四川省 校2024届高三上学期期中数学（文）试题（Word版附解析）

成都外国语学校2023-2024学年度上期期中考试高三数学试卷（文科）命题人：林春雨审题人：张义龙注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．本堂考试120分钟，满分150分．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．）1.已知集合，则（）A.B.C.D.或【答案】B【解析】【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再求出即可.【详解】，所以.故选：B.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数的几何意义确定复数，再由复数乘法求.【详解】因为复数z对应的点的坐标为，所以，所以，故选：B． 3.已知函数则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可.【详解】∵∴.故选：A.4.函数在区间的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的奇偶性及的函数值，结合排除法可得出合适的选项.【详解】因为，，所以，即函数为偶函数，排除C，D；因为，所以排除B，故选：A．5.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则的值为（）A.－8B.8C.6D.－6 【答案】B【解析】【分析】根据三点A，B，D共线，可得存在唯一实数使，进而可得出答案.【详解】由已知得，三点A，B，D共线，存在唯一实数使，，，解得.故选：B.6.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以Ü，所以，解得，故即实数的取值范围是.故选：C.7.设，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出，结合角的范围求得，即可求得答案.【详解】由题意， 则，即，故，即，由于，所以，则，即，故，故选：B8.“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第年(年是第一年)与捐赠的现金(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程，则预测年捐赠的现金大约是A.万元B.万元C.万元D.万元【答案】C【解析】【分析】由已知求出，代入回归直线的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.【详解】由已知得，，所以样本点的中心点的坐标为，代入，得，即，所以，取，得，预测2019年捐赠的现金大约是万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程以及应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为 ，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）A.20B.27C.32D.40【答案】B【解析】【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.【详解】依题意得，解得，，则，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以.故选：B10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.直线是图象的一条对称轴C.图象的对称中心为D.将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象【答案】C【解析】 【分析】对A，根据图最大值为3可得，再根据周期求得，再根据最高点判断可得，即可判断；对B，代入判断函数是否取最值即可；对C，根据正弦函数对称中心的公式求解即可；对D，根据三角函数图象平移性质判断即可.【详解】对A，由最大值为3可得，由图知，故，故，由图象最高点可得，即，又，故，故.故，故A错误；对B，，不为函数最值，故直线不是图象的一条对称轴，故B错误；对C，令，解得，故对称中心为，故C正确；对D，的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，故D错误；故选：C11.已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得平面，将四面体转化为直三棱柱，四面体 的外接球即为直三棱柱的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径.【详解】因为为等边三角形，且为中线，则，即，且平面，可得平面，设的外接圆圆心为，半径为，因为，由余弦定理可得，且，则，所以，将四面体转化为直三棱柱，四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，设四面体的外接球的球心为，半径为，则，则，所以四面体的外接球表面积为.故选：D.12.已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过分析得到当时，要有2个根，参变分离后构造函数，研究其单调性和极值，数形结合求出实数a的取值范围. 【详解】与关于y轴对称，且，要想有5个零点，则当时，要有2个根，结合对称性可知时也有2个零点，故满足有5个零点，当时，，不合题意；当时，此时令，定义域为，，令得：，，令得：，故在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，在处取得极大值，其中，故，此时与有两个交点.故选：C【点睛】对于求解函数零点个数问题，由以下的方法：（1）函数单调性与零点存在性定理得到函数零点个数；（2）参变分离后构造函数进行求解零点个数；（3）转化为两函数交点个数问题.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）13.若实数、满足线性约束条件，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】令，作出不等式所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】令，作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时，取最大值，即.故答案为：.14.已知，则______.【答案】6【解析】【分析】利用诱导公式求得的值，然后在所求分式的分子和分母中同时除以，可将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可.【详解】由诱导公式可得，因此，.故答案为：6.15.已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是___________．【答案】【解析】 【分析】由条件，构造函数，由得在上单调递增，再利用单调性解不等式即可.【详解】由题意，对任意，都有成立，即．构造函数，则，所以函数在上单调递增．不等式即，即．因为，所以．故由，得.所以不等式的解集为，故答案为：.16.设函数（，），若是函数的零点，是函数的一条对称轴，在区间上单调，则的最大值是______.