四川省成都市某校2023-2024学年高三上学期期中数学（文）试题（Word版附解析）

2023-2024学年度（上）阶段性考试（二）高2021级数学（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先解绝对值不等式求出集合，然后求其补集，再根据交集定义进行计算.【详解】因为或}，所以，又所以.故选：D.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算化简可得.【详解】因为，所以的虚部为.故选：B3.已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出命题为真时参数的取值范围，再找出其一个充分不必要条件；【详解】解：因为，为真命题，所以，，因为函数在上单调递增，所以，所以 又因为所以命题“，”是真命题的一个充分不必要条件为故选：C【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.4.在递增等比数列中，，，则公比q(    )A.4B.3C.2D.【答案】C【解析】【分析】用等比中项求出，再用等比的通项公式求出q.【详解】因为是递增等比数列，由等比中项可知所以，，因为是递增数列，所以，故选：C5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则(    )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可.【详解】由题意得，，故选：C. 6.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟（）（，）A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】【分析】先计算出，再根据条件计算即可.【详解】根据题意有：，∴.故选：C.7.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过图像观察y轴左右两侧的图像特点，代入数值判断，以及考虑函数的奇偶性来判断函数是偶 函数，定义域等特点，关于选项D，要考虑函数,以及函数值恒为正等函数的相关信息来解题.【详解】A选项，，当时，，不符合；B选项，为偶函数，其图象关于轴对称，不符合；C选项，的定义域为，不符合.故选：D.【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，以及常见函数的特点是解决这类问题的关键.8.已知，则（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合中间量法即可得解.【详解】因为，又，所以.故选：A.9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解．【详解】解：双曲线的渐近线方程为， 由对称性，不妨取，即．圆圆心坐标为，半径为，则圆心到渐近线的距离，，解得．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题．10.在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】A【解析】【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.【详解】因为，所以，所以，设的中点为，则，则，所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.故选：A11.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知直线l过抛物线的焦点，得m=-k，过M做MM′⊥准线x=﹣1，垂足为M′由∠M′MN与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan∠M′MN，即可求得k的值，进而得m．【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），因为所以直线l：y=kx+m过抛物线的焦点，所以m=-k,过M做MM′⊥准线x=﹣1，垂足为M′，由抛物线的定义，丨MM′丨=丨MF丨，由∠M′MN与直线l倾斜角相等，由，则cos∠M′MN=，则tan∠M′MN=±，因为∴直线l的斜率k=，即m=-故选B．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义和同角三角函数的关系，属于中档题．12.已知、，定义运算“”：，设函数，.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据定义得出的解析式，作出函数的图象得出答案．【详解】解：若﹣≤1，则，解得x，若﹣＞1，则＞0，则x，∴f（x）， 作出f（x）的函数图象如图所示：∵y＝f（x）﹣c有两个零点，∴f（x）＝c有两解，∴0＜c．故选A．【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列的前项和为，若，则__________.【答案】26【解析】【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.【详解】由已知，所以.则.故答案为：.14.已知向量，满足，，若，则与夹角的余弦值为__________.【答案】##0.25【解析】【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】因为， 所以，所以.故答案为：15.已知椭圆为椭圆C的左右焦点，P为椭圆C上的一点，且，延长交椭圆于Q，则_________．【答案】【解析】【分析】根据，建立向量关系，求出点坐标，然后求出直线方程，联立椭圆方程，求出点坐标，再利用两点间距离公式求解.【详解】由椭圆，得，，设，因为，所以，则，即，又因为P为椭圆C上的一点，所以联立得，， 所以或，、①当时，，直线方程为，即，联立得，所以，②当，，直线方程为，即，联立得，所以，综上，,故答案为：16.已知函数，则下列结论正确的有_______．①是周期函数，且最小正周期为；②的值域为；③在区间上为减函数；④的图象的对称轴为．【答案】②③【解析】【分析】现将函数的解析式进行化简变形，利用三角函数的周期性即可判断①；利用正弦函数的有界性可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用正弦函数的对称轴可判断④.【详解】，，，易知的最小正周期为，故①错误；，，， ②正确；当时，，单调递减区间为，再由周期为，故③正确；直线也是图象的对称轴，故④错误．故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.某网红冰淇淋公司计划在贵阳市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.（个）12345（千万元）11.622.43（1）该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.依据小概率值的独立性检验，分析两个店的顾客购买率有无差异.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828参考公式：，，，.【答案】（1）（2）有【解析】【分析】（1）利用最小二乘法求解即可；（2）根据已知条件得出列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论.【小问1详解】 ，则，，所以，，所以关于的经验回归方程为；【小问2详解】由题意，得出列联表如下表：买不买总计分店一180120300分店二15050200总计330170500则，所以依据小概率值的独立性检验，两个店的顾客购买率有差异.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求角B的大小;（2）若，D为AC的中点，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合诱导公式、两角和的正弦公式可求得，从而得角；（2）取的中点，在中应用余弦定理求得，从而得，再由三角形面积公式求解．【小问1详解】 已知，由正弦定理可得，又，，，，，即，又，.【小问2详解】取的中点，连接，在中，，，，设，由余弦定理可得，，即，或舍，，的面积为．19.已知数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系计算求通项公式即可；（2）利用错位相减法计算求和即可.【小问1详解】 由已知①，可知当时，②，两式①-②得：，当时，，符合上式，所以；【小问2详解】令，所以，故③，④，两式③-④得，即.20.如图所示，平面ABC，平面ABC，，，，F为BC的中点．（1）求证：平面BDE；（2）求凸多面体ABCED体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及三角形的中位线定理，结合平行四边形的性质及线面平行的判定定理；（2）利用面面垂直的判定定理及性质定理，结合勾股定理的逆定理及棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，取BE的中点G，连接GF，GD，如图所示则GF为的中位线，∴，，∴四边形GFAD为平行四边形，∴，又平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．【小问2详解】∵平面ABC，平面ABC，平面平面ACED，∵平面ABC，平面ABC，，∴四边形ACED为梯形，∵，∴，∵平面平面，∴平面ACED，即AB为四棱锥的高，∴．21.已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出导数利用求出，即可求出的值；（2）导函数存在两个不相等的零点，则需要对导函数进行增减性的分析，利用根的存在性定理进行求解即可.【小问1详解】由题意，的定义域为，，因为曲线在点处的切线方程为．所以，得；【小问2详解】因为，存在两个不相等的零点，所以存在两个不相等的零点，则，当时，，所以单调递增，至多有一个零点当时，因为当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，，因为存在两个零点，所以，解得，因为，所以，因为，所以在上存在一个零点，因为，所以， 因为，设，则，因为，所以单调递减，所以，所以．所以在上存在一个零点，综上可知，实数的取值范围为【点睛】方法点睛：求函数的切线方法，分为两种：一是“过”某点的切线，二是“在”某点的切线.求“过”某点切线步骤：一：设切点为；二：求出原函数的导数，将代入导函数求切线的斜率；三：利用点斜式书写方程，在代入题设某点即可.求“在”某点切线步骤：一：求出原函数的导数，将代入导函数求切线的斜率；二：利用点斜式书写方程，在代入点即可.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知A是曲线C上一点，B是直线l上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据参数方程的意义直接转换即可；（2）把所求面积转换成角度关系，求三角函数的最值即可.【小问1详解】直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程为，又故曲线的极坐标方程为【小问2详解】解法一：设，直线，则，所以，所以当时，解法二：由，得的极坐标为．设，当，即时，．