四川省眉山市仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

高2025届2023-2024学年度上期半期考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题1.直线的倾斜角是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率的公式结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由可得，所以该直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：B.2.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.3.若直线与直线平行，则（）A.B.C.或D.不存在【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线与直线平行，可得:，解得． 故选:B4.如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算，分析即得解详解】由题意，向量，故选：D5.一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可．【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错；对于选项B中，直线的直线的，∴B错；对于选项C中，直线的直线的∴C对；对于选项D中，直线的直线的∴D错．故选：C．6.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A.甲､乙两运动员各射击一次，事件“甲射中10环”，事件“乙射中9环”B.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”C.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件"第二次摸到白球”D.袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”【答案】D【解析】【分析】根据事件的特点结合独立事件的定义对选项一一验证即可.【详解】对于选项A：甲、乙两运动员各射击一次，甲的成绩与乙的成绩互不影响，故事件与事件为相互独立事件；对于选项B：从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，甲的选择与乙的选择互不影响，故事件与事件为相互独立事件；对于选项C：依次有放回地摸两球，则第一次的结果与第二次的结果互不影响，故事件与事件为相互独立事件； 对于选项D：依次不放回地摸两球，则第一次的结果会影响第二次的结果，故事件与事件不为相互独立事件；故选：D.7.在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题可求在方向上的投影数量，进而点到直线的距离为，即求.【详解】∵，，，∴，∴，∴在方向上的投影数量为，∴点到直线的距离为.故选：C.8.已知实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可.【详解】由，即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小， 如图所示，设直线与轴分别交于点，则，由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形，设关于直线的对称点为，连接，则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以，故，当且仅当重合时取得最小值.故选：B二､多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，两两共面，则，，共面C.若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底D.对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得【答案】AC【解析】【分析】直接利用共线向量和共面向量，向量的基底等基础知识和相关的定义判断四个命题的结论．【详解】，，都是非零向量，当且时，一定有，故A正确；若，，两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则，，不一定共面，故B错误；若，，是空间的一组基底，则，，不共面，也可以是空间的一组基底，故C正确；对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得，需要不共面，故D错误. 故选：AC．10.下列说法正确的是（）A.过，两点的直线方程为B.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是16C.点关于直线的对称点为D.直线必过定点【答案】CD【解析】【分析】选项A，根据两点式直线方程的使用条件判断即可；选项B求出直线与两坐标轴交点，再用三角形面积公式求解即可；选项C，设点关于直线的对称点为，列方程组求解即可；选项D，将直线可转化为即可进行判断.【详解】对于选项A，当或时，不存在选项中的两点式直线方程，故A错误；对于选项B，直线与两坐标轴的交点为，所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故B错误；对于选项C，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点关于直线的对称点为，故C正确；对于选项D，直线可化为，故直线恒过点，故D正确.故选：CD11.在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（）A.与是互斥事件，也是对立事件B.是必然事件C.D.【答案】ABC【解析】 【分析】根据事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解.【详解】由事件，，不一定两两互斥，所以,，且，所以不一定是必然事件，无法判断与是不是互斥或对立事件，所以A、B、C中说法错误.故选：ABC.12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A.B.向量与的夹角是60°C.AC1⊥DBD.BD1与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.【详解】对于A选项，由题意可知，则，∴，所以选项A正确；对于B选项，， 所以，，则，∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；对于C选项，，又因为，所以，∴，所以选项C正确；对于D选项，设与所成角的平面角为，因为，，所以，，，∴，所以选项D不正确.故选：AC.第Ⅱ卷（选择题共90分）二、填空题（每题5分，共计20分）13.