四川省泸州市合江县马街中学2024届高三一诊模拟数学试题（文）试题（Word版附解析）

马街中学高2021级高三一诊模拟考试数学（文史类）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知（，，i为虚数单位），复数，则（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对化简，可求出复数，从而可求出【详解】由，得．所以因为，所以，，所以．故选：A2.设集合，，是实数集，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再求解并集和补集.【详解】因为，所以，即，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是（参考数据：） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数运算以及的定义求得此时胃酸的值.【详解】依题意.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.4.若，，，则下列结论正确的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数函数性质以及对数函数的性质，分别确定，，的范围，从而可得结果.详解：因为，所以，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.函数的图象为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性和函数值符号使用排除法可得.【详解】因为的定义域为，且所以为偶函数，可排除AB；又当时，，故C错误.故选：D6.已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上的一点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先由任意角的三角函数的定义求出，再利用二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为点是角终边上的一点，故，故选：C．【点睛】本题考查任意角的三角函数及二倍角公式的应用，属于基础题.7.在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（）A.三点共线B.四点异不共面C.四点共面D.四点共面【答案】C【解析】【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线,再根据与、面 、面的位置关系知在面与面的交线上,同理判断,即可判断各选项的正误.【详解】因为,则四点共面.因为,则平面,又平面,则点在平面与平面的交线上,同理,也在平面与平面的交线上,所以三点共线;从而四点共面,都在平面内，而点B不在平面内，所以四点不共面，故选项B正确；三点均在平面内，而点A不在平面内，所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内，即四点不共面，故选项C错误； ，且，所以为平行四边形，所以共面，所以四点共面，故选项D正确.故选:C.8.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则下列各式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由是上的偶函数，得，，再根据在上是增函数可逐项判断得出答案.【详解】因为是上的偶函数，所以，，且在上是增函数，因为，所以A错误；因为，所以B错误；因为，所以C错误；因为，所以D正确.故选：D.【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路：（1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间；（2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.9.已知函数的图象如图所示，图象与x轴的交点为，与y轴的交点为N，最高点，且满足，则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意的周期可得，由图象与x轴的交点为可得，从而，所以与轴的交点，由解得.【详解】若的周期为，由题意有，所以，所以，图象与x轴的交点为，则，因为，所以，即，所以与轴的交点，由，则，解得或(舍)．故选：B.10.若函数在处取得极值，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】由在时取得极值，求出得，解出的值．【详解】解：，；又在时取得极值，；． 故选：．【点睛】本题考查了应用导数求函数极值问题，是基础题．11.在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥的体积为6，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平面，则有，，然后由得线面垂直后得，从而可得就是外接球直径，再由体积计算出长后可得球表面积．【详解】∵平面，∴，，又，，∴平面，∴，中点到四个点的距离相等，即为三棱锥外接球的直径．，，又，∴，，∴，，∴所求外接球表面积为．故选：.【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定外接球的球心，本题是利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中点到三顶点的距离相等”确定的．12.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由题意可得,，， ，．故A正确．考点：三角函数单调性．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.【答案】2；【解析】【分析】根据对数的运算性质求值即可.【详解】，故答案为：214.曲线在点（2，6）处的切线方程为_______．【答案】【解析】【分析】求出，即可.【详解】因为，所以，所以切线方程为，即故答案为：15.已知奇函数为上的减函数，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【详解】分析：由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性得到关于a的不等式求解二次不等式即可确定实数的取值范围.详解：不等式即：， 函数为奇函数，则不等式等价于，函数在上单调递减，脱去符号有：，即：，，故答案为：.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．16.