四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学模拟试题（二）（Word版附解析）

三台中学高2022级高二上期半期模拟试题（二）数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.从全市5万名高中生中随机抽取500名学生，以此来了解这5万名高中生的身高，在这一情境中，这5万名高中生的身高的全体是指（）A.个体B.总体C.样本D.样本量【答案】B【解析】【分析】根据总体的定义可得答案.【详解】这5万名高中生的身高的全体是指总体.故选：B.2.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】A【解析】【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：569,989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：A.3.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k＝（）A.4B.C.5D.【答案】D 【解析】【分析】根据两平面垂直得到两法向量垂直，进而得到方程，求出答案.【详解】∵，∴，∴，解得.故选：D4.国庆节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出甲、乙、丙中没有去北京旅游的概率，利用对立事件的概率求法求目标概率.【详解】甲、乙、丙中没有去北京旅游的概率为，所以这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为.故选：C5.若，则直线与平面的位置关系是（）A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内【答案】D【解析】【分析】利用向量的基本定理及线面平行的性质即可求解.【详解】因为，所以由平面向量基本定理知，三向量共面，所以直线与平面的位置关系是平行或在平面内.故选：D.6.一个样本的容量为,分成组,已知第一组、第三组的频数分别是、,第二、五组的频率都为,则该样本的中位数在 A.第二组B.第三组C.第四组D.第五组【答案】B【解析】【详解】试题分析：分别求出第一组与第二组的频数和与第四组与第五组的频数和，从而可确定该样本的中位数的位置．因为一个样本的容量为60，第二、五组的频率都为，所以第二、五组的频数分别为12、12，则第四组的频数为60﹣9﹣10﹣12﹣12=17，第一组与第二组的频数和为21，第四组与第五组的频数和为29，则该样本的中位数在第三组．考点：众数、中位数、平均数；频率分布表．7.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，知，由此能求出实数的取值范围．【详解】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且，，，即，解得，即．故选：D．【点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，，，设，求得，即可求解.【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，可得，，，因为点在线段上运动，设，且，所以，可得，又因为，所以，即.故选：A．二、多选题（本题共4小题，每小5分，共20分．全对5分，部分选对2分，有错选0分）9.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（） A.在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人B.图中的值为0.025C.估计全校学生成绩的中位数为86.7D.估计全校学生成绩的80%分位数为95【答案】ACD【解析】【分析】由频率分布直方图，根据频率之和为求得，根据频率、中位数、百分位数的求得正确答案.【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；由，得，故B错误；设中位数为，则，得，故C正确；低于90分频率为，设样本数据的80%分位数为，则，解得，故D正确.故选：ACD10.下列命题正确的是（）A.对立事件一定是互斥事件B.若为不可能事件，则C.若事件，，两两互斥，则D.事件，满足，则，是对立事件【答案】AB【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的关系可判断A；根据为不可能事件，可判定，互斥即可判断B；举反例可判断C，D.【详解】由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，A正确；由于为不可能事件，所以，互斥，则，即B正确；事件，，两两互斥，比如掷骰子试验中，事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件并不一定发生，所以不一定是必然事件，故C不正确；D中，设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件：“3次出现正面”， 则，，满足，但，不是对立事件，故D不正确．故选：AB11.有一组样本数据，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为．由这组数据得到新样本数据，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据数据的平均数、中位数、标准差、极差的概念，以及计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，所以，所以A正确；对于B中，由，根据中位数的定义，可得，所以B错误；对于C中，由，根据数据方差的定义，可得，可得，所以C错误；对于D中，由，根据数据极差的定义得，所以D正确．故选：AD.12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A.点到直线的距离是B. C.平面与平面的夹角余弦值为D.异面直线与所成角的正切值为【答案】BCD【解析】【分析】通过空间向量的基底运算可得B的正误，利用空间向量的坐标运算可得A、C、D的正误.【详解】依题意，所以选项B正确；如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，对于A：，，设，则点到直线CQ的距离，所以A错误；对于B：,；设平面的法向量的一个法向量为，则，令可得为，设平面的法向量为，则，则所以，即平面与平面的夹角余弦值为，所以C正确；对于D，因为，，所以，所以，所以异面直线与所成角的正切值为，所以D正确． 故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上．）13.