【答案】14【解析】【分析】根据正弦型函数的零点、对称轴，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为是函数的零点，是函数的对称轴，所以，，解得，.因在区间上单调，则，得，所以.当时，，得，，即， ，又，则，得.当时，，其中，于是在区间上不单调.当时，，得，，即，，又，则，得.当时，，满足在区间上单调.综上，的最大值是14.故答案为：14【点睛】关键点睛：本题利用正弦型函数的单调性、对称性在求解时，检验区间是否单调是本题的关键.三、解答题17.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求的值；（2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解；（2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，结合三角形的面积公式可求，联立解得，的值，根据余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长．【详解】（1）∵，∴sinBcosA﹣2sinBcosC＝2sinCcosB﹣sinAcosB，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC，可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA，∴2． （2）∵由（1）可得sinC＝2sinA，∴由正弦定理可得c＝2a，①∵cosB，△ABC的面积为，∴sinB，由acsinBac•，解得ac＝2，②∴由①②可得a＝1，c＝2，∴由余弦定理可得b2，∴△ABC的周长a+b+c＝1+2+2＝5．【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式，考查了三角形的面积公式、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：常喝不常喝合计肥胖628不胖41822合计102030（1）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（2）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（其中4名男生2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.02466357.87910.828（参考公式：，其中）【答案】（1）有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关，理由见解析； （2）.【解析】【分析】（1）由已知数据利用公式求得的值，即可得到有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.（2）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为、、、，女生为，，得任取两人的基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式即可求解．【小问1详解】由已知数据可求得：，因此有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.【小问2详解】设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为、、、，女生为，，则任取两人有：，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，其中一男一女有，，，，，，，，共8种，所以抽到一男一女的概率为.19.如图，是圆锥底面圆的圆心，是圆的直径，为直角三角形，是底面圆周上异于的任一点，是线段的中点，为母线上的一点，且.（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱锥体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由圆锥的性质可知，底面圆，再根据线面垂直的性质得出，由 为直径得出，再根据中位线的性质得出最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；（2）在上取点，使得，连接，结合题意可知，从而有平面，得出为三棱锥的高，最后利用等体积法和三棱锥的体积公式，即可求出三棱锥的体积.【小问1详解】证明：由圆锥的性质可知，底面圆，又底面圆上，所以，又因为在圆上，为直径，所以，又点分别为的中点，所以所以又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】解：由题可知，，则，如图，在上取点，使得，连接，由题知，所以，所以，又因为平面，所以平面，所以为三棱锥的高，又，所以，又因为为等腰直角三角形，所以， 又，所以而，所以三棱锥的体积为.20.已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.（1）求椭圆方程；（2）设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和可解得，可写出椭圆的方程；（2）设分别求出直线，的方程并解出的坐标，可得四边形的面积.【小问1详解】根据题意可知，又，即可得，结合，解得；即椭圆的方程为.【小问2详解】证明：由（1）可知，如下图所示： 设，且；易知直线的斜率，所以的直线方程为；同理直线的斜率，所以的直线方程为；由题意解得；所以可得，四边形的面积又，可得，故，即四边形的面积为定值.21.已知函数(1)当时,求的极值；(2)若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）有极小值无极大值；（2）.【解析】【分析】（1）判断函数的单调性，利用求导，判断导函数与0的关系，问题得解决； （2）求恒成立，求参数的取值范围.设，求导，利用分类讨论的思想，问题得以解决．【详解】（1）若为减函数，，为增函数，有极小值无极大值；（2）在恒成立，①若为增函数，即不成立；不成立.②在恒成立,不妨设或若则为增函数,(不合题意);若为增函数，（不合题意）；若为减函数，（符合题意）.综上所述，若时，恒成立，则.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为. 22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．【详解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，所以点P的直角坐标为（1，1）．（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，依题意，点M对应的参数为，所以|PM|＝||．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.已知函数的最大值为4（其中）.（1）求的值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求得m的值；（2）运用柯西不等式可求得最小值.【详解】解：(1).，又，所以m=3.（2）.由（1）知，由柯西不等式有：，当且仅当时等号成立所以，，所以最小值为.