天津市实验中学滨海学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期高三年级期中质量调查（数学）试卷满分：150分时长：120分钟第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集呐࣒Ę㛨Ę灰Ę焠Ę䚰࣌，集合呐࣒㛨Ę灰Ę焠࣌，呐࣒灰Ę䚰࣌，则为A.࣒㛨Ę灰Ę䚰࣌B.࣒灰Ę焠Ę䚰࣌C.࣒Ę灰Ę䚰࣌D.࣒Ę灰Ę焠Ę䚰࣌2.“㈠灰”是“灰㈠䚰”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件䚰3.函数呐灰㛨的图象大致为()A.B.C.D.4.设，若直线㛨灰ʹ呐与直线灰㛨䚰呐平行，则的值为()A.㛨B.㛨C.灰或㛨D.灰或㛨5.已知呐灰香灰，呐灰香灰，呐香灰香焠，则()A.൏൏B.൏൏C.൏൏D.൏൏6.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗香图㛨是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图灰所示，其中，分别是上､下底面圆的圆心，且呐焠呐ܣ，底面圆的半径为灰，则该陀螺的体积是()ʹܣA.B.C.灰D.焠焠焠7.设点灰Ę焠､焠Ę灰，若直线过点㛨Ę㛨且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是()焠焠㛨焠焠A.或䚰B.或C.䚰D.䚰䚰䚰䚰䚰䚰8.已知函数呐灰sin的图象向左平移个单位长度后得到函数呐sin灰焠cos灰的图象，则ܣ的可能值为()A.B.C.D.ܣ焠㛨灰 灰灰9.已知双曲线灰灰呐㛨㈠Ę㈠的左、右焦点分别为㛨、灰香若双曲线右支上存在点，使得㛨与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且|㛨|呐䚰|㛨|，则双曲线的浙近线方程为()䚰焠A.呐±B.呐±C.呐±D.呐±灰焠䚰焠㛨㛨10.对㛨，灰㛨Ę焠，当㛨൏灰时，焠灰㈠，则实数的取值范围是()灰A.焠ĘB.焠ĘC.晦ĘD.晦Ę二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.已知灰൅݅呐൅൅为虚数单位，则|݅|呐___________．12.已知向量呐灰䚰Ę焠，呐焠Ę，若，则实数的值为________．㛨13.已知tan呐，呐，则tan的值为灰䚰14.圆心在直线㛨呐上且与直线灰㛨呐相切于点㛨Ę㛨的圆的方程是．灰灰15.以双曲线呐㛨的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．䚰㛨灰灰灰16.已知㛨、灰分别为灰灰呐㛨㈠㈠椭圆的左、右焦点，过灰的直线与椭圆交于、两点，若灰㛨呐，灰呐焠灰，则㛨呐，椭圆的离心率为．㛨ܣ题㛨题㛨17.如图，在中，呐焠，呐灰，呐ܣ，，分别是边，上的点，呐㛨，且呐，灰则||呐，若是线段上的一个动点，则的最小值为．|㛨|Ę18.已知函数呐䚰，函数呐有四个不同零点，从小到大依次为㛨Ę灰Ę焠Ę䚰，则焠Ę㈠实数的取值范围为；㛨灰焠䚰的取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.本小题㛨䚰香分在中，角，，所对的边分别是，，，已知݋呐灰݋． 㛨求角的大小；灰设呐灰，呐焠，求sin灰的值．20.