四川省泸州市泸县第五中学2022届高三数学（文）二诊模拟考试试题（Word版附解析）

泸县五中高2019级高三二诊模拟考试文科数学第I卷客观题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】首先化简得到，再求即可.【详解】因为，所以.故选：B2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法，先求出集合，再根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合，又集合，所以，故选：B.3.霍兰德职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估.某大学随机抽取100名学生进行霍兰德职业能力测试问卷测试，测试结果发现这100名学生的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学得分的中位数为（） A.B.75C.D.80【答案】A【解析】【分析】由频率分布直方图，求出，的频率为0.4，，的频率为0.4，由此能估计这100名同学的得分的中位数．【详解】解：由频率分布直方图，得：，的频率为，，的频率为，估计这100名同学的得分的中位数为：．故选：A．【点睛】本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.若，其中且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的性质即可求解.【详解】当时，单调递减，由，则，与矛盾，故，由得，则，故， 故选：.5.已知命题在△中，若，则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.【详解】命题：在△中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题；命题向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题，则为真命题，故选：.6.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先记，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断时，，进而可得出结果.【详解】记，则，因此函数是偶函数；故排除BC；当时，，，因此；排除D；故选：A.【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.7.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】根据八卦图可知：8个卦中含有两个以上阳爻的有1个，有两个阳爻的有3个，分别为离、巽、兑，有一个阳爻的有3个，分别为震、艮、坎，无阳爻的有1个，为坤， 选的两卦的六个爻中恰有两个阳爻，可以从有两个阳爻的离、巽、兑中选一个，另一个选坤，这种选法有种；也可以从有一个阳爻的震、艮、坎中选两个，这种选法有种，从八卦中任取两卦的选法有种，则从八卦中任取两卦，这两卦六个爻中恰有两个阳爻的概率为.故选：.8.已知等差数列的前项和为，则数列的前10项和为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据，列出方程求得，得到，进而得到，利用“裂项法”，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以，可得，所以.故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式及前项和公式的应用，以及数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等差数列的通项和求和公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.圆：关于直线对称的圆的方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程.【详解】因为圆，即，所以圆的圆心坐标为，半径为.圆心关于直线对称的点是，则，解得.则所求圆的方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆关于直线对称问题，意在考查学生的计算能力.10.将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有（）A.为奇函数，在上单调递减B.为偶函数，在上单调递增C.周期为π，图象关于点对称D.最大值为1，图象关于直线对称【答案】D 【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象.为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；，，，，函数不单调，故B错误；的周期为，当时，，故C错误；g（x）最大值为1，当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，故选：D．11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，∴．正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，∴．故选：D． 【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．12.已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知，直线与直线的距离大于或等于，可得出关于、的齐次不等式，进而可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】如下图所示： 直线与双曲线的渐近线平行，且点在直线上，由于圆与双曲线的右支没有公共点，则直线与直线间距离大于或等于，即，，又，因此，该双曲线离心率的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的求解，将问题转化为渐近线与其平行线间的距离相关的不等式求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.第II卷主观题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.同时掷两颗骰子，其向上的点数和为的概率是______（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“向上点数和为”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】同时掷两颗骰子，基本事件总数为，其中，事件“向上点数和为”所包含的基本事件有：、，共个，因此，所求事件的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算概率，考查计算能力，属于基础题.14.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的可行域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.【详解】作出不等式对应的可行域，由可知，该直线可以由平移得到，故当直线的截距最大时，此时最小，由图象可知，当直线过点时，截距最大，将代入可得，故答案为：. 15.若曲线f（x）＝excosx﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m＝_____．【答案】2【解析】【分析】对函数求导，然后得f′（0），由此求出m的值．