四川省成都市某校2023-2024学年高三上学期期中数学（理）试题（Word版附解析）

2023~2024学年度（上）阶段性考试（二）高2021级数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则集合、的关系是（）AÜB.ÜC.D.【答案】B【解析】【分析】将两个集合分别化简，从而可判断集合间的关系.【详解】集合，集合，因为，表示被除余的数，，表示被除余的数，所以Ü.故选：B.2.已知复数，则以下判断正确的是（）A.复数的模为1B.复数的模为C.复数的虚部为D.复数的虚部为【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算即可求得，根据复数模长公式和虚部定义即可判断结果.【详解】由可得；即复数的虚部为1，所以CD错误；则复数的模为，即A错误，B正确；故选：B 3.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为（）A.3B.2C.－2D.－3【答案】A【解析】【分析】由题得a3＝7，设等差数列的公差为，解方程组即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S5＝×5＝5a3＝35，解得a3＝7，设等差数列的公差为，所以，解之得.故选：A.4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.【详解】由题意有：，∴，又，∴.故选：A.5.函数在的图像大致为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A，再求出判断正负，可排除BD.【详解】，是奇函数，故A错误；，故BD错误.故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为），则该几何体的体积等于 A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由三视图可知该几何体是一个组合体，从下到上依次为：长宽高分别为的长方体；半径为的半球；底面半径为，高为的圆锥；据此可得该几何体的体积为：.本题选择A选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，于是，，两式相减得，解得，所以火箭发射时的声压约为.故选：D8.已知单位向量，满足，若向量，则＝（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出.【详解】因为，是单位向量，所以，又因为，，所以，，所以，因为，所以． 故选：B．9.已知函数的定义域为R，，且在上递增，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据可得关于直线对称，根据可得，结合函数的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数，满足，则关于直线对称，所以，即，又在上递增，所以在上递减，则可得函数的大致图象，如下图：所以由不等式可得，或，解得或，故不等式的解集为.故选：D.10.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，由双曲线的定义可得，由，可得，，，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化简可得，所以双曲线的离心率．故选：C．11.函数的部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则（）A.在上单调递减B.关于直线对称C.关于点对称 D.在上是单调递增【答案】A【解析】【分析】求得函数的解析式后，以代入法验证选项AD的单调性说法，以代入法验证选项BC的对称性说法即可.【详解】由图像可知，又对不同的，若，有则有，即，即，又，则.故选项A：若，则，则在上单调递减.判断正确；选项B：，则不关于直线对称.判断错误；选项C：，则不关于点对称.判断错误；选项D：，，则故有，，但，则在上不单调递增.判断错误.故选：A12.已知，，，其中e为自然对数的底数，则（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，，利用导数判断其单调性即可判断的大小；，可构造函数判断与的大小，构造函数判断与的大小，从而可判断的大小．【详解】令，，令，则，当时，，则在上单调递增，又，所以当时，，又，所以在上恒成立，又，所以，即．令，则，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即，令，则，在上单调递减，所以当时，，即，所以在上恒成立，令，则，所以，综上所述，．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______.【答案】60【解析】【分析】首先根据正态分布函数对称性求出参数，然后由二项式定理计算即可.【详解】由题意随机变量服从正态分布，且，所以，解得，所以的展开式中的常数项为.故答案为：60.14.2022年3月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：日期89101112平均气温(℃)20.521.521.52222.5由表中数据得这5天的日平均气温关于日期的线性回归方程为，据此预测3月15日成都市的平均气温为_______℃．【答案】23.85【解析】【分析】求出样本中心点，代入回归直线方程，求得，继而可求得答案.【详解】由题意得：，，故，则3月15日成都市的平均气温为（℃），故答案为：23.8515.正方形ABCD边长为3，P为正方形ABCD边界及内部的动点，且，则动点P的轨迹长度为______．【答案】【解析】【分析】先求出点轨迹，又因为P为正方形ABCD边界及内部的动点，所以动点P的轨迹长度为圆弧 ，求出圆弧对应的圆心角，由弧长公式即可求出答案.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，设，又因为，所以，化简为：即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.又因为P为正方形ABCD边界及内部的动点，所以动点P与轴正半轴的交点为，动点P与轴正半轴的交点为，则动点P的轨迹长度为圆弧，在三角形中，，所以，，所以圆弧.