本小题㛨香分如图，在三棱柱㛨㛨㛨中，㛨平面，，呐呐灰，㛨呐焠，点，分别在棱㛨和棱㛨上，且呐㛨，呐灰，为棱㛨㛨的中点．㛨求证：㛨㛨；灰求直线与平面㛨所成角的正弦值．21.本小题㛨香分在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，呐，平面灰平面，且呐呐灰呐灰．㛨求证：平面；灰求平面与平面夹角的大小；焠焠已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点到平面的距离．㛨 22.本小题㛨ܣ香分已知函数呐，呐灰㛨，Ę㛨当呐㛨，呐时，求曲线呐在呐㛨处的切线方程；灰当呐时，若对任意的㛨Ę灰，恒成立，求实数的取值范围；焠当呐，㈠时，若方程呐有两个不同的实数解㛨，灰㛨൏灰，求证：㛨灰㈠灰． 答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【解答】解：呐࣒Ę㛨Ę灰Ę焠Ę䚰࣌，呐࣒㛨Ę灰Ę焠，呐࣒灰Ę䚰࣌，呐࣒Ę䚰࣌，则呐࣒Ę灰Ę䚰࣌．故选C．2.【答案】【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由灰㈠䚰，得㈠灰或൏灰，则“㈠灰”是“灰㈠䚰”的充分不必要条件，故选A．3.【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】䚰䚰解：函数呐呐灰㛨，则呐灰㛨呐，则函数呐为奇函数，故排除，，当㈠时，呐㈠，故排除，故选：． 4.【答案】【解析】【分析】本题考查直线平行的判定，属于基础题．由题得㛨灰呐，再验证两条直线是否重合即可得解．【解答】解：因为直线㛨：灰ʹ呐与直线灰：㛨䚰呐平行，所以㛨灰呐，即呐㛨或呐灰，又呐灰时两直线重合，所以呐㛨．故选B．5.【答案】【解析】【分析】本题考查对数函数及其性质，属于基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得灰香灰൏，灰香灰㈠㛨，൏香灰香焠൏㛨，从而得出，，的大小关系．【解答】解：呐灰香灰൏灰㛨呐，呐灰香灰㈠灰呐㛨，൏香灰香焠൏香灰呐㛨，呐香灰香焠Ę㛨，൏൏，故选B．6.【答案】【解析】【分析】本题考查简单组合体的体积，属于基础题．根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案．【解答】解：已知底面圆的半径呐灰，由呐焠呐ܣ，则呐灰Ę呐䚰，灰㛨灰ܣ故该陀螺的体积呐呐．焠焠故选：． 7.【答案】【解析】【分析】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，求出直线的斜率的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或，㛨灰焠㛨焠焠即呐，或呐䚰，，或䚰，㛨焠䚰㛨灰䚰焠即直线的斜率的取值范围是或䚰．䚰故选A．8.【答案】【解析】【分析】本题考查函数图象的变换及函数呐݋൅的图象与性质，利用图象变换法则求出平移后的函数的解析式即可求解．【解答】解：将函数呐݋൅灰焠݋灰呐灰݋൅灰的图象向右平移个单位长度，焠ܣ可得呐灰݋൅灰呐灰݋൅灰的图象，所以呐．ܣ焠故选A．9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查香属于中档题．利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出与之间的等量关系，可知答案．