【详解】f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣m．∴．∴m＝2．故答案为：2【点睛】本题考查导数的几何意义以及切线问题．抓住切点处的导数为切线斜率列方程是本题的基本思路．属于容易题．16.已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝_____．【答案】2【解析】【分析】根据正余弦定理可得PF1•PF2＝16且4c2＝（2a）2﹣16，解出b即可．【详解】△F1PF2的面积PF1•PF2sin120°PF1•PF2＝4，则PF1•PF2＝16， 又根据余弦定理可得cos120°，即4c2＝PF12+PF22+16＝（2a）2﹣32+16，所以4b2＝16，解得b＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成绩在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．【答案】（1）a=0.03．（2）850（人）．（3）．【解析】【详解】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出的值；（2）先求出数学成绩不低于分的概率，由此能求出数学成绩不低于分的人数；（3）数学成绩在的学生为分，数学成绩在的学生人数为人，由此利用列举法能求出这 名学生的数学成绩之差的绝对值大于的概率．试题解析：（1）由频率分布直方图，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.03.（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴数学成绩不低于60分的人数为：1000×0.85=850（人）．（3）数学成绩在[40，50）的学生为40×0.05=2（人），数学成绩在[90，100]的学生人数为40×0.1=4（人），设数学成绩在[40，50）的学生为A，B，数学成绩在[90，100]的学生为a，b，c，d，从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率为．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率的求解．18.在△中，分别是内角的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求△的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据余弦定理可得角的大小；（2）先根据两角和与差正弦公式化简得，或，再根据正弦定理得，结合条件可解得a,c，最后根据三角形面积公式求面积【详解】（1）:，可得：， ∴由余弦定理可得：，∵，∴．（2）∵，∴，∴，可得：，∴，或，∴当时，，可得，可得；当时，由正弦定理知，由余弦定理可得：，解得：，，．19.如图，在多面体中，，，平面，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质可得；利用三角形相似可得，从而可证得，根据线面垂直的判定定理可知平面；根据线面垂直的性质可证得结论；（Ⅱ）利用体积桥进行等价转化，利用三棱锥体积公式求得结果.【详解】（Ⅰ）平面，平面又则又平面又平面（Ⅱ）三棱锥的体积：【点睛】本题考查直线与直线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用.解决三棱锥体积的问题通常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面积和高易求的三棱锥.20.已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．（1）求椭圆的方程；（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较与的大小． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知设椭圆的方程为，由已知分析得，解得，即得椭圆的方程为.（2）先证明直线的斜率为0或不存在时，.再证明若的斜率存在且不为0时，.【详解】（1）根据已知设椭圆的方程为，.在轴上方使成立的点只有一个，∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点.当点是短轴的端点时，由已知得，解得.∴椭圆的方程为.（2）.若直线的斜率为0或不存在时，且或且.由，得. 若的斜率存在且不为0时，设：，由得，设，，则，，于是.同理可得.∴.∴.综上.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数.（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；（2）当时，为函数在上的零点，求证：.【答案】（1）或.（2）见解析【解析】【分析】（1）先求导，根据函数在上是单调函数，转化为在上恒成立，即，在上恒成立，即，令，用导数法求导其最值即可. （2）由时，，则，易得在上单调递增，由，得到在上单调递减，结合，，，进一步确定，将证明，转化为证，令，，用导数法证即可.【详解】（1），当函数在上单调递减，则在上恒成立，即，设，，则.因为，所以.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以，故. 当函数在上单调递增时，则在上恒成立，即，由上可知，故.综上所述，实数的取值范围为或.（2）当时，，故，，由于和在上单调递增，∴在上单调递增，∴，故在上单调递减.又，，∴存在唯一的，使得，∴在单调递增，在单调递减.又，，，∴函数在上的零点，即.要证，即证. 设，，则.显然在上恒成立，所以在上单调递增.∴，故原不等式得证.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明以及零点存在定理，还考查了转化化归，分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，Q为曲线上的动点，求的中点M到曲线的距离的最大值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）化简得到，再考虑，利用极坐标方程公式得到答案. （2）P的直角坐标为，设点，故，代入圆方程得到M在圆心为，半径为1的圆上，计算得到最大距离.【详解】（1）因为，所以3×①+4×②，得.又，所以的普通方程为，将，代入曲线的极坐标方程，得曲线的直角坐标方程为.（2）由点P的极坐标，可得点P的直角坐标为.设点，因为M为的中点，所以将Q代入的直角坐标方程得，即M在圆心为，半径为1的圆上.所以点M到曲线距离的最大值为，由（1）知不过点，且，即直线与不垂直.综上知，M到曲线的距离的最大值为.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x不等式f（x）≤5； （2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．【答案】（1）{x|﹣2≤x≤3}；（2）3．【解析】【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．【详解】（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．∵f（x）≤5，∴或﹣1≤x≤2或，∴﹣2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝3当时等号成立，∴f（x）的最小值为3，即m＝3，∴a+4b+9c＝3．3，当且仅当时等号成立，∴最小值为3． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．