四川省泸州市合江县马街中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

马街中学高2023级高一（上）期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】应用集合的交运算求即可.【详解】由题设.故选：A2.设命题，则为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词的否定即可得到答案.【详解】因为命题为全称量词命题，故，故选：B．3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】由可得或，不一定是； 当时，必有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：D4.函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案.【详解】对称轴为,所以在严格增，所以，故选：C.5.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，然后确定图中阴影部分指的集合，即可得出答案.【详解】，所以,图中阴影部分指的是在集合A中，不在集合B中的元素构成的集合，又，所以图中阴影部分指的集合是，有三个元素，所以它有个子集，故选：D. 6.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，由，，故C错误，故选：A.7.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件得到的单调性，然后利用单调性求解函数不等式即可.【详解】因为对于任意不等实数，不等式恒成立，所以在上单调递减，又函数是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，所以，解得.故选：B.8.已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（）A.4B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数解析式判断的单调性、奇偶性，结合已知条件可得，进而有，应用基本不等式求最值即可.【详解】由解析式易知在定义域上单调递增，且为奇函数即，∵，∴，则，且，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式性质推理判断ABC；作差比较大小判断D.【详解】由，则，，A错误，B正确；，于是，C正确； ，即，D正确.故选：BCD10.下列各项中，与表示的函数相等的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.【详解】对于A，，定义域R，，定义域为R，但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A错误；对于B，由得，故的定义域为，由得，故的定义域为，又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确；对于C,定义域为R，定义域为，故两函数不相等，故C错误；对于D，，，两函数相等，故D正确.故选：BD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数的值域为C.函数的图象关于轴对称D.函数在区间上单调递增【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式确定函数定义域和值域，利用定义判断函数的区间单调性和奇偶性即可得答案.【详解】由解析式知：定义域为，且，，所以，又，即为偶函数，令，则，所以，即区间上单调递减，综上，A、C对，B、D错.故选：AC12.设函数，（），则下列说法正确的有（）A.若函数在上单调递减，则B.若函数为偶函数，则C.若函数定义域为，则D.，，使得，则【答案】BCD【解析】【分析】求出函数，根据二次函数的对称性可判断A；利用偶函数的性质可知判断B；利用二次函数的性质可判断C；选项D等价于，分情况讨论求出在,上的最小值，进而求出的取值范围即可．【详解】对于A，函数在上单调递减，则，解得，故A不正确；对于B，若函数为偶函数，则，即，故B正确；对于C，若函数的定义域为，则，解得，故C正确；对于D，若,，,，使得，则， 当,时，,，①若，则当,时，，即，，②若，则当,时，，即，，综上所述，的取值范围为，故D正确.故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.给出函数，如下表，则________x123434212168【答案】1【解析】【分析】由内到外依次求各函数值即可.【详解】由题知，，所以.故答案为：1.14.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：且，所以函数定义域为.故答案为： 15.已知幂函数在区间上单调递减，则______．【答案】【解析】【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.【详解】由幂函数的定义知，，即，解得或，当时，在区间上单调递增，不符合题意，当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.故答案：16.已知满足，，都有，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解.【详解】因为，，都有，所以在上为增函数，当时，，易知函数在上为增函数；当时，则，解得，综上，，则a的取值范围为， 故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合后取交集即可；（2）根据子集关系，直接列式求解即可.【小问1详解】∵，∴，又，∴.【小问2详解】由题意可得，又∵，∴解得，所以实数m的取值范围为.18.已知函数．（1）用定义法证明函数在上单调递增；（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集．【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）运用函数单调性的定义证明即可.（2）由奇函数的定义求得a的值，解分式不等式即可.【小问1详解】证明：任取设，，且，则，因为，所以，，所以，所以，所以，故在上单调递增.【小问2详解】因为函数在定义域上为奇函数，则，所以．所以，即，所以，由得：，即，所以或，解得或，所以不等式的解集为.19.已知：二次函数的图像的对称轴为，与轴的一个交点为，且（1）求函数的解析式 （2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设，由题列出a、b、c的方程，解之即可；（2）含参一元二次不等式，分类讨论求解.【小问1详解】设，由题，解得，所以.【小问2详解】由（1）得，所以即，整理得，即，当时，，解集为，当时，，解集为,当时，，解集为，综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.20.若不等式的解集是．（1）求实数的值；（2）当的解集为时，求b的取值范围．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可；（2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围.小问1详解】由题得的两个解为，代入得，解得,所以.【小问2详解】由（1）得的解集为，当时：当时，原不等式等价为，显然为，合题意；当，原不等式等价为，显然不为，舍去；当时，要想的解集为，需要，解得，即，综上b的取值范围为.21.佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元. 【解析】【分析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.【详解】（1）当时，；当时，∴（2）当时，；当时，取最大值万元；当时，，当且仅当时，取等号综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.22.函数是定义在R上的奇函数，当时，（1）求函数在R上的解析式；（2）对于函数，，若不等式恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，结合时的解析式，可求出时的解析式，即可得答案； （2）结合（1）判断函数的单调性，从而将不等式恒恒成立问题转化为关于x的一元二次不等式恒成立问题，采用分离参数法可得恒成立，换元后利用基本不等式即可求得答案.【小问1详解】当时，，由函数是定义在上的奇函数，∴∴；【小问2详解】由函数，，不等式恒成立，可得，恒成立，由（1）可作出的图像可知在上是减函数，故，即∵，当时，不等式可化为，即，显然恒成立当时，则，故，令，则，，∵恒成立， ∵，当且仅当即时，等号成立，∴，即t的取值范围为