浙江省浙北G2联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

浙北G2期中联考2023学年第一学期高一数学试题考生须知：1.全卷分试卷和答卷，满分150分，考试时间120分钟.2.本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效.3.请用钢笔或水笔将班级、姓名、试场号、座位号分别填写在答卷的相应位置上.4.本试题卷分选择题和非选择题两部分.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由可得或，所以，故选：B2.命题“，一元二次方程有实根”的否定是（）A.，一元二次方程没有实根B.，一元二次方程有实根C.，一元二次方程没有实根D.以上均不正确【答案】A【解析】【分析】由全称命题的否定是特陈命题，即可得出答案.【详解】命题“，一元二次方程有实根”的否定是:，一元二次方程没有实根. 故选：A.3.下列函数与是同一函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,的定义域为,的定义域为，故两个函数的定义域不相同，所以与不是同一函数，A错误，对于B，的定义域为,的定义域为，由于两个函数的定义域不相同，所以与不是同一函数，B错误，对于C，的定义域为,的定义域为，且，由于两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以与是同一函数，C正确，对于D，的定义域为,的定义域为，但，由于对应关系不相同，所以与不是同一函数，D错误，故选：C4.已知非零实数，，则“”是“”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义赋值即可.【详解】若，时，但，充分性不成立，若则，，所以，必要性成立. “”是“”的必要不充分条件.故选：B5.若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先用奇函数的性质解得，再解不等式即可【详解】因为是奇函数，所以，，解得即，解得故选：D6.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由对数的运算性质可得，，，即可得出答案.【详解】，，，故故选：C. 7.已知函数，若方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分两类讨论：时有两个解，有一个解；时有一个解，有两个解；即可求解.【详解】依题意，①若与有一个解，与有两个解，则当时，因为恒过定点，也过点，即是其中的一个交点；即当只有一个解，整理得解得或，即，与只有一个解；此时与需要有两个解才能满足要求，当时，即有两个解，解得或（舍去），只有一个解不满足题意；当时，即有两个解，整理得，因为，此方程无解，不满足题意；②若与有两个解，与有一个解， 则当时有两个解，解得或，此时；⑴当时，即有一个解，整理得，解得或（舍去），只有一个解满足题意，此时；⑵当时，即有一个解，整理得，因为，所以，即，转化为与图像的有一个交点即可，如图所示：因为在上单调递增，所以，即；综合⑴⑵可知，当时，与只有一个解，又与有两个解时，所以当时，有且仅有三个不同的实数解.故选：B.8.已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将所给式子化简可得，即可根据不等式的性质求解.详解】由可得，化简可得，由于，所以，故，由于，所以，故，所以，故选：A二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性质即可判断BC，举反例即可判断AD【详解】对于A,若，，则，故A错误；对于B,若，则，即，故B正确；对于C,若，两边同乘以得，两边同乘以得，则，故C正确；对于D,满足，则得不到，故D错误 故选：BC10.已知函数，若函数在区间上单调递减，则实数可能的值为（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解后，即可依次判断各选项是否满足题意.【详解】因为函数在区间上单调递减，在定义域内是增函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在区间上单调递减，所以，且当时，，即，解得：，所以选项满足题意，选项不满足题意.故选：.11.设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据新定义判断A选项；B、C举出反例；D选项，首先设，，然后对和分别讨论即得.【详解】对于A，因为表示不超过的最大整数，所以，故A对；对于B，取，则，得，，故B不成立. 对于C，取，，，得，故C不成立.对于D，设，，则，而；当时，，此时，当时，，此时，综上：，故D对.故选：AD12.函数（，且）的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】分类讨论，即可根据函数的单调性以及对勾函数的性质即可求解.【详解】根据题意，当时，，，其图象与选项A对应，当时，，在区间上，为对勾函数，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项B对应， 当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第四象限先增后减，无对应选项，当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，图象与选项D对应，故选：ABD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数f（x）的图象经过（3，27），则f（2）＝________．