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是 __________个．【答案】15【解析】【分析】求出摸到白球频率，从而得到白色球的可能个数.【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，∴摸到白球的频率为，故口袋中白色球的个数可能是个．故答案为：1514.平面的法向量为，平面β的法向量为，若，则m=_________.【答案】【解析】【分析】等价于，由数量积坐标运算求解.【详解】因为，所以，即，所以.故答案为：15.已知点，，直线与线段相交，则的范围为___________.【答案】，，【解析】【分析】先求出的斜率和的斜率，可得的范围.【详解】解：直线，即，它经过定点，斜率为， 的斜率为，的斜率为，直线与线段相交，或，求得或，故答案为：，，.16.若非零实数对满足关系式，则__________．【答案】或【解析】【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由，可得，可以看成点到直线的距离，可以看成点到直线的距离，因为，所以. 因为，，所以当点，在直线同侧时，直线与直线平行，当点，在直线异侧时，，关于直线对称，因为直线的斜率，直线的斜率为，所以或，所以或.故答案为：或.三、解答题（6个大题，共计70分）17.已知的三个顶点是．（1）试判定的形状；（2）求边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）等腰直角三角形（2）【解析】【分析】（1）由顶点坐标，得和，由得出；再根据两点之间距离公式求出和，得出，即可证明；（2）由点的坐标求出边中点的坐标，再求出，即可写出直线的点斜式方程．【小问1详解】由题可知，，因为，所以，所以是直角三角形， 又因为，所以，所以是等腰三角形综上可知，是等腰直角三角形．【小问2详解】的中点坐标为，又，所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即，所以边上的中线所在直线的方程为：．18.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．（1）恰有两名同学拿对了书包；（2）至少有两名同学拿对了书包；（3）书包都拿错了．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知：（1）恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，概率，（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为，（3）书包都拿错了包含9个样本点，概率为【小问1详解】设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24种情况．恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为，，，，，，故其概率为．【小问2详解】至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为，，，，，，，故其概率为．【小问3详解】书包都拿错了包含9个样本点，分别为，，，，，，，，，故其概率为．19.已知直线l过点.（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由题知直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，进而写出直线的方程并求解直线在坐标轴上截距，再结合题意求解即可； （2）由题知，进而根据题意得，再根据基本不等式求解即可得答案.【详解】解：（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为，所以直线在坐标轴上截距分别为，，所以，整理得，解得或所以直线l方程为或.（2）由（1）知，因为，所以面积为，当且仅当，即时等号成立，所以面积最小值20.如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=．（1）求证：A1E∥平面PBC．（2）当k=时，求点O到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量共面证明线面平行即可； （2）根据（1）中所求，求得平面的法向量，利用向量法求点面距离即可.小问1详解】因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，显然两两垂直，则以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则得A1、E、由上得、、．设=x·+y·得，解得x=，y=1，∴，∵BC∩PB=B，A1E平面PBC，面，∴A1E∥平面PBC．【小问2详解】当k=时，得P，得=，．设平面PBC的法向量为=，则由，得故平面的一个法向量为=，设点O到平面PBC的距离为d，又=，∴d=．故点O到平面PBC的距离为. 21.与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【小问1详解】记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，，所以，，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．【小问2详解】有3个家庭回答正确的概率为，有2个家庭回答正确的概率为，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．22.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为棱的中点，四棱锥的体积为. （1）若为棱的中点，是的中点，求直线与平面所成的角的大小；（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，点在靠近点的三等分点处【解析】【分析】（1）取的中点，连接，易得，根据棱锥的体积求得，根据平面平面，可得平面，则有，以点为原点建立空间直角坐标系，再利用向量法即可得出答案；（2）假设存在，设，求出两个平面的法向量，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.【小问1详解】解：取的中点，连接，则，，因为是等边三角形，为棱的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，则，所以，则，如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，设平面的法向量，直线与平面所成的角为，则有，可取，所以，所以直线与平面所成的角的大小为；【小问2详解】解：假设存在，设，，由（1）得，，因为，所以平面，则即为平面的一个法向量，，，则，设为平面的法向量，则，可取，则，解得或（舍去），所以存在点，点在靠近点的三等分点处，使得平面与平面的夹角的余弦值为.