【解答】解：如图所示，渐近线为，㛨， 点㛨到渐近线的距离为|㛨|呐，而|㛨|呐，灰灰灰故在直角三角形㛨中，由勾股定理和呐可得||呐，有cos㛨呐．因为|㛨|呐䚰|㛨|，可知|㛨|呐䚰．根据双曲线定义可知|㛨||灰|呐䚰|灰|呐灰，整理得|灰|呐䚰灰，䚰灰㛨ܣ灰䚰灰灰在三角形㛨灰中，cos㛨灰呐灰灰䚰呐cos㛨呐，灰灰灰䚰代入呐整理得呐，焠䚰双曲线渐近线方程为呐±，焠10.【答案】【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于较难题．对于原不等式进行同构处理，可得灰焠灰㈠㛨焠㛨，构造函数呐焠，可知函数在㛨Ę焠上单调递增，求导，令恒成立，即可求出的取值范围．【解答】焠㛨㛨解：对于任意㛨Ę灰㛨Ę焠，当㛨൏灰时，焠灰㈠成立，灰㛨两边取对数化简可得焠㛨焠灰㈠ln，灰即灰焠灰㈠㛨焠㛨恒成立，令呐焠，灰㈠㛨，在㛨Ę焠上单调递增，呐焠在㛨Ę焠恒成立，焠在㛨Ę焠恒成立， 只需焠，㛨Ę焠Ę焠在㛨Ę焠的最大值为晦，晦，则实数的取值范围是晦Ę．11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算，属于基础题．求出复数݅，然后利用模的计算公式求解即可．【解答】解：灰൅݅呐൅，൅൅灰൅㛨灰呐呐൅，灰൅灰൅灰൅㛨灰灰灰|݅|呐呐．故答案为．12.【答案】䚰【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题．利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系直接运算即可求出实数的值．【解答】解：呐灰䚰Ę焠，呐焠Ę，且，呐焠灰䚰焠呐，解得呐䚰．则实数的值为䚰．故答案为：䚰．13.【答案】焠【解析】【分析】本题考查了两角和的正切公式，属于基础题．直接利用两角和的正切公式，代入数据计算即可． 【解答】㛨解：tan呐，呐，灰䚰㛨㛨呐䚰呐灰呐焠，䚰㛨㛨䚰㛨灰故答案为焠．14.【答案】㛨灰灰灰呐【解析】【分析】本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．设出圆心坐标，其中由圆心在直线㛨呐上得出一个方程；再由圆心到直线灰㛨呐的距离即半径得出另一个方程，解方程组即可得解．【解答】解：设圆心坐标为Ę，㛨呐则灰㛨呐㛨灰㛨灰Ę解得呐㛨，呐灰，所以呐，所以要求圆的方程为㛨灰灰灰呐．故答案为㛨灰灰灰呐．灰灰15.【答案】呐㛨㛨ܣ㛨灰【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，椭圆的概念及标准方程的应用，根据双曲线的标准方程，求出焦点坐标和顶点坐标，即可求解椭圆方程．【解答】灰灰灰灰灰灰灰解：因为双曲线呐㛨中，呐䚰，呐㛨灰，呐呐䚰㛨灰呐㛨ܣ，䚰㛨灰故焦点为䚰Ę，䚰Ę，顶点为灰Ę，灰Ę，所以椭圆的顶点为䚰Ę，䚰Ę，焦点为灰Ę，灰Ę，所以椭圆中㛨呐䚰Ę㛨呐灰，则㛨呐灰焠．灰灰所求椭圆方程为呐㛨．㛨ܣ㛨灰灰16.【答案】晦；；灰 【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质，以及向量的夹角公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题．呐灰cos灰|cos||由㛨，可得㛨㛨呐，即|㛨㛨呐||，cos㛨呐||，㛨即可求解㛨，再结合椭圆的性质和离心率公式，即可求解．