四川省 校2021-2022学年高二数学（文）下学期期中考试试题（Word版附解析）

成都外国语学校2021-2022学年度下期半期考试高二文科数学第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卡上）1.向量＝（－2，1）所对应的复数是（　　）A.z＝1＋2iB.z＝1－2iC.z＝－1＋2iD.z＝－2＋i【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义即可.【详解】根据复数的几何意义，向量＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i；故选：D.2.由①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提､小前提和结论的分别是（）A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【答案】D【解析】【分析】根据三段论的概念，即可判断出结果.【详解】该三段论应为：③一次函数的图象是一条直线（大前提），①y=2x+5是一次函数（小前提），②y=2x+5的图象是一条直线（结论）故选：D.3.用反证法证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”时，反设是“关于的一元二次方程（）A.有两个相等实数根B.无实数根C.无实根或有两个相等实数根D.只有一个实数根【答案】C【解析】 【分析】根据反证法证明方法与步骤即可得出选项.【详解】证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”反证法需假设“关于的一元二次方程无实根或有两个相等实数根，推出矛盾.故选：C4.要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（）A.纵坐标伸长到原来2倍，横坐标不变B.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变C.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象变换前后的解析式，确定图象变化过程.【详解】将在横坐标方向上缩短到原来的，即可得，∴.故选：C5.已知在上是增函数，则实数a的最大值是（）A.0B.1C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由在上恒成立，参变分离求出a的取值范围即可求解.【详解】由题意知：，在上增函数，即在上恒成立，则在上恒成立，又在上的最小值为3，故，即a的最大值是3.故选：C. 6.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由观测的数据得到线性回归方程可能为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由变量正相关，可排除BC；再由回归直线过样本中心，即可得出结果.【详解】因为变量x与y正相关，BC选项的的系数为负数，所以排除BC；又回归直线过样本中心，A选项，过点，所以A正确；D选项，不过点，所以D不正确；故选：A.7.若椭圆的参数方程为（为参数），则椭圆的焦距为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】写出椭圆的普通方程，求出、、的值，即可求得椭圆的焦距.【详解】因为椭圆的参数方程为（为参数），则椭圆的标准方程为，所以，，，则，因此，椭圆的焦距为.故选：D.8.下列三个数：，，，大小顺序正确的是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.【详解】构造函数，因为对一切恒成立，所以函数在上是减函数，从而有，即故选：A．【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.9.函数的部分图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明其单调性，即可判断；【详解】解：因为定义域为，且，所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；当时，，则，所以当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，故C错误、B正确；故选：B10.若函数在上无极值，则实数的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在上无极值，则恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：D.11.在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为(为参数)， 直线与曲线交于两点，则的值是A.1B.3C.D.4【答案】B【解析】【分析】将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数的几何意义，利用韦达定理求解即可.【详解】设对应的参数分别为，把参数方程代入，得，整理得，所以 ；故选：B.12.已知函数，若不等式恒成立，则a的最大值为（）A.1B.C.2D.e【答案】A【解析】【分析】先判断出.利用同构，把转化为（），利用导数判断单调性，求出最小值，即可得到a的最大值.【详解】要使不等式恒成立，只需.函数的定义域为.因为，所以令，则. 对于，，所以在上单调递增，当时，；当时，.所以.对于（）..令，解得：；令，解得：.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，即.所以=1.故选：A【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数，其导函数为，则________________【答案】##0.5【解析】【分析】先求导，然后代入，进行求解【详解】因为，所以故答案为：14.设复数满足（为虚数单位），则______．【答案】【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.15.在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是_____．【答案】甲【解析】【详解】试题分析：∵相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又∵甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，0.96＞0.85，∴甲模型的拟合效果好，故填甲．考点：本题主要考查回归分析中对相关系数强弱的认识．点评：在线性回归模型中，R2解释变量对于预报变量变化的贡献率，它的值越接近于1表示回归的效果越好．16.已知是函数且的个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式可得，，由此可得知，，可将所求式子化为；令，利用导数可求得，由此可得所求式子的范围.【详解】，当时，；又，，，；令，则，在上单调递减， ，的取值范围为.故答案为：.三、解答题：（本题有6个小题，共70分）17.（1）在极坐标系中，已知点，请将点极坐标化为直角坐标；（2）在平面直角坐标系中，求曲线经过伸缩变换后的曲线方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标关系可直接转化得到结果；（2）由变换原则可得，代入曲线方程即可得到所求曲线方程.【详解】（1）由题意得：，，，；点的直角坐标为.（2）由得：，，即，变换后的曲线方程为：.18.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标. 【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的关系，即可写出圆O和直线l的直角坐标方程；（2）联立圆O和直线l方程求交点，将其转化为极坐标即可.【详解】（1）圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：，即ρsinθ－ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.（2）由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.19.已知函数在处取得极值．（1）求的解析式；（2）当时，的图象与的图象有两个公共点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由解出，代回导数，检验在处取得极值即可；（2）先确定函数在上的单调性，求出最值及端点值，即可求得m的取值范围.【小问1详解】，∵在处取得极值，∴，∴，解得： ，∴，此时，当时，；当时，，在单增，在单减，满足在处取得极值，故.【小问2详解】由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减；又，，，所以．20.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证：．【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，令导函数与大于0，小于0即可得出答案.（2）设，对求导，此题转化为求.【小问1详解】依题意知函数的定义域为，∵，由，得；由，得，∴的单调增区间为，单调减区间为．【小问2详解】 设，∴，∵当时，，当时，，∴在上为减函数，上为增函数，∴，即．21.为推动实施健康中国战略，手机APP推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月5日获得“运动达人”称号的统计数据：月份x12345“运动达人”员工数y1201051009580（1）求y关于x的线性回归方程；（2）为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男员工602080女员工402060合计10040140请根据上标判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？参考公式：，； .0.100.050.0250.0012.7063.8415.0246.635【答案】（1）（2）没有【解析】【分析】（1）利用公式可求线性回归方程；（2）根据列联表可求参数的值，根据公式可求，结合临界值表判断可得答案.【小问1详解】，，，，∴，由过，故，∴.【小问2详解】，∴没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关.22.已知函数，其中e是自然对数的底数．（1）当时，求在处的切线方程； （2）若存在，，使得，且，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对求导，求，由点斜式即可求出答案.（2）设，，结合，代入整理得，构造函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得a的取值范围．【小问1详解】当时，，，，所以在处的切线方程为：，所以.【小问2详解】不妨设，，所以关于t的方程有正实数解，所以，即有正实数解，设，则，，所以单调递增，所以，①当时，，所以单调递增，所以，不合题意；②当时，存在，使得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即存在，符合题意． 综上，a的取值范围为．