在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】，依题意是角的角平分线，由三角形的面积公式得，化简得，，.当且仅当，时等号成立.故答案为： 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数，图像的相邻两对称轴之间的距离为．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和即可．（2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可．【详解】（1），图象的相邻两对称轴之间的距离为，，即，得．（2），，，，得，设，则，且， 18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.（1）求A的大小；（2）过点C作，在梯形ABCD中，，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得，利用余弦定理计算即可得出结果.（2）中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理计算即可求得结果.【小问1详解】由正弦定理可得：，即，所以，又,所以.【小问2详解】在中，由正弦定理得，因为，所以.在中，由余弦定理可得，所以. 19.已知函数．(1)若时，求在区间上的最大值与最小值；(2)若函数仅有一个零点，求的取值范围．【答案】(1)最大值为0，最小值为；(2)．【解析】【分析】(1)求导，并判断在上的单调性，再求出其最大值与最小值；(2)利用分类讨论判断在定义域内的单调性，求出极值，再判断极值与0的大小关系，进一步求出参数的取值范围.【详解】(1)由题意得．当时，，．由，解得；由，解得或．∴函数在区间上单调递增，在区间，单调递减．又，∴函数在区间上的最大值为0，最小值为．(2)函数只有一个零点．∵，i)当a<0时，由，解得，∴函数在区间上单调递增； 由，解得或，∴函数在区间，上单调递减．又，∴只需要，解得．∴实数a的取值范围为．ii)当a=0时，显然f(x)只有一个零点成立．iii)当a>0时，由，解得，即在区间上单调递增；由，解得或，即函数f(x)在区间，上单调递减；又，∴只需要f(3a)<0，解得．综上：实数a的取值范围是．【点睛】利用导数求最值问题，既要求函数极值，也需要求出其端点值，再比较大小；零点相关问题求参数取值范围，通常有两种思路，一种是分离参数，转化为求参数与另外一个函数的交点个数问题，另一种是直接含参讨论单调性求极值解不等式.20.如图所示，等边三角形，，，面面，．（1）求证：；（2）求四面体的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】(1)由余弦定理可得，根据勾股定理的逆定理得，结合即可得出结果. (2)由面面垂直的性质定理得平面，且，根据线线平行得出平面平面，进而得到与到底面的距离相等，结合棱锥体积公式即可.【详解】（1）证明：，，又是等边三角形，，又，在中，由余弦定理可得，，，故，又，；（2）解：取的中点，连接，由，得，又平面平面，且平面平面，平面，且求得．由，平面平面，可得平面，则与到底面的距离相等，则四面体的体积．【点睛】(1)证明线线垂直的方法主要有：线面垂直的性质定理、勾股定理的逆定理或者采用空间向量法；(2)求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．21.已知函数. （1）当时，求的图像在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的取值集合.【答案】（1）y=2x（2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数，将问题转化成求的最小值，通过对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当时，，所以，又，所以，故的图像在点处的切线方程为，即.【小问2详解】解法一：因为恒成立，恒成立，令函数，则①当时，在区间恒成立，此时g(x)在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意，②当时，由可得即令，则在区间上恒成立所以在区间上单调递增，又因为，所以存在，使得，两边同时取对数可得，则当时，，即， 当时，，即，所以当时，，故要使恒成立，只需，令，则，由，得到，由，得到，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，，即，所以只有唯一解，即.综上，a的取值集合为.解法二：由题意可得恒成立，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，又因为，所以，所以恒成立，即在区间上恒成立，令，又因为，要使恒成立，则是的极小值点，又因为，所以，解得.当时，令，，所以时，，时，，所以，满足题意.综上，a的取值集合为.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为，然后由导数求得的最小值，解不等式即可得参数范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4极坐标与参数方程） 22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线l过点，点的极坐标为.（1）求曲线的普通方程和直线l的参数方程.（2）若l与交于A，B两点，且点B为的中点，求【答案】（1），（t为参数）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即得的普通方程，求出点的直角坐标，按条件写出l的参数方程作答.（2）将l的参数方程代入的普通方程，再利用参数的几何意义计算作答.【小问1详解】曲线：，把代入得的普通方程：，因点的极坐标为，则点的直角坐标是，而直线l的倾斜角为所以直线l的参数方程为：（t为参数）.【小问2详解】把直线l的参数方程代入曲线的普通方程得：，整理得：，，即，令点A，B所对参数分别为，则有，因点B为的中点，即有，于是得，所以.（选修4-5不等式选讲）23.设函数，其中. （1）当时，求曲线与直线围成的三角形的面积；（2）若，且不等式的解集是，求的值.【答案】（1）64（2）【解析】【分析】（1）由题知，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分和两种情况求解得的解集为，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当时，，所以，，设；直线与交于点，与直线交于点，且，点到直线的距离，所以，要求图形的面积；【小问2详解】解：当时，，，即，解可得，此时有，当时，，，即，解可得，又由，则，此时有，综合可得：不等式的解集为，因为不等式的解集是所以，，解可得；所以，.