【答案】8【解析】【详解】试题分析：设幂函数，依题意可知，所以．所以，所以．考点：幂函数．14.计算：________.【答案】【解析】【分析】根据指数幂的运即可求解.【详解】,故答案为：15.已知，，则的值是________.【答案】 【解析】【分析】根据指数与对数的互化，构造函数，根据函数的单调性可确定，进而根据一元二次方程求解即可.【详解】令，则同理，令，则在定义域内单调递增，故，因此，且，所以，故答案为：16.已知实数，，且满足，则的最小值是________.【答案】17【解析】【分析】设，从而得到，，不等式转化为，换元后，由基本不等式求出最小值.【详解】令，则，化简得，故， 故，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，当时，，，满足要求，当时，，，满足要求，故答案为：17四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知全集，集合，.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解.（2）由得列出不等式组，求解即得.【小问1详解】因为，所以，，所以， 【小问2详解】由得，得解得，所以，故实数的取值范围为18.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值；（2）若，且，，求的最小值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）由不等式的解集可得1，b为的两个根，从而利用韦达定理即可得解；（2）利用的代换，即可求得的最小值．【小问1详解】因为不等式的解集为，则的两个根为，，，则，解得，故，.【小问2详解】若，则，即，. 当且仅当，即时取等.所以的最小值为.19.已知函数为定义在上奇函数.（1）求，，的值，并判断在上的单调性（不需要证明）；（2）求不等式的解集.【答案】（1），在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）用奇函数的性质即可得解；（2）利用单调性即可求解.小问1详解】因为为定义在上的奇函数；所以，解得，：，即，，故，当时，根据在上单调递增，则在上单调递增，又为定义在上的奇函数，故在上单调递增.【小问2详解】因为，而在上单调递增, 故，解得.则不等式解集为.20.用洗衣液清洗衣物上残留污渍.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用水越多，洗掉的污渍也越多，但总还有污渍残留在衣物上.设用单位量的水清洗一次后，衣物上残留的污渍量与本次清洗前残留的污渍量之比为函数.（1）根据实际意义判断的单调性，并求的值；（2）设，现有1单位量的水，需要将水分成2份后清洗衣物，试确定2次清洗时各自需要的用水量，使得2次清洗后衣物中残留的污渍量最少.【答案】（1）答案见解析（2）2次清洗时分别用单位量的水【解析】【分析】（1）根据题意，由条件分析即可得到单调性；（2）根据题意，设第一次清洗时需要单位量的水，则第二次清洗时需要单位量的水，结合解析式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由表示衣物上残留的污渍量与本次清洗前残留的污渍量之比可知，在单调递减，且，表示没有用水洗时，衣服上的物资量将保持原样.【小问2详解】设第一次清洗时需要单位量的水，则第二次清洗时需要单位量的水，其中，则第一次清洗之后衣服中污渍量之比为，第二次清洗之后衣服中污渍量之比为，对于函数，则，所以. 即当2次清洗时分别用单位量的水，衣物中残留的污渍量最少.21.已知函数.（1）求的最小值；（2）令，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）由基本不等式求出最小值；（2）函数变形为，当时，结合基本不等式求出，故只需，得到，结合时，，从而得到实数的取值范围.【小问1详解】因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9【小问2详解】，其中，当且仅当，即时，等号成立， 若，则，若恒成立，只需，即，因为，所以，若，则恒成立，综上，，实数的取值范围为.22.定义：函数的定义域为，且任意，存在，使得，则称为“好函数”.已知，.（1）当时，判断是否为“好函数”，并说明理由；（2）若为“好函数”，求实数的取值范围.【答案】22.“好函数”，理由见解析23.【解析】【分析】（1）令，当时，，则，根据条件即可判断；（2）因为单调递增，根据题意分情况讨论值域与的关系，求解即可.【小问1详解】令，当时，，所以恒成立，因为，所以，得定义域为，即，因为，都有，，且，所以存在，有，即任意，存在，使得成立， 故当时，判断为“好函数”.【小问2详解】令函数的值域为集合，①当时，由（1）可知为“好函数”，即有实数根，则，解得或;②当，得函数对称轴为，所以,令，，当时，函数有最大值，当或时，函数有最小值，即函数，令，，因为函数函数对称轴为，所以函数在上单调递增，即函数单调递增，所以，因为且，所以，当且仅当，且时等号成立，不满足题中任意，存在，使得成立，综上所诉：实数的取值范围为【点睛】方法点睛：全称命题判断为假，可以通过以下两种方法判断：一、举一个例子不满足该命题；二、有且只有部分满足该命题.