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可．【详解】空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是故答案为：．14.某地有2000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是________．【答案】80【解析】【分析】结合简单随机抽样的概念即可得出结果.【详解】设样本容量为n，根据简单随机抽样，得＝0.04，解得n＝80．故答案为：8015.已知一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则________.【答案】0.8##【解析】 【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.【详解】由.故答案为：0.816.在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则__________【答案】2【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，求得点N的坐标，再利用面面垂直得到两平面的法向量互相垂直，进而求得的值，即可得到答案.【详解】在中，因为，故，故在四棱锥中，有，而，故平面，因平面，所以，而，故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系.在中，因为经过的重心，则有，故，在中，，则，设，则，故，又， 设平面的法向量为，则，取，则，故.设平面的法向量为，则，取，则，故，因为平面平面，故，所以，故，所以.故答案为：2四、解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17.2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图： （1）估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；（2）现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比亚迪新能源车的概率.【答案】（1）0.79；众数为20（2）【解析】【分析】（1）根据频率直方图中的数据即可统计求解，（2）列举所有基本事件个数，由古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】一辆中国新能源车的销售价格位于区间的概率中国新能源车的销售价格的众数为【小问2详解】记2辆比亚迪新能源车为，其余4辆车为，从6辆新能源车中随机抽取2辆情况有：，，共15种情况.其中至少有1辆比亚迪新能源车的情况有：，，共有9种情况.至少有1辆比亚迪新能源车的概率18.古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．样本分数段 频数51020a2510频率0.050.10.2b0.250.1（1）求频数分布表中a和b值，并求样本成绩的中位数和平均数；（2）已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．【答案】（1），，，（2）两组市民成绩的总平均数是，总方差是【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得，结合中位数、平均数的计算公式，即可求解；（2）根据分层抽样的分法，得到分数在和的人数，结合分层抽样的方差的计算方法，即可求解.【小问1详解】解：（1）由，解得，则，由，所以，由成绩在的频率为，所以中位数为，平均数为．【小问2详解】解：由表可知，分数在的市民人数为10人，成绩在的市民人数为20人，故，则，所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．19.已知空间三点（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据已知条件，求出，进而得出，根据四边形面积公式即可求解；（2）设出的坐标，利用向量垂直的充要条件及向量的摸的公式即可求解.【小问1详解】由，得，所以，即，又，所以向量为一组邻边的平行四边形的面积为.【小问2详解】设，则因为且，所以，即，即联立，解得解得或．所以或.20.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，且是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是 精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.（1）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（2）求徒弟加工该零件的精品多于师傅的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）分“加工两个都是精品”和“加工零件只有一个精品”两种情况，结合独立事件概率方法公式运算求解.【小问1详解】设徒弟加工一个零件是精品的事件为A，师傅加工一个零件是精品的事件为B，则，由题知，可得，且，所以，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为.【小问2详解】由题意可得：①当徒弟加工两个都是精品，而师傅加工的零件精品数小于2时，概率为；②当徒弟加工零件只有一个精品，而师傅加工的零件都不是精品时，概率为；由①②得所求概率为.21.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形平面，是棱上的一点，已知，若分别是的中点， （1）求点到平面的距离;（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据距离公式求解即可;（2）求出平面的法向量，再根据线面角的公式求解即可.【小问1详解】分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，  则，，，，，，，则，，，， 设平面的一个法向量为，则，即，取，所以点到平面的距离.【小问2详解】如图所示，则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，记直线与平面所成角为，则.22.如图，在平行六面体中，，，设，， （1）求直线与夹角的余弦值；（2）用向量法证明直线平面；【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，求得，结合夹角公式，即可求解；（2）根据题意，结合向量的数量积的运算，求得则，，得到，，利用线面垂直的判定定理，即可得证.【小问1详解】由题，，，，所以，所以，所以直线与夹角的余弦值为.【小问2详解】 由题图可知： ，，，则，，所以，，又因为平面，且，所以直线平面.