方程的两个根，顶顶顶，且，再利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为，且与是方程的两个根，所以，且，所以，且， 所以，故答案为：15.已知中，若的面积为为的平分线与边的交点，则的长度是__________.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，结合三角形角平分线的性质、余弦定理进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以，由余弦定理可知：，因为是角平分线，所以，在三角形中，由余弦定理可知：，在三角形中，由余弦定理可知，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形角平分线的性质.16.已知直线与曲线相切，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义找出所满足的关系式，然后利用导数研究函数的最值求的最小值即可. 【详解】设切点为，则，解得：，所以.令,所以，令，解得，令,解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60分.17.已知函数.（1）求的最小正周期和的单调递减区间；（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．【解析】【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间； （2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为.由，可得，函数的对称中心为；解不等式，解得.因此，函数的单调递减区间为；（2）当时，，当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.记等差数列的前项和为，已知，且．（1）求和；（2）设，求数列前项和．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；（2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】设的公差为，因为，所以，又，所以，解得，所以，．【小问2详解】，所以．19.在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的值；（2）若，点D是AC边上靠近点C的三等分点，求BD的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先由正弦定理，边化角，再根据三角函数恒等变换，化简求角；（2）首先利用基底表示向量，再根据数量积的运算，结合条件，即可求解.【小问1详解】∵．∴由正弦定理，得．∴．∴． 又，∴．又∵，∴．又，∴．【小问2详解】由题意可知，,即，所以，，，且，所以，，由可知，，所以，则的取值范围是.20.已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据求椭圆方程和离心率；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形面积，并利用基本不等式求最值.【小问1详解】 由题设解得所以椭圆的方程为．的离心率为．【小问2详解】设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．由得．设，则，．由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等．所以四边形的面积为面积的倍．又，所以．所以．设，则．所以．当且仅当，即时，．所以四边形的面积最大时，． 21.函数的定义域为，并且在定义域内恰有两个极值点，.（1）求实数a的取值范围；（2）若恒成立，求出实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据两个极值点得到，解得答案.（2）题目转化为，令，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【小问1详解】，在上有两个极值点，则方程在上有两个不等根，所以，解得：，故【小问2详解】 ，且，若恒成立，即恒成立，则只需：，令，则，设，则，由得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以处取得最小值，所以，即，所以.【点睛】关键点睛：本题考查了根据极值点求参数，利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式转化为函数的单调性求最值是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（为参数）．（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）已知点，曲线和相交于A，B两点，求． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用消参即可求解普通方程；（2）结合条件写出直线过点的标准参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解即可.【小问1详解】由的参数方程得：，所以曲线的普通方程为：．【小问2详解】由已知得：曲线为过点的直线，其标准参数方程形式为：（t为参数），联立和的方程得：，即，，设与的两个交点A，B对应的参数分别为，，所以，，因为，由t的几何意义得：．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.【小问1详解】当时，，由可得，则；当时，，由可得显然成立，则；当时，，由可得，则；综上：不等式的解集为；小问2详解】，当且仅当即时取等，，则，又，，均正数，则，当且仅当，即时等号成立，则.