故答案为：.16.已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用的单调性以及已知条件得到，代入，令，利用导数的求得的值域，从而得解.【详解】因为， 所以在上单调递增，值域为，在上也单调递增，值域为，又的两根为，所以，从而，令，则，．因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故答案为：．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数，利用导数求取值范围求得的值域，由此得解.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化边即可求解;(2)根据弦化切将原等式变为， 角化边即可得到，再结合可得，，利用余弦定理即可求解.【小问1详解】因为,结合余弦定理，得，即，所以．【小问2详解】由，即，即即，又，所以，，所以.18.2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有，，，，共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”. 优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为跳水员的优秀情况与训练是否有关；（2）跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？附：，其中.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为跳水员的优秀情况与训练有关（2）12轮【解析】【分析】（1）直接根据题目图中所给数据完成列联表，然后根据卡方计算公式计算并和比较大小即可.（2）由题意跳水员在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，即，从而只需，故只需算出跳水员在一次集训测试中获得“优秀”的概率即可.【小问1详解】列联表为：优秀人数非优秀人数合计 训练前2810训练后8210合计101020所以有99%的把握认为跳水员的优秀情况与训练有关.【小问2详解】设跳水员每轮测试为优秀的概率为，则.设测试次数为，则优秀的次数，故，故至少需进行12轮测试.19.如图，在四棱锥中，，，，是棱的中点，且平面（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，证明故面，，得到答案.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面法向量和平面法向量，根据向量 夹角公式计算得到答案.【小问1详解】取中点，连接，，，，面，面，故面，面，，面面，平面平面，平面平面，故.，，，，故，，是中点，故，，平面，故面，，故面.【小问2详解】如图所示以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面法向量为，， 取，，设平面法向量为，，取，，，设二面角的平面角为，.20.已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标，结合斜率的计算公式，可整理椭圆方程，建立方程，可得答案；（2）由题意，利用三角形中线性质，分割三角形，整理三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，求得面积表达式中的变量，利用基本不等式，可得答案.【小问1详解】由已知得，且，即，因此有，得．因此，得，，所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】 显然直线经过x轴上的定点，设，，则由椭圆的对称性得，联立，消去x得．恒成立，所以，．．令，显然有，于是，当，即时取等号．因此的面积S的最大值为．21.已知函数.（1）当时，讨论函数零点的个数；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，通过讨论函数单调性决定函数零点个数即可；（2）首先将原不等式转化为，再构造函数，通过研究的单调性判断出，从而求解取值范围即可.【小问1详解】由得， 当时，，在区间上单调递增，且无限趋近于0时，，又，故只有1个零点；当时，令，解得，令，解得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增；所以当时，取得最小值，当时，，所以函数无零点，当时，恒成立，所以函数无零点，综上所述，当时，无零点，当时，只有一个零点；【小问2详解】由已知有，所以，所以，构造函数，则原不等式转化为在上恒成立，，记，所以，令，解得，令，解得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，即单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，令，解得，令，解得，故在单调递减，单调递增，故的最小值为，故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）分别求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由消参法消去参数可得曲线C的普通方程，由代入可得直线的直角坐标方程；（2）将直线转换为参数方程为：（t为参数），代入曲线方程，利用直线参数方程几何意义求解即可小问1详解】曲线C的参数方程为，（为参数） 转换为普通方程为直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为【小问2详解】定点在直线l上，转换为参数方程为：（t为参数）代入，得到，所以，故选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分、和三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：， ①当时，不等式即为，解得，所以；②当时，不等式即为，解得，所以；③当时，不等式即为，无解，即；综上所示：不等式的解集为.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：，当且仅当时，等号成立，所以取最小值4，即，可得，即，所以