天津市第一百中学、咸水沽第一中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023～2024学年度第一学期期中联考高一数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.设，，则是（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.不等式的解集是（）A.或B.或C.D.4.已知，则的大小关系是（）AB.C.D.5.函数，则（）A.B.1C.D.26.设为上的奇函数，且当时，，则（）A.11B.C.13D.7.已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（）A.-1B.-2C.-4D.-88.设，则下面的不等式不正确的是（） AB.C.D.9.已知函数，则不等式的解集为（）AB.C.D.二、填空题（共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上）10.命题：，，则命题的否定为______.11.函数的定义域为______.12.已知，，若是充分不必要条件，则实数的取值范围是_______.13.已知函数在区间上的最大值是2,则实数______.14.已知，，且，则的最小值为______.15.已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为______.三、解答题（共5题，满分75分.必要的文字说明，解答过程和演算步骤不能省略）16.（1）计算（2）计算.17.已知集合，.（1）当时，求，；（2）求能使成立的的取值范围.18.设函数.（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；（2）解不等式. 19.已知函数是定义域在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.20.已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，.（1）证明：为奇函数.（2）解不等式.（3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 2023～2024学年度第一学期期中联考高一数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，则.故选：B.2.设，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用集合包含关系判断可得出结论.【详解】因为Ý，因此，是的必要不充分条件.故选：B.3.不等式的解集是（）A.或B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，所以，即不等式的解集是.故选：D.4.已知，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为，，又因为在上单调递增，，所以，即.故选：D.5.函数，则（）A.B.1C.D.2【答案】A【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设，得，则.故选：A.6.设为上的奇函数，且当时，，则（）A.11B.C.13D.【答案】C【解析】【分析】由为上的奇函数可得，，代入计算即可求解.【详解】因为为上的奇函数， 所以，，又当时，，所以，所以.故选：C.7.已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（）A.-1B.-2C.-4D.-8【答案】D【解析】【分析】先求出幂函数的解析式，从而得出的表达式，然后再求的最小值.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，得，所以，则显然在区间上单调递增，所以所求最小值为.故选：D8.设，则下面的不等式不正确的是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质以及基本不等式，结合特例法逐项判定，即可求解.【详解】对于A，，由，当且仅当时，等号成立，正确； 对于B，取，，不正确；对于C，由，当且仅当时，等号成立，正确；对于D，由不等式，可得，当且仅当时，等号成立，两边同除，可得成立，正确；故选：B9.已知函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，问题转化为，再判断函数的单调性，利用单调性求解即可得解.【详解】，，，所以不等式可转化为，又在R上单调递增，在R上单调递增，进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，，解得，所以原不等式的解集为.故选：A.二、填空题（共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上）10.命题：，，则命题的否定为______.【答案】，，【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题：，否定为，.故答案为：，11.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据解析式有意义列不等式组求解可得.【详解】由题可知，解得且，所以的定义域为.故答案为：12.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为是的充分不必要条件，则Ü，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.13.已知函数在区间上的最大值是2,则实数______.【答案】或.【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于的方程，即可求解. 【详解】函数，对称轴方程为为；当时，；当，即（舍去），或（舍去）；当时，，综上或.故答案为:或.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.14.已知，，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，将原式化为，再由基本不等式，即可得到结果.【详解】因为，，且，所以，当且仅当时，即或时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：15.已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解.【详解】对任意的实数，都有成立，所以函数在R上为减函数，可得，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：三、解答题（共5题，满分75分.必要的文字说明，解答过程和演算步骤不能省略）16.（1）计算（2）计算.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【详解】（1）原式.（2）原式.17.已知集合，.（1）当时，求，；（2）求能使成立的的取值范围.【答案】（1），.（2）或. 【解析】【分析】（1）利用交集、并集运算求解即可；（2）由得，分类讨论列不等式组求解即可.【小问1详解】当时，，又，所以，.【小问2详解】因为，所以，又集合，，当时，，即，这时.当时，有，解得.综上，实数a的取值范围为或.18设函数.（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；（2）解不等式.【答案】18.19.答案见解析.【解析】【分析】（1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且；（2）因式分解后对参数分类讨论即可.【小问1详解】①若，此时恒成立；②若，要使得恒成立，则，解得，所以；【小问2详解】 ，即，即，若，则解集为；若，此时不等式无解；若，则解集为19.已知函数是定义域在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）在上是增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证；（2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明；（3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.【小问1详解】函数是定义域在上的奇函数，由，得，即有，下面检验：，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合；【小问2详解】 在上是增函数.证明如下：设任意，，由于，则，即有，则有，故在上是增函数；【小问3详解】因为对任意，不等式恒成立，所以对于恒成立，因为是定义域在上的奇函数，所以对于恒成立，又在上是增函数，所以，即对于恒成立，而函数在上的最大值为，所以，所以实数的取值范围为.20.已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，.（1）证明：为奇函数.（2）解不等式.（3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）用赋值法先求出，再令即可得证；（2）先证明函数在上是减函数，再求得，最后将不等式转化为求解即可； （3）将题意转化为，恒成立即可.【小问1详解】由题意函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，则，故.令，则，故.故为奇函数.【小问2详解】任取，且.由题意，，，故，即，又，故在上为减函数.因为，所以，，故即，即，化简可得，解得.【小问3详解】由（2）知在上为减函数，故在上最大值为.要使对任意的，恒成立，则，即对任意恒成立.又是关于的一次函数，故只需，即，解得.