【解答】解：㛨呐灰，灰㛨cos㛨呐，|㛨|cos㛨呐||，||cos㛨呐||，㛨㛨呐晦，设|灰|呐，灰呐焠灰，|灰|呐焠|灰|呐焠，|㛨|呐灰焠，|㛨|呐灰，||呐䚰，在㛨中，㛨灰灰呐㛨灰，即灰焠灰䚰灰呐灰灰，解得呐，焠灰呐焠呐，㛨呐，㛨灰呐灰㛨，即灰呐灰，灰呐呐．灰灰故答案为：晦；．灰㛨17.【答案】㛨；㛨ܣ【解析】【分析】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，余弦定理，向量加法和数乘的几何意义，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．㛨根据呐㛨，呐ܣ，呐即可求出||呐㛨，然后得为等边三角形，从而得出呐灰，灰呐㛨，且呐呐ܣ，并据题意设呐，㛨，从而可得出呐灰㛨，然后进行数量积的运算即可得出呐，从而配方即可求出最小值的大小．灰 【解答】解：呐㛨，呐ܣ，㛨㛨呐||呐，灰灰||呐㛨，为等边三角形，又呐焠，呐灰，呐灰，呐㛨，且呐呐ܣ，是线段上的一个动点，设呐，㛨，则呐㛨，呐呐㛨呐㛨灰㛨㛨㛨㛨呐灰㛨灰灰㛨㛨㛨㛨灰灰灰呐灰灰㛨灰㛨呐，䚰㛨ܣ㛨㛨呐时，取最小值．䚰㛨ܣ㛨故答案为：㛨Ę．㛨ܣ18.【答案】㛨Ę；䚰Ę【解析】【分析】本题主要考查函数零点的个数及函数零点的分布，属于较难题．根据函数性质画出的图象，将问题化为与呐有四个交点，数形结合法求范围，再由㛨Ę灰是㛨灰灰呐的两个根、焠Ę䚰是灰焠䚰呐的两个根，结合根与系数关系求㛨灰焠䚰的范围．【解答】解：由题设，当Ę㛨时，呐㛨㛨Ę，且单调递减；当㛨Ę时，呐㛨㛨Ę，且单调递增；䚰当Ę灰，呐焠㛨Ę，且单调递减； 䚰当灰Ę，呐焠㛨Ę，且单调递增；综上，的函数图象如下：所以呐有四个不同零点，即与呐有四个交点，由图知：㛨൏，则Ę在呐|㛨|上，Ę在呐䚰焠上，㛨灰焠䚰令|㛨㛨|呐|灰㛨|呐，则|㛨㛨|呐|灰㛨|呐ln，即㛨Ę灰是㛨灰灰呐的两个根，故㛨灰呐㛨灰，䚰灰而焠Ę䚰是焠呐，即焠䚰呐的两个根，故焠䚰呐䚰，所以㛨灰焠䚰呐灰䚰Ę．故答案为：㛨Ę，䚰Ę19.【答案】解：Ⅰ݋呐灰݋，݋݋呐灰݋，由正弦定理得݋൅݋݋൅݋呐灰݋൅݋，sin呐݋൅呐灰݋൅݋，㛨݋呐，灰又Ę，呐．焠Ⅱ由呐灰，呐焠，可得灰呐灰灰灰݋呐，可得呐，灰㛨因为呐，所以݋൅呐，݋൅݋൅ 灰又൏，则Ę，݋呐，灰灰㛨灰䚰焠灰㛨可得݋൅灰呐灰݋൅݋呐灰呐，݋灰呐灰݋㛨呐，䚰焠㛨㛨焠焠所以sin灰呐݋൅灰݋݋灰݋൅呐呐．灰灰㛨䚰【解析】Ⅰ变形已知结合正弦定理得݋൅݋݋൅݋呐灰݋൅݋，进而可得݋，进而可求得的值；Ⅱ由已知利用余弦定理可求得的值，利用正弦定理可求݋൅的值，利用同角三角函数基本关系式可求݋的值，利用二倍角公式可求݋൅灰，݋灰，进而根据两角和的正弦公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20【.答案】Ⅰ证明：在三棱柱㛨㛨㛨中，㛨平面，建立如图所示的空间直角坐标系，又呐呐灰，㛨呐焠，点，分别在棱㛨和棱㛨上，且呐㛨，呐灰，为棱㛨㛨的中点，则ĘĘ，灰ĘĘ，Ę灰Ę，灰ĘĘ㛨，ĘĘ灰，㛨灰ĘĘ焠，㛨Ę灰Ę焠，㛨ĘĘ焠，㛨Ę㛨Ę焠，则㛨呐㛨Ę㛨Ę，㛨呐灰Ę灰Ę灰，则㛨㛨呐㛨灰㛨灰灰呐，即㛨㛨，即㛨㛨；Ⅱ解：设平面㛨的一个法向量为呐ĘĘ݅，㛨呐则，呐灰灰灰݅呐则，灰݅呐令呐㛨，则呐㛨，݅呐灰，则呐㛨Ę㛨Ę灰，又平面㛨的一个法向量为呐㛨ĘĘ，设与所成角为， 㛨ܣ则݋呐呐呐，||||㛨ܣܣ即平面㛨与平面㛨所夹角为，ܣ则平面㛨与平面㛨所夹角的余弦值为；ܣⅢ解：由Ⅰ可得呐灰Ę灰Ę，䚰焠则|cos൏Ę㈠|呐呐呐，||||灰灰ܣ焠焠则直线与平面㛨所成角的正弦值为．