四川省绵阳市三台县三台中学2023-2024学年高三上学期第二学月测试数学（文）试题（Word版附解析）

高中2021级高三第二学月测试数学（文）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共2页.满分150分，考试时间150分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定义可得.【详解】集合，解不等式可得集合，所以.故选：B2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D 【解析】【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.故选：D.3.执行如图所示的程序框图，输出的　　A.25B.9C.17D.20【答案】C【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【详解】按照程序框图依次执行为，，；，，；，，，退出循环，输出．故应选C．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一 定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值及指数函数的单调性逐项判断即可.【详解】取，则满足题意，此时，所以A选项错误；取，则满足题意，此时，所以B选项错误.取，则满足题意，此时，所以C选项错误.由于在上递减，而，所以，所以D选项正确.故选：D5.如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.【详解】解：.故选：C.6.已知命题p：若，则；命题q：若，则．则下列是真命题的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】举出反例得到命题p假命题，再推导出命题q为真命题，从而得到答案.【详解】不妨设，满足，但此时无意义，故命题p为假命题，当时，，故命题q为真命题，故为假命题，为假命题，故为假命题，为真命题，为假命题.故选：C7.已知函数，则的图象大致为（）.A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值符号排除A、C，利用函数的单调性判断B、D.【详解】因为，所以A错误；因为，所以C错误；因为，所以D错误；排除了ACD，而B选项中的图像又满足上述性质，故B正确.故选：B8.已知，，且，则的最小值为（）A.4B.9C.10D.12【答案】B【解析】【分析】将展开利用基本不等式即可求解.【详解】由，，且得，当且仅当即，时等号成立，的最小值为，故选：B.9.凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（）A.倍B.0.56倍C.倍D.0.83倍 【答案】A【解析】【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值.【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则，上述两个等式作差可得，则，故.故选：A.10.定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（）．A.0B.1C.D.3【答案】C【解析】【分析】由条件求出函数的周期，再由周期性的性质及函数解析式求函数值.【详解】∵定义在R上的偶函数，所以又满足，所以所以是周期为4的函数，所以，故选：C．11.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用函数的单调性与奇偶性，得到，得出，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得，令，显然函数为偶函数，且在上单调递增，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.【详解】图，由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，且，由题：，， 设则，令，故在递增，在递减，.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.已知变量，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】利用线性约束条件作出可行域，平移目标函数求得最大值.【详解】作出约束条件，表示的可行如图所示，由可得，平移直线，可知当直线过点时，取得最大值，为．故答案：4.14.已知向量，若，则实数__________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直与数量积间的关系，得到，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为，所以，又，所以，解得.故答案为：.15.已知等差数列的前n项和为，若，，则___________【答案】【解析】【分析】由等差数列片段和的性质知成等差数列，再由等差中项的性质求结果.【详解】由题设成等差数列，所以，则，所以.故答案为：16.设函数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由题设恒成立，设且在上单调递减，即在上恒成立，即可求结果.【详解】对任意恒成立，等价于恒成立，设，则在上单调递减，所以在上恒成立，即恒成立，故， 的取值范围是.故答案为：.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，即可得的通项公式；（2）由题可知，利用分组求和法即得.【小问1详解】因为，当时，，当时，，因为也满足，综上，；【小问2详解】由题可知， 所以.18.已知向量，函数.（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；（2）若，求的值域.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】解：因为，且，所以，即，的最小正周期，令，，解得，，即图象的对称轴方程为，.【小问2详解】 解：，，，所以.19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且7sinA=3sinC．（1）求；（2）若的面积为，求b．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理结合a，b，c成等差数列可解决；（2）利用三角形面积公式即可解决.【小问1详解】因为a，b，c成等差数列，所以，又7sinA=3sinC，结合正弦定理得，联立，得.从而.【小问2详解】由（1）可得，的面积为，解得，所以. 20.已知函数f（x）＝x2+2alnx.(1)若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由导数的几何意义得，解方程即可；（2）根据函数的单调性与导数的关系可得在[1，2]上恒成立，等价于为在[1,2]上恒成立,利用导数求出函数在[1，2]上的最小值，从而可得出结论．【详解】(1)函数的导数为，由已知f′(2)=1，即4+a=1，解得a=−3.(2)由，得，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)0在[1,2]上恒成立，即[1,2]上恒成立，即在[1,2]上恒成立,令,在[1,2]上，所以h(x)在[1,2]为减函数，，.【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围．21.已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出的导函数，对分类讨论分析导函数的符号，可得函数的单调性；（2）由题意，令，利用的单调性可得，从而在上单调递减，即可确定在上的最大值，从而得解.【小问1详解】由题意得，当时，在上恒成立，故函数在上单调递增；当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，上单调递减．【小问2详解】由题意，，，令，，当时，，单调递减，则，则，则在上单调递减，故在上的最大值为，所以.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标与参数方程] 22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线相交，两点，点是弦的中点，求三角形的面积.【答案】（1），；（2）3.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程即可得到曲线的普通方程为，根据，，即可得到直线的直角坐标方程为.（2）首先根据题意得到直线的参数方程为（为参数），再利用直线参数方程的几何意义得到，再求三角形的面积即可.【详解】（1）将曲线的参数方程为（）消去参数，得曲线的普通方程为.将直线的方程化为，因为，，代入上式，整理得.故曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）由（1）知直线经过点，所以直线的参数方程为（为参数），将之代入曲线的方程得. 设，对应的参数为，，，，所以因点是弦的中点，所以点到直线的距离为，所以三角形面积的为.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）当a＝3时，解不等式；（2）若不等式解集非空，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由a＝3可得，去绝对值，分类讨论解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得有解，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，解a的不等式可得所求范围．【详解】（1）当a＝3时，即为，等价于或或，解得或或，则原不等式的解集为；（2）不等式的解集非空等价于有解．由，（当且仅当时取得等号），所以，解得，故a的取值范围是．【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式以及不等式能成立求参数 问题，考查学生分类讨论的思想，是一道容易题.