焠【解析】Ⅰ先建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后求证即可；㛨呐Ⅱ设平面㛨的一个法向量为呐ĘĘ݅，则，则呐㛨Ę㛨Ę灰，又平面㛨的一个法向呐量为呐㛨ĘĘ，然后求解即可；䚰焠Ⅲ由Ⅰ可得呐灰Ę灰Ę，则|cos൏Ę㈠|呐呐呐，得解．||||灰灰ܣ焠本题考查了空间向量的运算，重点考查了二面角的平面角大小的求法，属基础题．21.【答案】㛨证明：四边形是正方形，，平面，平面香所以平面．四边形是梯形，，平面，平面，所以平面，平面，平面，呐，平面平面，平面，平面．灰解：以为原点，为轴，为轴，为݅轴，建立空间直角坐标系，则Ę灰Ę，ĘĘ灰，灰Ę灰Ę，灰ĘĘ㛨，呐灰Ę灰Ę灰，呐Ę灰Ę灰，呐灰ĘĘ㛨， 设平面的法向量㛨呐㛨Ę㛨Ę݅㛨，呐灰㛨灰㛨灰݅㛨呐则，取㛨呐㛨，得݅㛨呐㛨，㛨呐，得㛨呐Ę㛨Ę㛨，呐灰㛨灰݅㛨呐设平面的法向量灰呐灰Ę灰Ę݅灰，呐灰灰灰灰灰݅灰呐则，取灰呐㛨，݅灰呐灰，灰呐㛨，得灰呐㛨Ę㛨Ę灰，呐灰灰݅灰呐设二面角的大小为，由图形得为钝角，|㛨灰|焠焠则݋呐呐呐，|㛨||灰|灰ܣ灰因为为钝角，呐，ܣ二面角的大小为．ܣ焠焠解：点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，㛨设呐，灰，则ĘĘ，灰ĘĘ，呐灰ĘĘ，呐灰Ę灰Ę灰，䚰灰焠|cos൏Ę㈠|呐呐呐，||||䚰灰㛨灰㛨焠焠解得呐，线段的长为．灰灰焠设平面的法向量焠呐焠Ę焠Ę݅焠，因为呐灰ĘĘ，呐Ę灰Ę，灰㛨呐灰焠呐则焠，取݅焠呐䚰，得焠呐Ę焠Ę䚰，㛨呐灰焠灰݅焠呐|焠|ܣ又呐Ę灰Ę，所以呐呐．|焠【解析】㛨先证明平面平面，再根据面面平行的性质可得平面； 灰以为原点，为轴，为轴，为݅轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果；焠根据异面直线和点面距的向量公式可求出结果．本题主要考查线面平行的证明，二面角的相关计算，点面距离的计算等知识，属于中等题．㛨22.【答案】解：Ⅰ当呐㛨时，呐时，呐灰㛨，当呐㛨时，呐灰，㛨灰呐焠，当呐㛨时，呐㛨，曲线呐在呐㛨处的切线方程为焠呐；Ⅱ当呐时，对㛨Ę灰，都成立，则对㛨Ę灰，灰灰恒成立，令呐灰灰㛨灰，则呐灰香令呐，则呐，当㛨൏൏，㈠，此时单调递增；当൏൏灰时，൏，此时单调递减，呐呐灰，灰，的取值范围为Ę；灰Ⅲ当呐，㈠时，由呐，得㛨呐，方程呐有两个不同的实数解㛨，灰㛨൏灰，令呐㛨㈠，㛨㛨则㛨呐灰呐，呐，令呐，则呐，㛨当൏൏时，㈠，此时单调递增；㛨当㈠时，൏，此时单调递减，㛨㛨呐呐㈠，൏൏㛨，㛨又呐൏，㛨呐㛨㈠，㛨㛨灰㛨൏㛨൏㛨൏，㛨㈠，灰灰只要证明灰㈠㛨，就能得到㛨灰㈠㈠灰，灰即只要证明㛨㈠呐㛨， 灰灰㛨令呐呐ln灰灰，൏൏，灰㛨灰则呐൏，灰㛨㛨灰㛨㛨在Ę上单调递减，则㈠呐呐，灰㛨呐㛨㛨㈠，灰㛨㈠㛨呐呐灰，灰灰灰㈠㛨，㛨灰㈠㈠灰，即㛨灰㈠灰，证毕．【解析】本题考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．Ⅰ求出呐的导函数，求出函数在呐㛨时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；Ⅱ对㛨Ę灰，都成立，则对㛨Ę灰，灰灰，恒成立，构造函数呐灰灰㛨灰，求出的最大值可得的范围；灰Ⅲ由呐，得㛨呐，构造函数呐㛨㈠，将问题转化为证明灰㛨㈠呐㛨，然后构造函数证明㛨㈠㛨呐呐灰即可．